北京市西城区2017届中考数学二模试卷(含解析)

2017年北京市西城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.据报道，到2020年北京地铁规划线网将由19条线路组成，总长度将达到561500米，将

561500用科学记数法表示为（）

A.0.5615X106B.5.615X105C.56.15X101D.561.5X103

2.下列运算中，正确的是（）

A.a+a3=2a6B.a5-a3=a2C.a2«a2=2a'D.（a5）2=a10

3.将不等式x-l>0的解集表示在数轴上，下列表示正确的是（）

A，-2-1023>B'-2-102

C-2-10i2PD--2-102~~3^

4.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,5,

从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

5555

5.代介于下列哪两个整数之间（）

A.0与1B.1与2C.2与3D.3与4

6.如图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形，若/l+/2+N3+N4=225°,ED〃

X

A.l<y<3B.2<y<3C.l<y<6D.3<y<6

8.如图，AB为半圆0的直径，C为源的中点，若AB=2,则图中阴影部分的面积是（）

9.如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作

A(8,30°).用同样的方法将点B,点C的位置分别记作B(8,60°),C(4,60°),

则观测点的位置应在()

/A

T•・。3

02”

•c&

A.点B.点02C.点03D.点04

10.某大型文体活动需招募一批学生作为志愿者参与服务，已知报名的男生有420人，女生

有400人，他们身高均在150Wx<175之间，为了解这些学生身高的具体分别情况，从中随

机抽取若干学生进行抽样调查，抽取的样本中，男生比女生多2人，利用所得数据绘制如下

统计图表：

组别身高(cm)

A150^x<155

B155WxV160

C160WxV165

D165WxV170

E170^x<175

根据图表提供的信息，有下列几种说法

①估计报名者中男生身高的众数在D组；

②估计报名者中女生身高的中位数在B组；

③抽取的样本中，抽取女生的样本容量是38；

④估计身高在160cm至170cm(不含170cm)的学生约有400人

其中合理的说法是()

抽样调查男生身高统计图抽样调商女生各组身高人数占

女生抽样总数的百分百计图

A.①②B.①④C.②④D.③④

二、填空题

11.如图，长方体中所有与棱AB平行的棱是

12.关于x的方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为.

13.如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB,则NBED的度数是度.

14.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径是5,点A为。。上一点，ABJ_x轴于点B,AC±

y轴于点C,若四边形ABOC的面积为12,写出一个符合条件的点A的坐标.

15.如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式

16.《数学九章》中的秦九韶部算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算

法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.例如，计算

“当x=8时,多项式3x'-4x2-35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3--4r-

35x+8进行改写：

3x3-4x2-35x+8=x（3x2-4x-35）+8=x[x（3x-4）-35]+8

按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数,

使计算量减少，计算当x=8时.，多项式3x3-4x2-35x+8的值1008.

请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x-1改写为：,当x=8时，这个多项式的值

为.

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29

题8分）

17.（5分）计算：-27+Jt)-4sin45°

fy=x-l

18.（5分）解方程组

[3x+2y=8

19.(5分)已知x2-3x-4=0,求代数式(x+1)(x-1)-(x+3)'+2x2的值.

20.（5分）列方程（组）解应用题

某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的

衬衫，但每件进价比第一批衬衫的每件进价少了10元，且进货量是第一次进货量的一半，

求第一批购进这种衬衫每件的进价是多少元？

21.（5分）如图，在RtaABC中，ZABC=90°,CD平分NACB交AB于点D,DE_LAC于点E,

BF〃DE交CD于点F.

求证：DE=BF.

B

D

AEC

22.（5分）如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=ZADC=90°,对角线AC,BD交于点

0,DE平分/ADC交BC于点E,连接0E.

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AB=2,求△（）£（：的面积.

23.（5分）直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线y=kx+b（k,b是常数，

k#0）经过点A,与y轴交于点C,且OC=OA.

（1）求点A的坐标及k的值；

（2）点C在x轴的上方，点P在直线y=-2x+4上，若PC=PB,求点P的坐标.

24.（5分）阅读下列材料：

社会消费品零售总额是指批发和零售业，住宿和餐饮业以及其他行业直接售给城乡居民和社

会集团的消费品零售额，在各类与消费有关的统计数据中，社会消费品零售总额是表现国内

消费需求最直接的数据.

2012年，北京市全年实现社会消费品零售总额7702.8亿元，比上一年增长11.6%,2013年,

全年实现社会消费品零售总额8375.1亿元，比上一年增长8.7%,2014年，全年实现社会消

费品零售总额9098.1亿元，比上一年增长8.6%,2015年，全年实现社会消费品零售总额

10338亿元，比上一年增长7.3%.

2016年，北京市实现市场总消费19926.2亿元，比上一年增长了8.现，其中实现服务性消

费8921.1亿元，增长10.1%实现社会消费品零售总额11005.1亿元，比上一年增长了6.5%.

根据以上材料解答下列问题：

（1）补全统计表：

2012-2016年北京市社会消费品零售总额统计表

年份2012年2013年2014年2015年2016年

社会消费品零售总额(单

位：亿元)

(2)选择适当的统计图将2012-2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率表示

出来，并在图中表明相应数据；

(3)根据以上信息，估计2017年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率约

为,你的预估理由是.

25.(5分)如图，AB是。。的直径，C是。。是一点，过点B作。。的切线，与AC延长线

交于点D,连接BC,OE〃BC交。0于点E,连接BE交AC于点H.

(1)求证：BE平分/ABC；

(2)连接OD,若BH=BD=2,求0D的长.

26.(5分)学习了《平行四边形》一章以后，小东根据学习平行四边形的经验，对平行四

边形的判定问题进行了再次探究.

以下是小东探究过程，请补充完整：

(1)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,若AB〃CD,补充下列条件中能判定四

边形ABCD是平行四边形的是(写出一个你认为正确选项的序号即可)；

(A)BC=AD(B)ZBAD=ZBCD(3)A0=C0

(2)将(1)中的命题用文字语言表述为：

①命题1；

②画出图形，并写出命题1的证明过程；

(3)小东进一步探究发现：

若一个四边形ABCD的三个顶点A,B,C的位置如图所示，且这个四边形满足CD=AB,/D=

NB,但四边形ABCD不是平行四边形，画出符合题意的四边形ABCD,进而小东发现:命题2"一

组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题.

BC

27.(7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B两

点(点A在点B的左侧).

(1)求抛物线的对称轴及线段AB的长；

(2)抛物线的顶点为P,若NAPB=120。，求顶点P的坐标及a的值；

(3)若在抛物线上存在一点N,使得NANB=90°,结合图象，求a的取值范围.

28.(7分)aABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA按顺时针方向旋转60°

得到线段CD,连接BD交AC于点0.

(1)如图1.

①求证：AC垂直平分BD；

①点M在BC的延长线上，点N在线段C0上，且ND=NM,连接BN,判断△、时)的形状，并加

以证明；

(2)如图2,点M在BC的延长线上，点N在线段A0上，且ND=NM,补全图2,求证：NA=MC.

29.(8分)在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A(x„y.),B(x2,y2),

C(x3,y3),对于AABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：

将Ixi-Xzl，Ix2-x31,|X3-xj中的最大值,称为△ABC的横长，记作Dx；将lyi-yzL|yz

Dv

-y3|,Iy3-yj中的最大值，称为AABC的纵长，记作D,；将于叫做AABC的纵横比，记作

例如：如图1,AABC的三个顶点的坐标分别是A(0,3),B⑵1),C(-1,-2),

则D*=|2-(-1)|=3,Dy=|3-(-2)|=5,

①点B(2,1),E(-1,2),

则aAOB的纵横比人尸

△AOE的纵横比A2=;

②点F在第四象限，若AACF的纵横比为1,写出一个符合条件的点F的坐标；

③点M是双曲线y旦上一个动点，若△AOM的纵横比为1,求点M的坐标；

2x

(2)如图3,点A(1,0),OP以P(0,弧)为圆心，1为半径，点N是。P上一个动点,

直接写出AAON的纵横比X的取值范围.

2017年北京市西城区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.据报道，到2020年北京地铁规划线网将由19条线路组成，总长度将达到561500米，将

561500用科学记数法表示为（）

A.0.5615X106B.5.615X105C.56.15X10'D.561.5X103

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为aX10”的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负数.

【解答】解：将561500用科学记数法表示为：5.615X105.

故选：B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10”的形式，其中1

n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

2.下列运算中，正确的是（）

A.a3+a3=2a6B.a5-a3=a2C.a2-a2=2alD.（a5）2-a10

【考点】47：累的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数累的乘法.

【分析】根据基的乘方、同类项合并、同底数基的乘法的运算法则解答即可.

【解答】解:A、a3+a3=2a3,错误；

B、不是同类项，不能合并，错误；

C、a2,a2=a',错误；

D、（a5）2=a'\正确;

故选D

【点评】此题考查幕的乘方、同类项合并、同底数幕的乘法问题，关键是根据幕的乘方、同

类项合并、同底数幕的乘法法则计算.

3.将不等式x-1>0的解集表示在数轴上，下列表示正确的是（）

A，-2-10123B-2-101235C-2-101235

D,40£23,

【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集.

【分析】先解不等式得到X>1,然后利用数轴表示不等式的方法对各选项进行判断.

【解答】解：x-1>0,

所以X>1,

用数轴表示为：

-2-10E3"

故选A.

【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式.基本操作方

法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类

项；⑤化系数为1.

4.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,5,

从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

5555

【考点】X4：概率公式.

【分析】由在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,

4,5,直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：•.•在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,

3,4,5,

二从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率为：-I-

5

故选C.

【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率二所求情况数与总情况数之比.

5.代介于下列哪两个整数之间（）

A.0与1B.1与2C.2与3D.3与4

【考点】2B：估算无理数的大小.

【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大求解即可.

【解答】解：,•,4V5V9,

.'.2<V5<3.

故选：C.

【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键.

6.如图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形，若Nl+N2+/3+N4=225°,ED〃

AB,则N1的度数为（）

A.55°B.45°C.35°D.25°

【考点】L3：多边形内角与外角；J2：对顶角、邻补角；JA：平行线的性质.

【分析】根据多边形的外角和等于360°,即可得到N5的度数，进而得出NAED的度数,

再根据平行线的性质进行解答即可.

【解答】解：如图，由多边形的外角和等于360°可知，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=360°,

又•.•/1+/2+/3+/4=225°,

.*.Z5=135°,

；.NAED=45°,

又：ED〃AB,

.,.Z1=ZAED=45°，

【点评】本题考查的是多边形的内角和外角以及平行线的性质，掌握多边形的外角和等于

360°是解题的关键.

7.对于反比例函数丫=e，当l<x<2时，y的取值范围是（）

x

A.l<y<3B.2<y<3C.l<y<6D.3<y<6

【考点】G4：反比例函数的性质.

【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可.

【解答】解：；k=6>0,

...在每个象限内y随x的增大而减小，

又,当x=l时,y=6,

当x=2时,y=3,

.,.当l<x<2时，3<y<6.

故选1）.

【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而

减小；当kVO时，在每一个象限，y随x的增大而增大.

8.如图，AB为半圆。的直径，C为俞的中点，若AB=2,则图中阴影部分的面积是（）

【考点】M5：圆周角定理；M0：扇形面积的计算.

【分析】先利用圆周角定理得到/ACB=90°,则可判断aACB为等腰直角三角形，接着判断

△AOC和△1?（）（：都是等腰直角三角形，于是得到SAAC^SABOC,然后根据扇形的面积公式计算图

中阴影部分的面积.

【解答】解：：AB为直径，

ZACB=90",

为定的中点，

•*-AC-BC'

.*.AC=BC,

••.△ACB为等腰直角三角形,

.".0C1AB,

/.△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，

••SAAOC^SABOC，0A=)

••♦S/S'片90•冗X12=；.

3604

故选C.

【点评】本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：s=nd,(2)扇形：由组成圆心角的

两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.求阴影面积常用的方法：①直接用公式

法；②和差法；③割补法.求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的

面积.

9.如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作

A(8,30°).用同样的方法将点B,点C的位置分别记作B(8,60°),C(4,60°),

则观测点的位置应在()

O2'B

6

A.点aB.点02C.点D.点0.,

【考点】D3：坐标确定位置.

【分析】根据点A的位置记作A(8,30°),B(8,60°),C(4,60°),进而得出观

测点位置.

【解答】解：如图所示：观测点的位置应在点a.

故选：A.

।J.。3

tA-

J一°A

01

【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点得出观测点是解题关键.

10.某大型文体活动需招募-•批学生作为志愿者参与服务，已知报名的男生有420人，女生

有400人，他们身高均在150Wx<175之间，为了解这些学生身高的具体分别情况，从中随

机抽取若干学生进行抽样调查，抽取的样本中，男生比女生多2人，利用所得数据绘制如下

统计图表：

组别身高（cm）

A150^x<155

B155WxV160

C160^x<165

D165^x<170

E170^x<175

根据图表提供的信息，有下列几种说法

①估计报名者中男生身高的众数在D组；

②估计报名者中女生身高的中位数在B组；

③抽取的样本中，抽取女生的样本容量是38；

④估计身高在160cm至170cm（不含170cm）的学生约有400人

其中合理的说法是（）

抽样调查男生身高统计图抽样调商女生各组身高人数占

女生抽样总数的百分百计图

【考点】W5：众数；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）

分布表；W4：中位数.

【分析】根据中位数的定义可判断①、②；由男生总人数及男生比女生多2人可判断③；用

男女生身高的样本中160cm至170cm所占比例乘以男女生总人数可判断④.

【解答】解：由直方图可知，男生身高人数最多的为D组，即众数在D组，故①正确；

由A与B的百分比之和为10.5%+37.5%=48%<50%,则女生身高的中位数在C组，故②错误;

,/男生身高的样本容量为4+8+10+12+8=42,

...女生身高的样本容量为40,故③错误；

•女生身高在160cm至170cm（不含170cm）的学生有40X（30%+15%）=18人,

,身高在160cm至170cm（不含170cm）的学生有（420+400）X22+18~400（人），故④

42+40

正确；

故选：B.

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取

信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

二、填空题

11.如图，长方体中所有与棱AB平行的棱是DC,EF,HM.

【考点】JA：平行线的性质；II：认识立体图形.

【分析】根据平行线的性质以及正方体的特征进行判断即可.

【解答】解：由图可得，长方体中所有与棱AB平行的棱有3条：DC,EF,HM,

故答案为:DC,EF,HM.

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及正方体的特征，解题时注意：在平面内不相交的

两条直线平行.

12.关于x的方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为4.

【考点】AA：根的判别式.

【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=bZ-4ac=0,建立关于k的方程，求出

k的取值.

【解答】解：•.•方程/-4x+k=0有两个相等的实数根，

(-4)2-4k=0,

即-4k=-16,

k=4

故本题答案为：4.

【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△>()=方程有两个不相等的实数根：

(2)△=()=方程有两个相等的实数根；

(3)△<()=方程没有实数根

13.如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB,则NBED的度数是135

度.

【考点】LE：正方形的性质.

【分析】根据正方形的性质可知：AB=BC,因为AE=BC,所以AB二AE,即三角形ABE是等腰三

角形，因为NBAE是45°,所以可求出NBEA,同理可求出NAED的度数，进而求出NBED

的度数.

【解答】解：,・•四边形ABCD是正方形，AC是对角线,

.'.AB=BC,NBAE=45°，

VAE=BC,

1200-45°

ZABE=ZAED=————~=67.5°,

2

同理可求得：NAED=67.5°,

AZBED=2X67.5°=135°.

故答案为135.

【点评】本题考查了正方形的性质：四边相等、对角线平分对角以及等腰三角形的判定和性

质和三角形内角和定理的运用.

14.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径是5,点A为。0上一点，AB，x轴于点B,AC1

y轴于点C,若四边形ABOC的面积为12,写出一个符合条件的点A的坐标（3,4）

【考点】D5：坐标与图形性质.

【分析】设点A坐标为（x,y）,由圆的半径为5可得x2+y、25,根据矩形的面积为xy=12

'22_（22

或xy=-12,分情况分别解［*+了=25和4x+y=25可得点人的坐标.

xy=12

【解答】解：设点A坐标为（x,y）,

则A02=x2+y2=25,

由xy=12或xy=-12,

当xy=12时，

可得(x+y)2-2xy=25,即(x+y)2-24=25,

x+y=7或x+y=-7,

①若x+y=7,即y=7-x,代入xy=12得x?-7x+12=0,

解得：x=3或x=4,

当x=3时，y=4；当x=4时，y=3；

即点A(3,4)或(4,3)；

②若x+y=-7,则y=-7-x,代入xy=12得：x2+7x+12=0,

解得：x=-3或x=-4,

当x=-3时，y=-4；当x=-4时，y=-3；

即点A(-3,-4)或(-4,-3)；

当xy=-12时,

可得(x+y)2-2xy=25,即(x+y)?+24=25,

.,•x+y=l或x+y=-1,

③若x+y=l,即y=l-x,代入xy=-12得x?-x-12=0,

解得：*=-3或*=4,

当x=-3时，y=4；当x=4时，y=-3；

即点A(-3,4)或(4,-3)；

④若x+y=-l,贝Uy=-l-x,代入xy=-12得：x2+x-12=0,

解得：x=3或x=-4,

当x=3时，y=-4；当x=-4时，y=3；

即点A(3,-4)或(-4,3)；

故答案为：(3,4),(答案不唯一).

【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握两点的距离公式和解二元二次方程组是

解题的关键.

15.如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式上近

a

b

ab

【考点】KR：勾股定理的证明.

【分析】该图形的面积与3个直角三角形组成一个直角梯形，根据三角形的面积公式、梯形

的面积公式进行解答.

【解答】解：依题意得：ab+-^c2+-^ab=-^-(a+b)(a+b),

整理，得

c2=a2+b2.

故答案是：c2=a2+b2.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，解题时，采用了分割法求图形的面积.

16.《数学九章》中的秦九韶部算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算

法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.例如，计算

“当x=8时，多项式3xJ4d-35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3--4d-

35x+8进行改写：

3x3-4x2-35x+8=x(3x2-4x-35)+8=x[x(3x-4)-35]+8

按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数,

使计算量减少，计算当x=8时，多项式3x'-4x2-35x+8的值1008.

请参考上述方法，将多项式x3+2x?+x-1改写为：x[x(x+2)+1]-1,当x=8时，这个

多项式的值为647.

【考点】4J：整式的混合运算一化简求值.

【分析】仿照题中的方法将原式改写，把x的值代入计算即可求出值.

【解答】解:X3+2X2+X-l=x[x(x+2)+1]-1,

当x=8时，原式=647,

故答案为：x[x(x+2)+1]-1；647

【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，弄清题中的方法是解本题的关键.

三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29

题8分)

17.计算：-718-2-1+(!-n)°-4sin45°.

3

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幕；6F：负整数指数幕；T5：特殊角的三角函数值.

【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.

【解答】解：V18-2"+n)。-4sin45。

=3&-Ll-4X返

v22

=氏血

【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数

运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减,

有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律

在实数范围内仍然适用.

[y=x-l

18.解方程组

[3x+2y=8

【考点】98：解二元一次方程组.

【分析】方程组利用代入消元法求出解即可.

[y=x-l①

【解答】解:(3x+2y=8②

把①代入②得：3x+2(x-1)=8,

解得：x=2,

把x=2代入①得：y=l,

则方程组的解为［'=？

ly=l

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与

加减消元法.

19.己知x’-3x-4=0,求代数式(x+1)(x-1)-(x+3)'+2x2的值.

【考点】4J：整式的混合运算一化简求值.

【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式

代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=x?-1-X?-6x-9+2X2=2X2-6x-10=2(x2-3x-4)-2,

当x,-3x-4=0时,原式=-2.

【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.列方程(组)解应用题

某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的

衬衫，但每件进价比第一批衬衫的每件进价少了10元，且进货量是第一次进货量的一半，

求第一批购进这种衬衫每件的进价是多少元？

【考点】B7：分式方程的应用.

【分析】设第一批衬衫每件进价为x元，则第二批每件进价为(x-10)元.根据第二批该

款式的衬衫，进货量是第一次的一半，列出方程即可解决问题.

【解答】解：设第一批衬衫每件进价为x元，

根据题意，得945002吧,

2xx-10

解得x=150,

经检验x=150是原方程的解，且满足题意，

答：第一批衬衫每件进价为150元.

【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是学会设未知数、找等量关系、列出方程解

决问题，注意分式方程必须检验，属于中考常考题型.

21.如图，在RtZXABC中，ZABC=90°,CD平分NACB交AB于点D,DE_LAC于点E,BF〃

DE交CD于点F.

求证：DE=BF.

【考点】KF：角平分线的性质；JA：平行线的性质.

【分析】根据角平分线的定义得到/1=/2,根据角平分线的性质得到DE=BD,Z3=Z4,由

平行线的性质得到3=Z5,于是得到结论.

【解答】证明：：CD平分/ACB,

.,.Z1=Z2,

VDE1AC,ZABC=90°

；.DE=BD,Z3=Z4,

VBF//DE,

Z4=Z5,

AZ3=Z5,

；.BD=BF,

；.DE=BF.

【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握

角平分线的性质是解题的关键.

22.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=ZADC=90°,对角线AC,BD交于点0,DE

平分NADC交BC于点E,连接0E.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若AB=2,求△()£(；的面积.

【考点】LD：矩形的判定与性质.

【分析】(1)只要证明三个角是直角即可解决问题;

(2)作OF_LBC于F.求出EC、OF的长即可；

【解答】(1)证明：：AD〃BC,

ZABC+ZBAD=180°，

VZABC=90°,

AZBAD=90°,

AZBAD-ZABC=ZADC=90°,

・・・四边形ABCD是矩形.

(2)作OF_LBC于F.

・・•四边形ABCD是矩形，

/.CD=AB=2,ZBCD=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD,

AAO=BO=CO=DO,

・・・BF=FC,

.,.OF=-i＜：D=l,

2

；DE平分/ADC,ZADC=90°,

：.ZEDC=45°,

在RtTXEDC中,EC=CD=2,

【点评】本题考查矩形的判定和性质、角平分线的定义、三角形中位线定理等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型.

23.直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线y=kx+b（k,b是常数，kWO）

经过点A,与y轴交于点C,且OC=OA.

（1）求点A的坐标及k的值；

（2）点C在x轴的上方，点P在直线y=-2x+4上，若PC=PB,求点P的坐标.

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征.

【分析】（1）令y=0,求得x的值，即可求得A的坐标为（2,0）,由OC=OA得C（0,2）

或（0,-2）,然后根据待定系数法即可求得k的值；

（2）由B、C的坐标，根据题意求得P的纵坐标，代入y=-2x+4即可求得横坐标.

【解答】解：(1)由直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,

令y=0,则-2x+4=0,

解得x=2,

AA(2,0),

V0C=0A,

AC(0,2)或(0,-2),

•.•直线y=kx+b(k,b是常数，kWO)经过点A和点C,

.[2k+b=0或[2k+b=0

一心二-2或ib=2，

解得k=l或k=-1；

(2)VB(0,4),C(0,2),且PC=PB,

；.P的纵坐标为3,

•.•点P在直线y=-2x+4上,

把y=3代入y=-2x+4解得x卷，

：.P(―,3).

2

【点评】本题考查了一次函数图象上点点坐标特征，分类讨论思想运用是本题点关键.

24.阅读下列材料：

社会消费品零售总额是指批发和零售业，住宿和餐饮业以及其他行业直接售给城乡居民和社

会集团的消费品零售额，在各类与消费有关的统计数据中，社会消费品零售总额是表现国内

消费需求最直接的数据.

2012年，北京市全年实现社会消费品零售总额7702.8亿元，比上一年增长11.6%,2013年,

全年实现社会消费品零售总额8375.1亿元，比上一年增长8.7%,2014年，全年实现社会消

费品零售总额9098.1亿元，比上一年增长8.6%,2015年，全年实现社会消费品零售总额

10338亿元,比上一年增长7.3%.

2016年，北京市实现市场总消费19926.2亿元，比上一年增长了8.设，其中实现服务性消

费8921.1亿元，增长10.1%；实现社会消费品零售总额11005.1亿元，比上一年增长了6.5%.

根据以上材料解答下列问题：

(1)补全统计表：

2012-2016年北京市社会消费品零售总额统计表

年份2012年2013年2014年2015年2016年

社会消费品零售总额7702.88375.19098.11033811005.1

(单位：亿元)

(2)选择适当的统计图将2012-2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率表示

出来，并在图中表明相应数据；

(3)根据以上信息，估计2017年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率约为

5.45%,你的预估理由是从2014到2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长

率的平均每年下降1.05%.

【考点】VE：统计图的选择；V5：用样本估计总体；VA：统计表.

【分析】(1)根据2012-2016年北京市社会消费品零售总额完成统计表即可；

(2)根据2012-2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率，画出2012-2016

年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率折线统计图即可；

(3)根据从2014到2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率的平均每年下降

1.05%,即可得出2017年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率.

【解答】解：(1)补全统计表如下：

2012-2016年北京市社会消费品零售总SOUt*

号份2012年2013年2OM年2015年2016年

社会消费品零售

7702.88375.19098.110338HOOS.I

总MU单位:亿元)

(2)2012-2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率统计图如下:

2012-2016隼北京市杜会篇费£写0总值比上一尊的埔长军就计19

(3)从2014到2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率的平均每年下降

1.05%,

故2017年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率约为6.5%-1.05%=5.45%,

故答案为：5.45%,从2014到2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率的平均

每年下降1.05%.

【点评】本题主要考查了统计图、统计表的选择，解题时注意：折线统计图的特点：能清楚

地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势.

25.如图，AB是。。的直径，C是。。是一点，过点B作。。的切线，与AC延长线交于点D,

连接BC,OE〃BC交。0于点E,连接BE交AC于点H.

(1)求证：BE平分NABC；

(2)连接OD,若BH=BD=2,求OD的长.

【考点】MC：切线的性质.

【分析】(1)根据切线的性质得到/ACB=90°,根据平行线的性质得到0E_LAC,根据垂径

定理即可得到结论；

(2)根据切线的性质得到NABD=90°,根据等腰三角形的性质得到NCBD=N2,解直角三角

形即可得到结论.

【解答】(1)证明：：AB为。。的直径，

AZACB=90°,

：0E〃BC,

.-.0E±AC,

••AErC&

AZ1=Z2,

ABE平分/ABC；

(2)解：：BD是。。的切线，

ZABD=90°,

VZACB=90°,BH=BD=2,

；./CBD=N2,

.,.Z1=Z2=ZCBD,

AZCBD=30°,ZADB=60°,

VZABD=90°,

.".AB=2A/3-0B=y/3,

VOD2=OB2+BD2,

.,.OD=7T.

D

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，角平分线的判定，勾股定理，正

确的识别图形是解题的关键.

26.学习了《平行四边形》一章以后，小东根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判

定问题进行了再次探究.

以下是小东探究过程，请补充完整：

(1)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,若AB〃CD,补充下列条件中能判定四

边形ABCD是平行四边形的是B或C(写出一个你认为正确选项的序号即可)；

(A)BC=AD(B)ZBAD=ZBCD(3)A0=C0

(2)将(1)中的命题用文字语言表述为：

①命题1一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

②画出图形，并写出命题1的证明过程；

(3)小东进一步探究发现：

若一个四边形ABCD的三个顶点A,B,C的位置如图所示，且这个四边形满足CD=AB,ND=

NB,但四边形ABCD不是平行四边形，画出符合题意的四边形ABCD,进而小东发现:命题2"一

组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题.

【考点】L6：平行四边形的判定；01：命题与定理.

【分析】(1)根据四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AB〃CD,补充条件即可判

定四边形ABCD是平行四边形；

(2)先将符号语言转化为文字语言，再写出已知、求证和证明过程即可；

(3)根据等腰三角形以及轴对称变换即可得到反例，或根据平行四边形以及圆周角定理即

可得到反例.

【解答】解：(1)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,

若AB〃CD,则当NBAD=NBCD或A0=C0时，四边形ABCD是平行四边形；

故答案为：B或C；

(2)①选择C,文字语言表述为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形

是平行四边形；

故答案为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

②已知：如图，在四边形ABCD中，AB/7CD,对角线AC与BD交于点0,A0=C0.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：VAB/7CD,

.,.ZAB0=ZCD0,ZBA0=ZDC0,

VA0=C0,

.,.△AOB^ACOD,

；.AB=CD,

又TABaCD,

四边形ABCD是平行四边形.

(3)如图所示，四边形ABCD满足CD=AB,ZD=ZB,但四边形ABCD不是平行四边形.

D

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定以及明天与定理的运用，解决问题的关键是掌握

平行四边形的判定方法，解题时注意：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B两点(点A

在点B的左侧).

(1)求抛物线的对称轴及线段AB的长；

(2)抛物线的顶点为P,若NAPB=120。，求顶点P的坐标及a的值；

(3)若在抛物线上存在一点N,使得NANB=90°,结合图象，求a的取值范围.

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】(1)令y=0得：ax2+2ax-3a=0,解关于x的方程可求得点A和点B的横坐标，然

后可求得AB的长，利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴方程；

(2)如图1所示，利用抛物线的对称性可知：AH=2,NAPB=60°,然后可求得PH=2返，

3

从而可的点P的坐标，最后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值；

(3)以AB为直径作。H,则点N在。H上，当点P在。H上或点P在。H外时，NANB=90°,

故此HP》2,接下来，依据HP22列不等式求解即可.

【解答】解：(1)令y=0得：ax2+2ax-3a=0,即a(x+3)(x-1)=0,解得：x=-3或x=L

AA(-3,0)、B(1,0).

・••抛物线的对称轴为直线x=-1,AB=4.

(2)如图1所示：

设抛物线的对称轴与x轴交于点H.

VZAPB=120°,AB=4,PH在对称轴上,

；.AH=2,ZAPB=60°.

.PH-2A/3

3_

.,.点P的坐标为(-1,-马区).

3

将点P的坐标代入得：-2运=-4a,解得a=返.

36

(3)如图2所示：以AB为直径作。H.

•当NANB=90°,

...点N在。H上.

•・•点N在抛物线上，

/•点N为抛物线与。H的交点.

.,.点P在圆上或点P在圆外.

；.HP22.

•将x=-1代入得：y=-4a.

AHP=4a.

4a^2,解得a21".

，a的取值范围是

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函

数的解析式，二次函数的性质，找出/ANB=90°的条件是解题的关键.

28.ZXABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA按顺时针方向旋转60°得到线段

CD,连接BD交AC于点0.

(1)如图1.

①求证：AC垂直平分BD；

①点M在BC的延长线上，点N在线段C0上，且ND=NM,连接BN,判断△MND的形状，并加

以证明；

(2)如图2,点M在BC的延长线上，点N在线段A0上，且ND=NM,补全图2,求证：NA=MC.

【考点】RB：几何变换综合题.

【分析】(1)根据等边三角形的性质和旋转的性质证明即可；

(2)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法，证明4AND丝aCMD,再利用全等三

角形的对应边相等证明即可.

【解答】证明：•••△ABC是等边三角形，

ZABC=ZACB=ZCAB=60°,

①以点C为旋转中心，将线段CA按顺时针方向旋转60°得到线段CD,

；.CD=CA,ZACD=Z