中学高考文数仿真试卷

中学高考文数仿真试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题(共11题，共55分)

fU。)+logix］=4

1、已知f(X)是定义域为(0,+8)的单调函数，若对任意的xe(0,+8),都有3

且方程If(X)-3|=x3-6x2+9x-4+a在区间(0,3］上有两解，则实数a的取值范围是()

A.0<aW5

B.a<5

C.0<a<5

D.a25

【考点】

【答案】A

【解析】解：：定义域为(0,+8)的单调函数f(x)

1

满足千［千(x)+Iog3x］=4,

J必存在唯一的正实数a,

满足千(x)+logx=a,千(a)=4,①

.'.f(a)+loga=a,②

由①②得：4+1oga-a,Ioga=a-4，

1

a=(3)a-4,左增，右减，有唯一解a=3,

故千(x)+logx=a=3,

千(x)=3-logx,

由方程|f(x)-31=x3-6x2+9x-4+a在区间(0,3］上有两解,

即有IIogx|二x3-6x2+9x-4+a,

由g(x)=x3-6x2+9x-4+a,gz(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),

当1VxV3时，g'(x)<0,g(x)递减；当0VxV1时，gz(x)<0,g(x)递增.

g(x)在x=1处取得最大值a,g(0)=a-4,g(3)=a-4,

分别作出y=IIogx|,和y=x3-6x2+9x-4的图象，可得

两图象只有一个交点，将y=x3-6x2+9x-4的图象向上平移，

至经过点(3,1),有两个交点，

由g(3)=1即a-4=1,解得a=5,

当0＜aW5时，两图象有两个交点，

即方程|f(x)-31=x3-6x2+9x-4+a在区间(0,3］上有两解.

故选：A.

【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的，函数的单

调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间值同内，(1)如果，(力＞0,那么函数尸.』(另在这个区间单调

递增；(2)如果r&)＜。，那么函数＞・丁狂)在这个区间单调递减.

2、为了调查中学生课外阅读古典文学名著的情况，某校学生会从男生中随机抽取了50人，从女生中随机

抽取了60人参加古典文学名著知识竞赛，统计数据如表所示，经计算K278.831,则测试成绩是否优秀与

性别有关的把握为()

j-2_________n(ad-bc)2_______

附：'-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

A.90%B.95%C.99%D.99.9%

【考点】

【答案】C

【解析】解：因为K2七8.831＞6.635,所以有99%的把握认为测试成绩师傅优秀与性别有关，

故选C.

3、已知4ABC是边长为1的等边三角形，贝/48-280)*(BC+2a4)二()

A.-2

3

B.一彳

C.1

D.3

【考点】

【答案】B

(4F-25C)-(BC+2CA)

=4B-BC+43・2CA-2BC2-2BC・2cA=1X1Xcos1200+2

93

,,,„x1x1xcosl20°-2x1-4x1x1xcosl20°=-7生

【解An析r】解：2故

选B.

4、设f(x)为奇函数，且在(-8,0)内是减函数，f(-2)=0,则xf(x)V0的解集为()

A.(-1,0)U(2,+8)

B.(…，-2)U(0,2)

C.(…，-2)U(2,+8)

D.(-2,0)U(0,2

【考点】

【答案】C

【解析】解：(x)为奇函数，且在(-8,0)内是减函数，f(-2)=0,

-,-f(-2)--f(2)-0,在(0,+°°)内是减函数

x>0x<0

,■,Xf(X)<0则{/'(x)<0=f(2)或{f(x)>0=f(—2)

根据在(-8,0)内是减函数，在(0,+8)内是减函数

解得：xG(-00,-2)U(2,+°°)

故选C【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质的相关知识点，需要

掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1Vx2；②判定f(x1)与f(x2)的大小;

③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇

数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶

性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题.

5、设集合A={y|y=、2-1},B={x|y=})则下列结论中正确的是()

A.A=BB.AcBC.BUAD.AAB={x|x21}

【考点】

【答案】D

【解析】解：由题意，yG*—1的值域为[o,+oo)

二集合A=[0,+8)

y=的定义域需要满足x2-1\0,解得：x"1或xW-1,

故得AHB={x|x21}.

故选D

6、如图是f(x)=x3+bx2+cx+d的图象,则x12+x22的值是(

2

A.3

8

C.3

16

D.V

【考点】

【答案】D

【解析】解：由图得：f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,

「・F(x)=3x2-2x-2

Vx1,x2是原函数的极值点

2_2

所以有x1+x2二3"=

4416

故x12+x22=(x1+x2)2-2X1X2=9+3=T.

故选D.

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方

法是：(1)如果在，附近的左侧/⑴>0,右侧，⑸<0,那么人。)是极大值(2)如果在附近的左侧

右侧15)>。，那么人端是极小值.

0813515

7、设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若稔-可，则与=()

A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】

【答案】C

»8_13

【解析】解：,一・访一号,

<如1+。15)1x15(al+ais)”

fis：----------：------------152%

sa+ax

.­.i3=2(ii3)=213(a1-f-a3i=jJ><2a7=><x=3)

故选：C.

【考点精析】认真审题，首先需要了解等差数列的性质(在等差数列｛an｝中，从第2项起，每一项是它

相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列).

X

8、函数,的图象不可能是()

A.

【考点】

【答案】C

【解析】解：当a=o时，函数化为y="函数的图象为：A；

当a=1时，x=0时，y=0,x手0时，函数化为y="+反，函数的图象为：B；

xX2-1-2X2

当a=-1时，函数化为丫=£二］，当xC（0,1）时，y'=（二-1）二＜0,函数是减函数，f（0）=0,

可知函数的图象为：D；

故选：C.

【考点精析】通过灵活运用函数的图象和利用导数研究函数的单调性，掌握函数的图像是由直角坐标

系中的一系列点组成；图像上每一点坐标（x,y）代表了函数的一对对应值，他的横坐标x表示自变量的

某个值，纵坐标y表示与它对应的函数值；一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区

间正协内，⑴如果⑸＞。，那么函数在这个区间单调递增；⑵如果7&）＜。，那么函数＞■/（*）在

这个区间单调递减即可以解答此题.

9、甲、乙两名篮球运动员在7场比赛中的得分情况如茎叶所示，％甲、乙分别表示甲、乙两人的平均得分,

甲乙

1615

3286

973430

2S44

则下列判断正确的是(

A.甲〉乙，甲比乙得分稳定

B.甲〉乙，乙比甲得分稳定

C.甲〈乙，甲比乙得分稳定

D.甲V乙，乙比甲得分稳定

【考点】

【答案】B

【解析】解：7场比赛甲的得分为11、16、23、37、39、42、48,

7场比赛乙的得分为15、26、28、30、33、34、44,

'1

.•.X甲=7(11+16+23+37+39+42+48)%30.86,

*乙二(15+26+28+30+33+34+44)=30,

通过比较数据的波动情况，得：S甲-<S乙2

.■>,乙比甲得分稳定.

故选：B.

【考点精析】认真审题，首先需要了解茎叶图(茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位

数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干(茎)，将变化大的位的数作为分枝(叶)，

列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少).

n

10、设函数千(x)=2sin(2x+6),将千(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y二g

(x),则g(x)的图象的一条对称轴方程为()

n

A.x"4

5TT

B.x=12

n

C.x=2

n

D.x=12

【考点】

【答案】D

n

【解析】解：函数千(x)=2sin(2x+6),

将f(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为

函数y二g(X)=2sin(4x+).

n1n

令4x+=kn+2,kez,可解得函数对称轴方程为：x=4kn+12,kGZ,

当k=0时，乂=是函数的一条对称轴.

故选：D.

11、直线寸2ax+匕丫=1与圆x2+y2=1相交于A、B两点（其中a,b是实数），且aAOB是直角三角形（0

是坐标原点），则点P（a,b）与点（0,1）之间距离的最小值为（）

A.0

C监-1

D.,R+1

【考点】

【答案】C

过。作0CLAB,因为aAOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点,

又|0A|=|0B|=1,根据勾股定理得：|AB|=\'2,

1£

二|OC|=，|AB|=T,

1

.圆心到直线的距离为J2a2~4=,即2a2+b2=2,即a2=-b2+1,

则点p（a,b）与点（o,1）之间距离d/（a-0）2+（b-l）2=Ja2+b2-2b+~2b+2

设f（b）=b2-2b+2,此函数为对称轴为x=2的开口向上的抛物线，

.•.当-WbWV2时，函数为减函数，

■■-f（）=3-2,

,■,d的最小值为43-2企」皑-1）2=-1,

故选C【考点精析】本题主要考查了直线与圆的三种位置关系的相关知识点，需要掌握直线与圆有三

种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交，这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相

切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点才能正确解答此题.

二、填空题（共4题，共20分）

T—T——14

12、如图所示，在4ABC中，AD=DB,点F在线段CD上，设AC=b>4F=x+y）则着开！的最小值

【考点】

【答案】3+2应

—>—>—>]—>

【解析】解：.••三点c,F,D共线，则存在实数入：4F="C+（1一人）入+7d-A）AB,

X=xfl+y^,X=y,（1-X）=x,

y+i

则2x+y=1..\x+2=1,

14y+114y+14x'+14x

则7+y+1=（“，厂）（7+y+i）=3+2x+丫+1。3+242x丫+1=3+2遇，当且仅当*={{1取

出的2只鞋能成双包含的基本事件个数m=C3=3,

m34

•・•取出的2只鞋不能成双的概率p=1-^=1-15=5.

所以答案是：.

14、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径，

且SC=2；则此棱锥的体积为.

【考点】

也

【答案】~6

【解析】解：根据题意作出图形:

s

设球心为0,过ABC三点的小圆的圆心为01,则001_L平面ABC,

延长C01交球于点D,则SD,平面ABC.

..coi-3xT-T

,。。】=屏^量

2版

二高SD=200仁丁，

■.-△ABC是边长为1的正三角形，

c—押

QAABC=T

,,J

《X坦X逑必

.■.V三棱锥S-ABC=343=6.

所以答案是.

15、已知点P是抛物线C1：y2=4x上的动点，过P作圆(x-3)2+y2=2的两条切线，则两条切线的夹角的

最大值为.

【考点】

【答案】60。

【解析】解；要使两切线夹角最大，需抛物线上的点P到圆心的距离最小，点P到圆心的距离为；

d=J(x-3)2+y23)3+4x以(x-1?+8\2p,

即点P到圆心的距离最小为2,圆A：(x-3)2+y2=2的半径尸,

1

设两切线夹角为2a,则sina=2,二a=30°,2a=60°故两切线夹角的最大值为60°,

所以答案是：60。.

三、解答题(共7题，共35分)

16、已知函数f(x)=|x+1|-|x|+a.

(1)若不等式f(x)NO的解集为空集，求实数a的取值范围；

(2)若方程f(x)=x有三个不同的解，求实数a的取值范围.

【考点】

【答案】

(1)解：令g(x)=|X+1|-|x|,则由题意可得f(x)川的解集为即g(x)--a的解集为

即g(x)<-a恒成立.

—1—1

^(x)=|x+l|-|x|=-2x+h-l<；x<0

■■■-1，"NO，作出函数g(x)的图象，

由图可知，函数g(X)的最小值为g(x)min=-1；函数g(x)的最大值为g(x)max=1.

一a>1,aV-1,

综上，实数a的取值范围为(-8,-1).

(2)解：在同一坐标系内作出函数g(x)=|x+1|-|x|图象和y=x的图象如下图所示，由题意可知,

把函数尸g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与尸x的图象始终有3个交点，

从而-1<aV0.

【解析】(1)由题意可得即g(x)<-a恒成立，作出函数g(x)的图象，求得函数g(x)的最大值为

g(x)max=1,可得-a>1,.,.从而求得a的范围.(2)在同一坐标系内作出函数g(x)=|x+1|-|x|图象

和y=x的图象，由题意可知，把函数y=g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，则它与

y=x的图象始终有3个交点，从而得到a的范围.

【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、

同解变形法，其同解定理有；规律I【考点】

【答案】

(1)解：...△ABM是边长为强的等边三角形,.1.|AB|=|AM|=|BMF|=4,

如图1,作MM'_LI于点M',FN_LMM'于点N

由抛物线的定义知|MF|=|MMZ|=4,

丫直线MF的倾斜角为60°,，NMFx=NFMM'=600

所以|MN|=|MM，|-||NMZ|=2,所以p=|MN|=2

所以抛物线E的方程y2=4x

(2)解：设直线CD的方程为x=my+1,C(x1,y设，D(x2,y2)

x=my+1

J2

联立y~4"=y2-4my-4=0

△=16m2+16>0,y1+y2=4m,{y1y2=-4

2

因为点c在抛物线E：y2=4x上，所以点C的坐标

所以kCQ=yJ-8

4yI,c、yi2-8

所以直线CQ的方程为：y-0=>~'「i-8(4—2)'，即x=-4--y-「--y4-一2，

168168

联立把x=代入y2=4x,解得GO'」')'1)同理可得，H。小'丫2),

yi-y；4

1

yjy2),]+y2

所以丁一亍，

_ysG_y/2______2_

2

-xH-x0-~2(yt+y2)一九+及

所以92

【解析】(1)由4ABM是边长为的等边三角形，得|AB|=|AM|=|BMF|=4,如图1,作MM，±I于点M，,FN±MMZ

于点N,由抛物线的定义知|MF|=|MM，,由=|||NM，|=2,得p=|MN|；(2)设直线CD的方程

为乂5丫+1,C(x1,y1),D(x2,y2),联立ny2-4my-4=0得C的坐标，kCQ=,写出直线CQ的方程，得

G、H坐标即可.

18、中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分儿口井，取得了地

质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如

果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用.勘

探初期数据资料见如表：

(1)1〜6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a,求a,并估计y的预

AA

报值；(2)现准备勘探新井7(1,25),若通过1、3、5、7号井计算出的》，。的值(精确到0.01)相

比于(1)中b,a的值之差不超过10%,则使用位置最接近的已有旧井6(1,y),否则在新位置打开，请

判断可否使用旧井？(参考公式和计算结果：

b=-------;~,a=y-bx,2t=i^22t-i=94,EJ/21y21=945

)(3)设出油量与

勘探深度的比值k不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有井号1〜6的出油量不低于50L的井中任意

勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率.

【考点】

【答案】

1

(1)解：(2+4+5+6+8)=5,?=(30+40+60+50+70)=50,

回归直线必过平衡点(，)，

则a=-b=50-6.5X5=17.5,

..•回归直线方程为y=6.5x+17.5,

当x=1时，y=6.5+17.5=24,即y的预报值为24.

945-4x4x46.25

⑵解：,.■=4,=46.25,.­.94-4x42«6.83,a=-斑=46.25-6.83X4=18.93,

b-ba-a

b七5%,a七8%,均不超过10%,

二使用位置接近的已有旧井6(1,24).

(3)解：由题意知原有出油量不低于50L的井中，3,5,6这3口井是优质井，

2,4这两口井是非优质井，

由题意从这口井中，随机选3口，基本事件总数『以二10,

恰有2口是优质井包含怕基本事件个数m=0；C；=6,

m63

二恰有2口是优质井的概率p=«=10=5.

【解析】(1)先求出刀,丫，由回归直线必过平衡点(，)，求出回归直线方程，由此能求出当x=1时，y

AA

的预报值.(2)先分别求出，，匕，a,由此能求出使用位置接近的已有旧井.(3)由题意知原有出油量

不低于50L的井中，3,5,6这3口井是优质井，2,4这两口井是非优质井，由此能求出恰有2口是优质

井的概率.

19、如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中NBAE=NGAD=45°,AB=2AD=2,

ZBAD=60°.

(1)求证：BD_L平面ADG；

(2)求此多面体的全面积.

【考点】

【答案】

(1)证明：在4BAD中，,,-AB=2AD=2,ZBAD=60°,

二由余弦定理可得BD=\^,

则AB2=AD2+BD2,.-.AD±BD.

在直平行六面体中，GDJ■平面ABCD,BDu平面ABCD,

.-.GD±BD,

又ADCGD=D,「.BD，平面ADG；

(2)解:由已知可得，AG//EF,AE〃GF,

••・四边形AEFG为平行四边形，

GD=AD=1,.-.EF=AG=<I2.

EB=AB=2,.-.GF=AE=2.

过G作GH〃DC交CF于H,得FH=2,.-.FC=3.

过G作GM〃DB交BE于M,得G归DB=，ME=1,；.GE=2.

S/rm=2x—=不

24

该几何体的全面积

^/7+2xlxlx^+1xlxl+lx2x2+1x(l+3)x2+lx(2+3)xl=^+%5+9

【解析】⑴在4BAD中，由余弦定理求得BDF3,可得AB2=AD2+BD2,得ADLBD.再由已知可得CDLBD,

由线面垂直的判定可得BDL平面ADG；(2)由已知可得，AG〃EF,AE〃GF,得四边形AEFG为平行四边形，

然后求出各面面积得答案.

【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线

都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现

了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想).

20、已知曲线C的极坐标方程是p=2cos0,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立

x-^+m

平面直角坐标系，直线I的参数方程是V=2f(t为参数).

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线I的普通方程；

(2)设点P(m,0),若直线I与曲线C交于A,B两点，且|PA|“PB|=1,求实数m的值.

【考点】

【答案】

(1)解：由p=2cos6,得：p2=2pcos0,.'.x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,

二曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.

上

x=—t+m

2

二

由I六«为参数)，得*=a+优，即x.如-加=。，

二直线I的普通方程为X-.

-t+m-1-r

(2)解：将代入(x-1)2+y2=1,得：(2)2+(2)2=1,

整理得：/+°(用-1)/+--方|=°,由△>(),即3(m-1)2-4(m2-2m)>0,

解得：设t1,t2是上述方程的两实根，则4+与=-4(加T),t1t2=m2-2m,

又直线I过点P(m,0),由上式及t的几何意义得|PA|「PB|=|t1t2|的m2-2m|=1,

解得：m=1或m=1土式,都符合

因此实数m的值为1或1+a或1-•

【解析】(1)由p=2cos6,得：p2=2pcos0,由此能求出曲线C的直角坐标方程，直线I的参数方程

中消去参数得到其普通方程.(2)首先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程中的参数

t消去化为普通方程，把直线的参数方程代入圆的标准方程得到关于t的一元二次方程，由于直线与圆有两

个交点，方程有两个实根，所以要求判别式为正，解得m的范围，利用根与系数关系表示t1t2,利用直线

的参数方程参数t的几何意义可知|PA|-|PB|=|t1t2|=|m2-2m|=1,解出m后要求符合m的范围即可；

1

21、已知函数f(x)=lnx-ax+2x(aGR).

3

(1)当a=-2时，求函数f(x)的单调区间和极值.

(2)若g(x)=f(x)+a(x-1)有两个零点x1,x2,且x1<x2,求证：x1+x2>1.

【考点】

【答案】

3J_113♦+”-1

(1)解：当a=-5时，f(x)=lnx+x+2x,(x>0),求导，f'(x)=X+-27=—五3~,

令f，(x)=0,解得：x=3或x=-1(舍去)，

当f'(x)>0,解得：x>,

当甘(x)<0,解得：0<x<,

二函数的单调递增区间为(，+8),单调递减区间为(0,),

•・.当*=时,函数取极小值,极小值为2-ln3；

(2)证明：根据题意，g(x)=f(x)+a(x-1)=lnx+-a,(x>0),

因为x1,x2是函数g(x)的两个零点，

11

二5x1+2再-a=0,Inx2+-a=0,

两式相减，可得ln4=-,

严弱m

即|n=2不巧，故x1x2=的.

21n立协立

那么x1=巧,x2=A

令t=，其中0VtV1,

1-巴

_1