一元线性回归模型参数的最小二乘估计（二） 高二下学期数学人教A版2019选择性必修第三册

第八章成对数据的统计分析8.2.2

最小二乘估计（二）

延时符授课人：

日期：2024年6月19日学习目标针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题并加以解决

030201复习巩固

1

2注意

经验回归方程最小二乘法残差分析新知导入4

【例1】（教材113页）某林场收集了某种树的一些数据如下表所示，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.【解】散点图如右图所示两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.

新课知识5编号胸径/cm树高观测值/m树高预测值/m残差/m118.118.819.4-0.6220.119.219.9-0.7322.221.020.40.6424.421.020.90.1526.022.121.30.8628.322.121.90.2729.622.422.20.2832.422.622.9-0.3933.723.023.2-0.21035.724.323.70.61138.323.924.4-0.51240.224.724.9-0.2 根据经验回归方程，由胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)以及相应的残差，如(教材114页）表所示.残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内.可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，可以根据经验回归方程由胸径预测树高.新课知识6一元线性回归模型解决问题的过程

分析实际问题确定响应变量，通过散点图观察成对样本数据是否线性相关，进而选择合适的统计模型；1

通过统计软件得到模型参数的估计；2

通过经验回归方程得到预测值、残差，分析残差图的特点，确定是否需要改进模型等；3

根据经验回归方程，可以预测结果.4新课知识7编号12345678年份18961912192119301936195619601968记录/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95

【问题】人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.以世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图，得右图：散点看上去大致分布在一条直线附近新课知识8将经验回归直线叠加到散点图，得到右图： 从图中可以看到，经验回归方程较好地刻画了散点的变化趋势.

根据最小二乘法，由表中的数据得到经验回归方程为：

新课知识9 第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线.

前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方， 这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.请再仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗?

中间时间段的散点都在经验回归直线的下方.新课知识10

【问题】你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征吗？散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近.

新课知识11

编号12345678年份189619121921193019361956196019680.002.833.263.563.714.114.174.29记录11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95对数据进行变化可得下表：

非线性转化为线性关系新课知识12得到散点图如右图：由表中的数据得到经验回归方程为：

右图表明，经验回归方程对于成对数据具有非常好的拟合精度.将经验回归直线叠加到散点图，得到右图：

新课知识13

【思考】对于通过创纪录时间预报世界纪录的问题，我们建立了两个回归模型，得到了两个回归方程，你能判断哪个回归方程拟合的精度更好吗？散点图中各散点都非常靠近②的图象，表明非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①.①②

非线性回归方程的拟合效果要优于线性回归方程.直接观察法1残差分析：残差平方和越小，模型拟合效果越好.2

新课知识14

新课知识15建立非线性经验回归模型的基本步骤确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；1由经验确定非线性经验回归方程的模型；2通过变换，将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型；3按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；4消去新元，得到非线性经验回归方程；5得出结果后分析残差图是否有异常．6课堂小结16建立非线性经验回归模型的基本步骤。

由经验确定非线性经验回归方程的模型；1通过变换，将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型；2按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；3消去新元，得到非线性经验回归方程；4

本课作业

必做