2024年福建省漳州第一中学中考数学适应性试卷+

2024年福建省漳州一中中考数学适应性试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）﹣2024的相反数是（）A．2024 B． C．﹣2024 D．2．（4分）某物体如图所示，其左视图是（）A． B． C． D．3．（4分）2024年春节期间，海南旅游市场呈现出强劲的复苏势头．据移动大数据监测，2月10日至17日，全省举办的各类赛事活动接待游客41.83万人次，带动旅游消费992000000元．数据“992000000”用科学记数法表示为（）A．99.2×107 B．9.92×108 C．9.92×109 D．0.992×1094．（4分）下列运算正确的是（）A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（a5）2＝a7 D．3a3•2a2＝6a55．（4分）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（）A．625（1﹣x）2＝400 B．400（1+x）2＝625 C．625x2＝400 D．400x2＝6256．（4分）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是（）A．80° B．76° C．66° D．56°7．（4分）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m8．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（）A．30° B．35° C．45° D．60°9．（4分）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．（4分）第二十四届国际数学家大会会徽是由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间小正方形EFGH拼成正方形ABCD（如图），∠ABF＞∠BAF，设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）正九边形一个内角的度数为．12．（4分）我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒内夹谷25粒．则这批米内夹谷约为石．13．（4分）若x2+x﹣1＝0，则3x﹣＝．14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为．15．（4分）在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（﹣1，1），（2，1），将▱ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是．16．（4分）已知点A、B都在二次函数y＝ax2（a＞0）上，A、B的横坐标分别为m、n（0＜m＜n），过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，当点A在线段MN上时，的值为．三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（8分）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．18．（8分）如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC＝∠OCB．19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝4．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中放置一块45°角的三角板ABC，∠BAC＝90°，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，AB右侧有一条直线l到AB的距离为．（1）用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若直线l与BC边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．21．（8分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的两种统计图表．请结合统计图表，回答下列问题：（1）本次参与调查的学生共有人，请补全条形统计图；（2）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平．22．（10分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．23．（10分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？[情境引入]小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：25x+50（x﹣30）＝4500”．（1）根据题意，例题中被覆盖的条件是（填序号）．①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元（2）根据所列方程“25x+50（x﹣30）＝4500”，求A、B两种品牌足球的单价．[迁移类比]（3）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价．[拓展探究]（4）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价打8折，B种品牌的足球单价优惠4元．若此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．（1）如图1，若α＝90°，则线段ED与BD的数量关系是，＝；（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．求证：；（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE，请求出的值（用含m的式子表示）．

2024年福建省漳州一中中考数学适应性试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）﹣2024的相反数是（）A．2024 B． C．﹣2024 D．【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．【解答】解：﹣2024的相反数是2024，故选：A．【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．2．（4分）某物体如图所示，其左视图是（）A． B． C． D．【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．【解答】解：从左边看，是一列两个相邻的矩形．故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从左边看得到的图形．3．（4分）2024年春节期间，海南旅游市场呈现出强劲的复苏势头．据移动大数据监测，2月10日至17日，全省举办的各类赛事活动接待游客41.83万人次，带动旅游消费992000000元．数据“992000000”用科学记数法表示为（）A．99.2×107 B．9.92×108 C．9.92×109 D．0.992×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：992000000＝9.92×108．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）下列运算正确的是（）A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（a5）2＝a7 D．3a3•2a2＝6a5【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故A不符合题意；B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故B不符合题意；C、（a5）2＝a10，故C不符合题意；D、3a3•2a2＝6a5，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．5．（4分）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（）A．625（1﹣x）2＝400 B．400（1+x）2＝625 C．625x2＝400 D．400x2＝625【分析】第三年的植树量＝第一年的植树量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解答】解：根据题意得：400（1+x）2＝625，故选：B．【点评】考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键．6．（4分）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是（）A．80° B．76° C．66° D．56°【分析】延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK∥AB，得到GK∥CD，推出∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，得到∠EGF＝∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性质得到∠EMB＝33°，∠DNF＝33°，即可求出∠EGF的度数．【解答】解：延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK∥AB，∵AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，∴∠KGM+∠KGN＝∠EMB+∠DNF，∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF，∵∠ABE＝80°，∠E＝47°，∴∠EMB＝∠ABE﹣∠E＝33°，同理：∠DNF＝33°，∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF＝33°+33°＝66°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是通过作辅助线，由平行线的性质，得到∠EGF＝∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性质求出∠EMB、∠DNF的度数，即可解决问题．7．（4分）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得AD，．用AD+BE即可表示出房顶A离地面EF的高度．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵它是一个轴对称图形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC＝，∴AD＝BD•tanα＝3tanαm．∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，故选：B．【点评】本题主要考查了解直角三角形的意义，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角形的边角关系定理求得AD的长是解题的关键．8．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（）A．30° B．35° C．45° D．60°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，故选：A．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．（4分）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】根据题意可知xy的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最多，甲学校的优秀人数最少，乙、丁两学校的优秀人数相同．【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，∵描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，∴乙、丁两学校的优秀人数相同，∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，∴丙学校的xy的值最大，即优秀人数最多，甲学校的xy的值最小，即优秀人数最少，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．10．（4分）第二十四届国际数学家大会会徽是由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间小正方形EFGH拼成正方形ABCD（如图），∠ABF＞∠BAF，设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】设AE＝a，DE＝b，利用全等三角形的性质可得BF＝AE＝a，DE＝AF＝b，从而可得EF＝b﹣a，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理和锐角三角函数的定义可得AB2＝a2+b2，tanα＝，再在Rt△BFE中，利用锐角三角函数的定义可得tanβ＝，从而可得＝（）2，进而可得（b﹣a）2＝ab，最后利用完全平方公式进行计算可得：a2+b2＝3ab，从而可得a2+b2＝3（b﹣a）2，进而可得AB2＝3EF2，即可解答．【解答】解：设AE＝a，DE＝b，∵△AED≌△BFA，∴BF＝AE＝a，DE＝AF＝b，∴EF＝AF﹣AE＝b﹣a，在Rt△ABF中，AF＝b，BF＝a，∴AB2＝BF2+AF2＝a2+b2，tan∠BAF＝tanα＝＝，在Rt△BFE中，tan∠BEF＝tanβ＝＝，∵tanα＝tan2β，∴＝（）2，∴（b﹣a）2＝ab，∴b2﹣2ab+a2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∴a2+b2＝3（b﹣a）2，∴AB2＝3EF2，∴正方形ABCD的面积＝3正方形EFGH，∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：3，∴n＝3，故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的性质，正方形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）正九边形一个内角的度数为140°．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝＝140°．故答案为：140°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．12．（4分）我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒内夹谷25粒．则这批米内夹谷约为125石．【分析】用总数量乘以样本中夹谷粒数所占比例即可．【解答】解：1500×＝125（石），故答案为：125．【点评】本题主要考查用样本估计总体，掌握用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确是解题的关键．13．（4分）若x2+x﹣1＝0，则3x﹣＝﹣3．【分析】根据公因式法可以先将所求式子化简，然后根据x2+x﹣1＝0，可以得到x﹣的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：3x﹣＝3（x﹣），∵x2+x﹣1＝0（x≠0），x+1﹣＝0，∴x﹣＝﹣1，当x﹣＝﹣1时，原式＝3×（﹣1）＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】考查分式的化简求值及整体思想，关键是找到已知所求之间的联系．14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝4，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC，∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠A，在△ABE和△FCB中，，∴△ABE≌△FCB（AAS），∴FC＝AB＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，在Rt△FCB中，由勾股定理得，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．15．（4分）在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（﹣1，1），（2，1），将▱ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是（4，﹣1）．【分析】先根据点坐标的中心对称可得点C的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得．【解答】解：∵▱ABCD的对称中心是坐标原点，∴顶点C与顶点A关于坐标原点对称，∵A（﹣1，1），∴C（1，﹣1），∵将▱ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，∴顶点C的对应点的坐标是（1+3，﹣1），即（4，﹣1），故答案为：（4，﹣1）．【点评】本题考查了点坐标的中心对称变换、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的中心对称变换规律是解题关键．16．（4分）已知点A、B都在二次函数y＝ax2（a＞0）上，A、B的横坐标分别为m、n（0＜m＜n），过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，当点A在线段MN上时，的值为．【分析】如图，过点A作AD⊥x轴于D，交BN于C，则OD＝m，OM＝BN＝n，通过证得△MAD∽△MNO，得到，整理得（）2+﹣1＝0，解关于的方程即可．【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，交BN于C，则OD＝m，OM＝BN＝n，∴A（m，am2），B（n，an2），∴AD＝am2，BM＝an2，∴AC＝an2﹣am2，∵AD∥ON，∴△MAD∽△MNO，∴，即，∴（）2+﹣1＝0，∴＝（负数舍去）．故答案为：．【点评】本题是二次函数图象上点的坐标特征，通过证得△MAD∽△MNO，得到关于的方程是解题的关键．三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（8分）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．【分析】先分别计算有理数的乘方，二次根式的化简，代入特殊角三角函数值，绝对值的化简，然后再计算．【解答】解：原式＝﹣1+﹣4×+2＝﹣1+2﹣2+2＝1．【点评】本题考查二次根式的混合运算，特殊角三角函数的运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．18．（8分）如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC＝∠OCB．【分析】先证明出△AOB≌△COD，进而得出OB＝OC，根据等腰三角形的性质得出结论．【解答】证明：在△AOB与△COD中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解判定三角形全等的条件是得出结论的关键．19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝4．【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式＝，然后把x＝4代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝4时，原式＝＝8．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中放置一块45°角的三角板ABC，∠BAC＝90°，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，AB右侧有一条直线l到AB的距离为．（1）用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若直线l与BC边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．【分析】（1）根据题意做出线段AC的垂直平分线即可；（2）利用一线三直角证明△ABO≌△CAF继而可求出点C坐标，再根据中点坐标公式求出D点坐标，即可求出双曲线中的k值．【解答】解：（1）∵AC＝，AB⊥AC，AB右侧有一条直线l到AB的距离为．∴作线段AC的垂直平分线即可，如图示：（2）如图，作CF⊥x轴，垂足为F，在△ABO和△CAF中，，∴△ABO≌△CAF（AAS），∴OA＝CF＝1，OB＝AF＝2，∴C（3，1），根据（2）作图可知，直线l∥AB，∴点D为线段BC的中点，∴xD＝＝，yD＝＝，∴D（，），∵点D（，）在双曲线y＝图象上，∴k＝＝．【点评】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．21．（8分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的两种统计图表．请结合统计图表，回答下列问题：（1）本次参与调查的学生共有400人，请补全条形统计图；（2）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平．【分析】（1）由A等级人数及其所占百分比可得总人数，根据四个等级人数之和等于总人数求出D等级人数，从而补全图形；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到摸出的两个球上的数字和为奇数与偶数的结果数，从而求出小明与小刚获胜的概率，即可得出答案．【解答】解：（1）本次参与调查的学生人数为20÷5%＝400（人），则D等级人数为400﹣（20+60+180）＝140（人），补全图形如下：故答案为：400；（2）不公平，列表如下：12341﹣﹣﹣（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）﹣﹣﹣（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）﹣﹣﹣（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中之和为奇数的情况有8种，之和为偶数的情况有4种，则P（小明获胜）＝＝，P（小刚获胜）＝＝，∵P（小明获胜）＞P（小刚获胜），∴不公平．【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了统计图．22．（10分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．【分析】（1）连接OD，由切线的性质得到半径OD⊥DE，又DE⊥AC，因此OD∥AC，推出∠C＝∠ODB，由等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，故∠B＝∠C，即可证明AB＝AC；（2）连接DF，DA，由圆周角定理得到∠F＝∠B，而∠B＝∠C，得到∠F＝∠C，推出DF＝DC，因此CE＝FE，由△DAE∽△CDE，得到DE：CE＝AE：DE，即可求出CE＝12，于是得到AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴半径OD⊥DE，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠C＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：连接DF，DA，∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，∴∠F＝∠C，∴DF＝DC，∵DE⊥CF，∴FE＝EC，∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∵DE⊥AC，∴∠C+∠CDE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∵∠AED＝∠CED＝90°，∴△DAE∽△CDE，∴DE：CE＝AE：DE，∵AE＝3，DE＝6，∴6：CE＝3：6，∴CE＝12，∴EF＝EC＝12，∴AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由切线的性质推出OD∥AC；由等腰三角形的性质得到EF＝CE，由△DAE∽△CDE，求出CE的长．23．（10分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？[情境引入]小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：25x+50（x﹣30）＝4500”．（1）根据题意，例题中被覆盖的条件是②（填序号）．①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元（2）根据所列方程“25x+50（x﹣30）＝4500”，求A、B两种品牌足球的单价．[迁移类比]（3）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价．[拓展探究]（4）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价打8折，B种品牌的足球单价优惠4元．若此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案．【分析】（1）根据方程可得（x﹣30）表示的是B品牌足球的单价，据此可得答案；（2）直接解方程即可得到答案；（3）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（4）设购买A种品牌的足球m个，则购买B种品牌的足球（50﹣m）个，根据“购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出共有3种购买方案，再求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）根据方程可知，（x﹣30）表示的是B品牌足球的单价，∴A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元，∴例题中被覆盖的条件是②，故答案为：②；（2）解方程25x+50（x﹣30）＝4500，解得x＝80，∴80﹣30＝50（元）答：A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元；（3）根据题意得．解得答：A种品牌足球的单价为80元．B种品牌足球的单价为50元；（4）解：设购买A种品牌的足球m个，则购买B种品牌的足球（50﹣m）个，依题意得：，解得：23≤m≤25，又∵m为正整数，∴m可以为23，24，25，∴共有3种购买方案，方案1：购买A种品牌的足球23个，B种品牌的足球27个，所需总费用为80×0.8×23+（50﹣4）×27＝2714（元）；方案2：购买A种品牌的足球24个，B种品牌的足球26个，所需总费用为80×0.8×24+（50﹣4）×26＝2732（元）；方案3：购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球25个，所需总费用为80×0.8×25+（50﹣4）×25＝2750（元）；∵2714＜2732＜2750，∴为了节约资金，学校应选择方案1：购买A种品牌的足球23个，B种品牌的足球27个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．【分析】（1）将对称轴公式和点（﹣1，1）代入函数表达式，即可求解；（2）①抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2，设直线EF的表达式为：y＝k（x﹣2）+2，则x2﹣（2k+4）x+4k＝0，得到（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝（）2﹣4×＝k2+16≥16，即可求解；②由点P、M的坐标得，直线PM表达式中的k值为：，同理可得：直线F、Q表达式中的k值为：，设上述两个k值相等，则PM∥QN，即＝，验证，等式成立，即可求解．【解答】（1）解：由题意得：，整理得：3a+c＝1；（2）①解：由题意知，PQ＝2，设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2，将点（0，2）代入上式得：2＝4a，解得：a＝，则抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2，①，设直线EF的表达式为：y＝k（x﹣2）+2②，设点E、F的横坐标为n、m，联立①②并整理得：x2﹣（2k+4）x+4k＝0，则m+n＝，mn＝，则（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝（）2﹣4×＝k2+16≥16，即m﹣n的最小值为4；则△EQF面积＝S△PQE+S△PQF＝PQ×（m﹣n）＝（m﹣n），故△EQF面积的最小值为4；②由①知，点F的坐标为：（m，k（m﹣2）+2），点M（n，0），由点P、M的坐标得，直线PM表达式中的k值为：，同理可得：直线FQ表达式中的k值为：，设上述两个k值相等，则PM∥QN，即＝，化简得：2（m+n）﹣8＝2k（m+n）﹣4k﹣kmn，将m+n＝，mn＝代入上式验证，等式成立，故PM∥QN．【点评】本题为二次函数综合题，涉及到面积的计算、根和系数的关系的运用等，有一定的综合性，难度适中．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠AC