四川省眉山市2025届高一下数学期末综合测试模拟试题含解析

四川省眉山市2025届高一下数学期末综合测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知平面向量，的夹角为，，，则向的值为（）A．－2 B． C．4 D．2．若直线y＝﹣x+1的倾斜角为，则A． B．1 C． D．3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．13+5 B．11+5 C．4．已知一个扇形的圆心角为，半径为1．则它的弧长为（）A． B． C． D．5．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B． C． D．6．若，且，则xy的最大值为（）A． B． C． D．7．给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．设，函数在区间上是增函数，则（）A． B．C． D．9．在投资生产产品时，每生产需要资金200万，需场地，可获得300万；投资生产产品时，每生产需要资金300万，需场地，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地，则投资这两种产品，最大可获利()A．1350万 B．1475万 C．1800万 D．2100万10．若函数，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．的值为__________．12．在数列中，，当时，．则数列的前项和是_____.13．已知向量，若向量与垂直，则等于_______．14．的值域是______.15．已知，则的最小值是_______.16．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间.18．如图，在中，，为内一点，.（1）若，求；（2）若，求的面积.19．已知首项为的等比数列不是递减数列，其前n项和为，且成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的最大项的值与最小项的值．20．如图，三条直线型公路，，在点处交汇，其中与、与的夹角都为，在公路上取一点，且km，过铺设一直线型的管道，其中点在上，点在上（，足够长），设km，km．（1）求出，的关系式；（2）试确定，的位置，使得公路段与段的长度之和最小．21．已知函数.（1）求函数在区间上的最大值；（2）在中，若，且，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

通过已知条件，利用向量的数量积化简求解即可.【详解】平面向量，的夹角为，或，则向量.故选：【点睛】本题考查向量数量积公式，属于基础题.2、D【解析】

由题意利用直线的方程先求出它的斜率，可得它的倾斜角α，再利用特殊角的余弦值求得cosα．【详解】∵直线y＝﹣x+1的斜率为﹣1，故它的倾斜角为α＝135°，则cosα＝cos135°＝﹣cos45°，故选：D．【点睛】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，特殊角的余弦值，属于基础题．3、B【解析】

三视图可看成由一个长1宽2高1的长方体和以2和1为直角边的三角形为底面高为1的三棱柱组合而成．【详解】几何体可看成由一个长1宽2高1的长方体和以2和1为直角边的三角形为底面高为1的三棱柱组合而成S=【点睛】已知三视图，求原几何体的表面积或体积是高考必考内容，主要考查空间想象能力，需要熟练掌握常见的几何体的三视图，会识别出简单的组合体．4、C【解析】

直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果.【详解】由扇形弧长公式得：本题正确选项：【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.5、A【解析】

正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积，故选A.考点：球的体积和表面积6、D【解析】

利用基本不等式可直接求得结果.【详解】（当且仅当时取等号）的最大值为故选：【点睛】本题考查利用基本不等式求解积的最大值的问题，属于基础题.7、B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.8、C【解析】

首先比较自变量与的大小，然后利用单调性比较函数值与的大小.【详解】因为，函数在区间上是增函数，所以.故选C.【点睛】已知函数单调性比较函数值大小，可以借助自变量的大小来比较函数值的大小.9、B【解析】

设生产产品x百吨，生产产品百吨，利润为百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数与直线截距的关系，进而求出最优解．【详解】设生产产品百吨，生产产品百吨，利润为百万元则约束条件为：，作出不等式组所表示的平面区域：目标函数为.由解得.使目标函数为化为要使得最大，即需要直线在轴的截距最大即可.由图可知当直线过点时截距最大.此时应作生产产品3.25百吨，生产产品2.5百吨的组合投资，可使获利最大．

故选：B．【点睛】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．属于中档题.10、D【解析】

根据分段函数的定义域与函数解析式的关系，代值进行计算即可．【详解】解：由已知，又，又，所以：．

故选：D．【点睛】本题考查了分段函数的函数值计算问题，抓住定义域的范围，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

直接利用诱导公式化简求值.【详解】,故答案为:.【点睛】本题考查诱导公式的应用,属于基础题.12、【解析】

先利用累加法求出数列的通项公式，然后将数列的通项裂开，利用裂项求和法求出数列的前项和.【详解】当时，．所以，，，，，.上述等式全部相加得，.，因此，数列的前项和为，故答案为：.【点睛】本题考查累加法求数列通项和裂项法求和，解题时要注意累加法求通项和裂项法求和对数列递推公式和通项公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.13、2【解析】

根据向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解．【详解】由题意，向量，因为向量与垂直，所以，解得．故答案为：2.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的垂直关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14、【解析】

对进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案.【详解】，因为所以的值域为.故答案为：【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.15、3【解析】

根据，将所求等式化为，由基本不等式，当a=b时取到最小，可得最小值。【详解】因为，所以，所以（当且仅当时，等号成立）.【点睛】本题考查基本不等式，解题关键是构造不等式，并且要注意取最小值时等号能否成立。16、1【解析】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7=a1(1-2点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）通过降次公式和辅助角公式化简函数得到，再根据周期公式得到答案.（2）根据（1）中函数表达式，直接利用单调区间公式得到答案.【详解】（1）由题意得．可得：函数的最小正周期（2）由，得，所以函数的单调递增区间为．【点睛】本题考查三角函数的最小正周期，函数的单调区间，将函数化简为标准形式是解题的关键，意在考查学生对于三角函数性质的应用和计算能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）求出，，中由余弦定理即可求得；（2）设，利用正弦定理表示出，求得，利用面积公式即可得解.【详解】（1）在中，，为内一点，，，所以，中，由余弦定理得：所以中，由余弦定理得：；（2），设，在中，，在中，由正弦定理，即，，所以，的面积.【点睛】此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强.19、（1）；（2）最大项的值为,最小项的值为【解析】试题分析：(1)根据成等差数列,利用等比数列通项公式和前项和公式,展开.利用等比数列不是递减数列,可得值,进而求通项.(2)首先根据(1)得到,进而得到,但是等比数列的公比是负数,所以分两种情况:当的当n为奇数时，随n的增大而减小，所以;当n为偶数时，随n的增大而增大，所以，然后可判断最值.试题解析：（1）设的公比为q．由成等差数列，得.即，则.又不是递减数列且，所以.故.（2）由（1）利用等比数列的前项和公式，可得得当n为奇数时，随n的增大而减小，所以，故.当n为偶数时，随n的增大而增大，所以，故.综上，对于，总有，所以数列最大项的值为，最小值的值为.考点：等差中项,等比通项公式;数列增减性的讨论求最值.20、（1）（2）当时，公路段与段的总长度最小【解析】

（1）（法一）观察图形可得，由此根据三角形的面积公式，建立方程，化简即可得到的关系式；（法二）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，找到各点坐标，根据三点共线，即可得到结论；（2）运用“乘1法”，利用基本不等式，即可求得最值，得到答案．【详解】（1）（法一）由图形可知．，，所以，即．（法二）以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，，由，，三点共线得．（2）由（1）可知，则（），当且仅当（km）时取等号．答：当时，公路段与段的总长度最小为8．.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式应用，以及利用基本不等式求最值，着重考查了推