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培优课02函数的值域培优点一分式函数的值域典例1函数y=2x解题观摩[解析]y=2x+显然7x−3≠0，则y分式函数求值域，主要包括：1.一次除以一次，形如y=ax+bcx+d(a,b2.一次除以二次或二次除以一次，形如y=ax+bcx2+dx+e(a,b,c,d,e为常数，a≠0，c给定区间的分式函数的值域1.若将典例1中的条件“函数y=2x+1x−3[解析]由y=2x+1x−3，得x=3y+1y−形如一次二次或二次一次的函数的值域2.（双空题）函数y=x+1x2+[解析]对于第一问：（对勾函数性质法）因为y=x+1x当x+1≠由对勾函数的性质可知，x+1+y∈[−综上，y=x+对于第二问：（判别式法）由题可知定义域为{x|x≠−1因为当x≠−1时，上式成立，所以Δ≥0，即1−y综上，y=x2培优点二根式函数的值域典例2函数y=1+解题观摩[解析]（法一：三角换元法）由1+不妨设1+x则y=2cos所以sinθ+π4（法二：主元法）由题意可知函数的定义域为x∈[−1,1所以y2=故根据一次函数的单调性可知2≤y（法三：几何意义法）1+x当x=1或x=−1时，y=2，当则∗可以看成是以2不妨设PA=1+x,PB=1−所以y=PA+PB，易知PA+PB>AB=2，可由基本不等式链PA+图1图2（法四：向量法）1+x2如图2，设pp,q的夹角为α,α∈[0,π4通常遇到根式函数，会倾向于选择用代数换元法求解值域，但并不是所有的情况下都适用这种方法，形如y=ax+b+cx利用观察法+单调性法求值域1.若将典例2中的条件“函数y=1+x+[解析]（观察法+单调性法）观察可知函数y=2x和函数y=x−1在公共定义域平方法+判别式法（主元法）2.若将典例2中的条件“

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