人教版高中数学必修一《对数与对数运算》之《对数函数及其性质的应用》导学学案

第2课时对数函数及其性质的应用

［学习目标］1•进一步加深理解对数函数的概念2掌握对数函数的性质及其应用.

厂知识梳理

知识点一对数型复合函数的单调性

(1)设y=logaf(x)(a>0且1)，首先应求使f(x)>0的x的范围，即函数的定义域.

(2)在定义域内考虑u=f(x)与y=logau的单调性，然后根据复合函数单调性规律“同增异减”

来确定复合函数的单调性，所谓“同增异减”即内、外层函数单调性相同时，复合函数为增

函数；内、外层函数单调性相反时，复合函数为减函数

知识点二对数型函数的奇偶性

对数函数本身没有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性，如y=log?凶就

是偶函数•证明这类函数具有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义，并结合有关对数的运算性质•

题型援宠币:点‘突破

题型一对数值的大小比较

例1比较下列各组中两个值的大小：

⑴log31.9,Iog32；

(2)log23,log0.32;

(3)logan,Ioga3.14(a>0.a*1).

解⑴因为y=log3x在(0,+s)上是增函数，

所以logsl.9<logs2.

⑵因为Iogz3>log21=0,logo.32<log0.31=0,

所以Iog23>logo.32.

⑶当a>1时，函数y=logax在(0.+)上是增函数，

则有logan>log3.14:

当0<a<1时>函数y=logax在(0,+八)上是减函数，

则有logan<log3.14.

综上所得,当a>1时，logan>log3.14；当0<a<1时>logan<log3.14.

反思与感悟比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较

(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论

(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺

222

时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较

(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较・

跟踪训练1⑴设a=Ioga2,b=Iogs2,c=耿23,则()

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

⑵已知a=Iog23.6,b=Iog43.2,c=Iog43.6，则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

答案⑴D(2)B

解析(1)a=log32VIogs3=1;c=log23>log22=1,

由对数函数的性质可知log52VIog32,

•••bvavc,故选D.

(2)a=Iog23.6=Iog43.62»函数y=log4X在(0,+八)上为增函数,3.62〉3.6〉3.2,所以a>c>b，故选B.

题型二对数型函数的单调性

例2讨论函数y=logo.3(32x)的单调性.

3

解由3—2x>0，解得xv|

设t=3—2x,x€(—a,|).

---函数y二log。.3t是减函数，且函数t=3-2x是减函数，

3

•函数y=log=.3(3—2x)在(一a,刁上是增函数.

反思与感悟1.求形如y=logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>o,

先求定义域.

2.对于复合函数的单调性判断要遵循“同增异减”的原则.

跟踪训练2求函数y=啕2廿-5x+6)的单调区间.

解由y=X2—5x+6的图象可知'函数y=Iog2(x2—5x+6)的定义域为(-a,2)U(3,+a),令u=x2一

2

5x+6,可知u=x—5x+6在(一a,2)上是减函数，在(3,+a)上是增函数>而y=log2U在(0,+a)上为

增函数，故原函数的单调递增区间为(3,+a)-单调递减区间为(-

a,2).

题型三对数型复合函数的值域或最值

1

例3求丫=(log1x)2-2log±x+5在区间［2,4］上的最大值和最小值.

22

解因为2<x<4,所以log12>log1x>log14,

222

即一1>log1x>—2.

2

设t=log1X,则一2Wt<—1,

2

11

所以y=t2-qt+5,其图象的对称轴为直线t=4，

所以当t=—2时1ymax=10；当t——1时'y(nin=a3.

反思与感悟1•这类问题一般通过换元法转化为一次函数或二次函数的最值问题

2•注意换元时新元的范围.

XX2X

跟踪训练3已知实数x满足4-10-2+16W0-求函数y=(logax)-logrx+2的值域.解不等式4-

102x+16W0可化为(2、产-102x+16<0,

即(2X-2)(2,—8)w0•从而有2w2乂<8,即1<x<3.

所以0wlogaxw1.

由于函数y=(log3X)2—logs.x+2可化为

y=(log3x)2—210g3X+2=(log3X—1)2+31'

1315

当IOg3X=4时,Ymin=石；当l°93X=1时,ymax=》

315

所以，所求函数的值域为电，5】.

题型四对数型函数的综合应用

x+1

例4已知函数f(X)=岫一\。且吐】).

⑴求f(x)的定义域；

⑵判断函数的奇偶性和单调性

/x+1>0x+1v0,

解(1)要使此函数有意义，则有或

x—1>0x—1<0.

解得X>1或X(一1,

此函数的定义域为(-8—1)U(1,+8).

一X+1x—1

(2)f(-X)=loga"aX"

-IX+1—Z：18a.1=f<，>.

又由(1)知f(X)的定义域关于原点对称，

…f(x)为奇函数.

一x+1,八2、

f(x)=1),

函数u=1+在长间(一8

1)和区间(1,+g)上单调递减.

X-1

X+1

所以当a>/时，f(x)=loga在(-81),(1,+8)上递减；

X-1

x+1

当OvaV1时，f(x)=loga在(一g,—1),(1,+g)上递增.

X-1

反思与感悟1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称

2.求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调(2)利用复合

区间的，可用定义法来求证；

函数的单调性求得单调区间.

1Amx

跟踪训练4已知函数f(x)=loga(a>0,且1,1)是奇函数.

X—1

(1)求实数m的值；

⑵探究函数f(x)在(1,+g)上的单调性.

解(1)由已知条件得f(-x)+f(x)=0对定义域中的x均成立.

,mx+1,1—mx小

mx+11一

—x—1mx

•也)-厂。，

・・m2x2—1=X2—1对定义域中的x均成立.

,m2=1,即口m=1(舍去)或m=—1.

1+x

⑵由⑴得f(x)=lOgaR.

X+1=x—1+2=1+十

X-1=X-1=x—1

•当Xi>X2>1时,

____22X2-Xi

tl-t2=Xl-1X2—Xi—1X2-VO,

•-tlVt2.

当a>1时，logatiVlogat2，即f(Xi)Vf(X2),

•一当a>1时，f(x)在(1,+g)上是减函数.

同理当Ovav1时，f(x)在(1,+g)上是增函数

易错点

对数型复合函数定义域为R与值域为R区分不清致误

例5已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).

(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；

⑵若函数的值域为R，求实数a的取值范围.解⑴若为x)的定义域为R.

则关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R.

a>0,

结合二次函数图象可得2

2^-4a1<0,

解得a>1.

(2盾函数f(x)的值域为R,

则ax2+2x+1可取一切正实数，

a>0,

结合函数图象可得a=0或2o

22-4a1>0,

解得O\V3<1.

纠错心得解这类问题容易将定义域为R与值域为R搞混淆，解题关键在于正确转化题意•规律技巧若

函数y=logaf(x)的定义域为R，只需真数大于零恒成立；若函数y=logaf(x)的

值域为R，需Kx)取遍一切正数，在解题时，当最高次项系数带字母时，需注意分情况讨论.

跟踪训练5若函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，求实数a的取值范围.

解当a=0时，y=lg1，符合题意；

a>0,

当。时，由题意得2得0vav4,

△=a2-4a<0,

综上，得a的取值范围是0wa<4.

当堂检测自杳自纠

1•已知函数f(x)=lg*+1),则()

A.f(x)是偶函数

B.f(x)是奇函数

C.f(x)是R上的增函数

D.f(x)是R上的减函数

答案A

解析因为f(-x)=lg[(-x)2+1]=lg(x2+1)=f(x)，且定义域为R，关于原点对称，所以f(x)是偶函数

•故选A.

2.函数y=Inx的单调递增区间是()

A.[e,+A)B.(0,+人)

C.(-m,+m)D.[1,+8)

答案B

解析函数y=Inx的定义域为(0,+g)，其在(0,+g)上是增函数，故该函数的单调递增

区间为(o,+g).

3.设a=Iogs4,b=(Iogs3)*12,c=1。§45,则()

A.avcvbB.b<cva

C.avbvcD.bvavc

答案D

解析•.T=Iogs5>log54>logs3>logs1=0,

•••1>a=Iogs4>log53>b=(logs3)2.

又・•・c=log45>Iog44=1.

•c>a>b.

4.函数f(x)=Ilog,x|的单调递增区间是()

2

A.0,B.(0,1]C.(0,+g)D.[1,+g)

答案

—log/x,x>1,

2

解析f(x)=当x〉1时，&log1x是减函数，f(x)=-log1x是增函数.

log!x,0vxv1.22

2

•f(x)的单调增区间为[1,+g).

5.函数y=log1(x2-6x+17)的值域为.

2

答案(一g,—3]

解析令t=x2-6x+17=(x-3产+8>8,

因为y=log11为减函数•所以y=log11<log,8=-3.

222

「课堂小结-----------------------------------------1

1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是

字母且范围不明确，一般要分a>1和Ovav1两类分别求解.

2.解决与.对数函数相关的问题时要树立："定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分

类讨论思想在解决问题中的应用.

课时精练/解般，偏,训练检测______________________________________________________

、选择题

1.函数f(x)=log1x-1的定义域是(

2

)

A.(1,+a)B.(2,+a)

C.(-°,2)D.(1,2］

答案D

x-1>0,

解析由题意有log1x—1〉0,解得1<x<2

2

2.设a=logan,b=logA3,c=logA/2，贝U()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

答案A

1111

解析a=logsn>1,b=Iog23=210g23€2»1»c=logs2=-Ioga2€0,㊁，故有

3.函数f(x)=logax(0<av1)在［a2,a］上的最大值是()

A.OB.1C.2D.a

答案C

解析■/0ca<1，二f(x)=logax在［a2,a］上是减函数，

f(x)max=f(a2)=logaa2=2.

4.设a=log36,b=logslO,c=log714，贝U()

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

答案D

解析a=log36=log33+Ioga2=1+Iogs2,

b=Iogs10=Iogs5+Iogs2=1+Iogs2,

c=log?14=log77+log72=1+log72,

log32>Iog52>log72,・a>b>c,故选D.

5.函数y=log1(—x2+4x+12)的单调递减

区间是()

3

A.(—a,2)B.(2,十八)

C.(-2,2)D.(-2,6)

答案C

解析y=log1u,u=—x2+4x+12.

3

令u=一x2+4x+12>0，根据二次函数的图象得一2<x<6.

•x€(―2,2)时，u=—x2+4x+12为增函数,

…y=log,(—x2+4x+12)为减函数>

3

•函数的单调减区间是(一2,2).

6.已知y=loga(8-3ax)在［1,2］上是减函数，则实数a的取值范围是()

4

A.(0,1)B.(1,3)

4

C.g,4)D.(1,+a)

答案B

解析因为a>0,所以t=8-3ax为减函数，而当a>1时，y=logat是增函数，所以y=loga(8-3ax)

是减函数，于是a>1.由8—3ax>0,得a<38-在［1,2］上恒成立，所以a<(3pmin=3：?=?二、填

空题

7._____________________________________________________________________________

已知f(x)=log1(x2-ax+3a)在区间［2,+a)上为减函数，则实数a的取值范围是.

2

答案(-4,4］

解析二次函数y=X2—ax+3a的对称轴为x=|,

a2

ri'

W2解得一4<aw4.

由已知，应有|w2，且满足当X〉2时y=x2—ax+3a>0,

8.已知定义域为R的偶函数%x)在［0>

+a)上是增函数，且f(>=0,则不等式f(log4X)<0

的解集是.

1答案{X［?<x<2}

11

11--1解析由题意可知，f(log4x)<0?-2<log4x<2?

Iog442<log4X<Iog442?"<X<2.

a—2x—1,xw1,

9.已知函数f(x)=若f(X)在(—a,+a)上单调递增,则实数a的取值

logaX,x>1,

范围为_________.

答案{a［2<aw3}

解析I•函数f(x)是(一a,+a)上的增函数，

a-2>0,

•a的取值需满足a>1,

Ioga1>a—2—1,

解得2vaw3.

2

10.若loga§<1，则a的取值范围是，

2答案(0,3)u(i,+s)

0<a<1,a>1,

解析原不等式？2或2

3>a3<"，

2

解得0<a<|或a>1,

3

2

故a的取值范围为(0,3)U(1,+A).

三-解答题

11.讨论函数f(x)=