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培优课05利用导数研究恒（能）成立问题培优点一利用导数解决不等式的恒成立问题典例1已知函数fx=ex+ax2−x.解题观摩[解析]由fx≥12x3+1得，当x>0时，记gx令ℎx则ℎ'x=则φ'x=ex故函数ℎx单调递增，ℎx>ℎ0故当x∈0,2时，当x∈2,+∞时，g故gxmax=g21.分离参数法解含参不等式恒成立的三个步骤用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式.一般步骤：第一步：分离参数（注意分离参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向）.第二步：转化，若a>fx对x∈D恒成立，则只需a>f第三步：求最值.2.分类讨论法求含参不等式恒成立的思路根据不等式恒成立求参数范围,一般是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，要证明不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意.引入三角函数1.已知函数fx=sinx−2ax,a∈R，若关于[解析]不等式fx≤cos即2a≥sin设gx则g'设ℎx则ℎ'因为当x∈π2,π时，所以当x∈π2所以函数ℎx在π2,π所以当x∈π2,π时，则函数gx在π2,π所以当x∈π2,π时，故实数a的取值范围是[2分类讨论法解决含参不等式恒成立问题2.[2023·全国甲卷]已知函数fx=ax−sinx[解析]f'x=a−则f'x=则F'设φt=a则φ't=−4−所以φt若a∈(−∞,3],则F'x=φ所以当a∈(−∞,3]若a∈3,+∞,则当t→0又φ1=a−3即∃x0∈(0,当t∈t0,1时,φt>所以当x∈0,综上,实数a的取值范围为(−∞,培优点二利用导数解决不等式的能成立问题典例2已知函数fx=2xlnx+解题观摩[解析]若存在x0∈[1e,e]，使得不等式f所以只需a设ℎ则ℎ'x=当x当x又ℎ1e=−2+所以ℎ所以a≤ℎxmax1.含参数的能成立（存在性）问题的解题方法（1）a≥fx在x（2）a≤fx在x2.含全称量词、存在量词不等式能成立问题（1）存在x1∈A，对任意x2∈（2）任意x1∈A，存在x2∈双变量能成立问题[2024·广西模拟]已知函数fx（1）讨论函数fx[解析]函数fx的定义域为0f'①当a>0时，由f'x>0得由f'x<0得0<②当a<0时，由f'x>0得x>−6a，即fx在−（2）设gx=2x2−mex+e212[解析]当a=−16e时，由（1）知，函数所以

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