向量的数量积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积学习目标1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.(数学抽象、数学运算)2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(数学运算、直观想象)3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(数学运算、逻辑推理)思

维

导

图复

习

回

顾问题：我们已经学习了向量的哪些运算？

这些运算的结果是什么？向量的加法、减法及数乘运算这些运算的结果仍是一个向量探

究

新

知

如图，当力F和位移S存在一个夹角θ时，力对物体所做的功是多少？从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？FSθ知

识

迁

移问题4：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的乘积等于向量的大小及其夹角余弦的乘积。

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；类

比知

识

梳

理知识点一

数量积的定义(0≤θ≤π)

夹角

同向反向垂直确定a,b的夹角时,起点要重合

2．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量_________________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_________________．规定：零向量与任一向量的数量积为0.|a||b|cos

θ|a||b|cos

θ

注意：两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、数乘向量的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示.知识点二

向量a在向量b上的投影向量投影投影向量投影向量

微思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么

不同？【提示】数量积的运算结果是实数，

线性运算的运算结果是向量．知识点三

平面向量数量积的性质|a|cosθ

a·b＝0知识点四

平面向量数量积的运算律交换律a·b=b·a数乘的结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)·c=a·c+b·c注意：(1)向量数量积的运算不适合约分,即a·b=a·cb=c.(2)向量数量积运算也不适合结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由

于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量.题

型

探

究探究一求平面向量的数量积角度1

数量积的简单计算例1.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b; (2)a2-b2; (3)(2a-b)·(a+3b).分析依据向量的数量积、模、夹角的定义逐一进行计算即可.(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos

120°-3|b|2=8-15-27=-34.角度2

几何图形中向量数量积的计算

分析利用平行及EA=EB,求出EB=EA=2,将

转化为已知的边、角求解.答案

-1解析

∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°,∴∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,求向量的投影向量探究二例3.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求:解

如图,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.又D是BC边的中点,所以AD⊥BC,∠ABD=45°,向量模的相关问题探究三角度1

利用数量积求向量的模例4(1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则|2a+b|=

.

角度2

与模有关的最值问题例5.(1)若平面向量a,b,c满足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,则|b-c|的取值

范围是(

)答案

(1)B

(2)A利用数量积解决向量的夹角与垂直问题探究四例6.(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为(

)A.30° B.60° C.120° D.150°(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解.(2)可采用数形结合的方法构造平面图形求解.(1)答案

C

答案

B课

堂

练

习2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,设与b方向相同的单位向量为e,则a在b上的投影向量为(

)答案

C解析

a在b上的投影向量为|a|cos

30°e=4×cos

30°e=2e,故选C.3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·=-36,则a与b的夹角为(

)A.60° B.120° C.135° D.150°答案

B

4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=(

)A.2 B.4 C.6 D.12答案

C解析

因为(a+2b)·(a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72,即|a|2-|a||b|cos

60°-6|b|2=-72,所以|a|2-2|a|-24=0.又|a|≥0,故|a|=6.5.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,若(2a+b)⊥(a+λb),则λ=

.

解析

∵(2a+b)⊥(a+λb),∴(2a+b)·(a+λb)=0,∴2a2+2λa·b+a·b+λb2=0.∵|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°,答案

22课

堂

小

结向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？

a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a与b的夹角．设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量,则(1)

a·e=e·a

=|a|cosθ．(2