2024届广东省高三年级第二次调研考试模拟卷02（广东专用）【含答案】

2024届广东省高三年级第二次调研考试模拟卷02（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023•重庆模拟）已知角的终边过点，若，则实数的值为A． B．4 C．或3 D．或4【解析】因为，所以，所以，解得．故选：．2．（2024•锡林郭勒盟开学）若，则A． B． C． D．【解析】，则．故选：．3．（2023秋•罗湖区校级期中）已知奇函数在上单调，若正实数，满足，则的最小值是A．8 B．2 C． D．【解析】根据题意，奇函数在上单调，若正实数，满足，必有，即，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值是，故选：．4．（2023•湖南模拟）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为A．1 B． C． D．【解析】因为，，所以，所以，向量在向量上的投影向量为．故选：．5．（2024•永寿县校级模拟）已知数列的前项和为，，，且对于任意，，恒成立，则A．是等差数列 B．是等比数列 C． D．【解析】对于任意，，满足，，即，且，数列不是等差数列，也不是等比数列，错错；当时，，，，错；，对．故选：．6．（2023秋•武汉期中）现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为1，将它重新制作成一个体积与高均不变的圆锥，则该圆锥的底面积为A． B． C． D．【解析】根据题意，橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为1，故圆柱的体积，设圆锥的底面半径为，高为1，则其体积，解得该圆锥的底面积为．故选：．7．（2023秋•海安市校级期中）记正整数，的最大公约数为，例如，，．已知数列的前项和为，且，则A．50 B．75 C．100 D．1275【解析】依题意，，，，，以此类推，可知当，时：当为奇数时，当为偶数时，，所以．故选：．8．（2023秋•琅琊区校级期末）已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则的最小值为A． B． C． D．【解析】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为，圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，，当且仅当，，三点共线时取等号，由双曲线的定义，所以，即的最小值为．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2023秋•石鼓区校级月考）高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，，，，，，，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是A．学生成绩众数估计为75分 B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C．在，内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D．从，和，内各抽1名学生，，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13【解析】由频率分布直方图得，成绩在，的频率最高，所以估计成绩的众数为75（分，故正确；因为，所以估计第75百分位成绩为80（分，故正确；因为成绩在，内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为0.1，故错误；记从，抽取的1名学生为，从，抽取的1名学生为，从，抽取的2名学生为，，则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为，，，，，，共6种，其中不同组的有，，，，，共5种，所以这2人来自不同组的概率为，故错误．故选：．10．（2023秋•河南月考）已知正数，，满足，则A． B． C． D．【解析】设，，则，，对于，，正确；对于，，而，即有，则，又，，即有，则，所以，正确；对于，由选项知，，得，则，错误；对于，，因此，错误．故选：．11．（2023秋•安徽月考）如图，在正三棱台中，，，棱，的中点分别为，，点在侧面内运动（包含边界），且，则下列结论正确的是A．平面 B．正三棱台的体积为 C．与平面所成角的正切值为 D．动点形成的轨迹长度为【解析】设正三棱台的侧棱延长交于点，因为，，所以在底面内的投影是的中心，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：过点作于，因为，所以，所以，，，因为，所以，即，解得，所以；所以，因为，所以，，，，则，0，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，0，，，，，，0，，，，，计算，，所以，且，又，所以平面，选项正确；因为，，高，所以正三棱台的体积为，选项错误；因为，，，是平面的一个法向量，则点到平面的距离为，设与平面所成的角为，则，所以，选项错误；点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，与等腰梯形相交所成的弧长和，如图所示，因为，是圆弧的直径，，，，所以，，计算的弧长为，所以动点形成的轨迹长度为，选项正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2022秋•荔湾区校级期末）函数图象的一个对称中心为，图象的对称轴为．【解析】函数的图象对称中心为，可知，可得，令．得．故答案为：13．（2023春•开福区校级期中）如图，中，为边的中点，为线段上的任意一点（不含，，且，，若恒成立，则实数的最大值为．【解析】因为为中点，所以，由，，三点共线，可设，即，又，，即，，当且仅当时等号成立，由题意，恒成立，故即为所求．故答案为：8．14．（2024•零陵区校级开学）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为．【解析】设切点为，的导数为，由题意可得，又，，解得，，即有，则，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为8．故答案为：8．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（2024•定州市校级开学）在数列，中，，．（1）若，求数列的通项公式；（2）若，求的前项和．【解析】（1）依题意，由及，可得，，数列是以3为首项，3为公差的等差数列，，．（2）由题意及（1），可得，则，，两式相减，可得，．16．（2023秋•湖州期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．（1）求证：；（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取线段的中点，连接，，由，分别是线段，的中点，可得，所以，，，四点共面，在直三棱柱中，侧面为正方形，，四边形也为正方形，且，所以，则，所以，又，，，面，所以面，又面，所以；（2）由（1）得面，又面，所以，又，，，面，所以面，又，所以面，又面，所以，故，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，0，，，1，，，2，，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，所以．17．（2024•攀枝花模拟）情怀激荡，火热出游——2023年中秋国庆“双节”联动，旅游景区人头攒动，文化和旅游市场恢复势头强劲，行业信心持续有力提振．假期8天中，某景区一纪念品超市随机调查了200名游客到该超市购买纪念品的情况，整理数据，得到如表：消费金额（元，，，，，，人数203040504020（1）估计假期8天中游客到该超市购买纪念品金额的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关．不少于120元少于120元总计年龄不小于50岁80年龄小于50岁36总计（3）从上述“到该超市购买纪念品不少于120元”的顾客样本中，随机抽取2人进行购物原因调查，设其中“年龄不小于50岁”的顾客人数为，求的分布列和期望．参考公式：，其中．临界值表：0.010.0050.0016.6357.87910.828【解析】（1）估计8月份游客到该超市购买纪念品金额的平均值为；所以8月份游客到该超市购买纪念品金额的平均值为93；（2）填写列联表，如下：不少于120元少于120元总计年龄不小于50岁2480104年龄小于50岁366096总计60140200则，因此，没有的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关；（3）的可能取值为0，1，2，，，所以的分布列为012所以．18．（2024•川汇区校级开学）已知函数，．（1）若过点作曲线的切线有且仅有一条，求的值；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）设切点，则由，可得，切线斜率为，即，化简得：，依题意△，解得或．综上，当或时，过点作曲线的切线有且仅有一条．（2）依题意，由，由可得，设，则，设，易知，即在上单调递增，，（1），由零点存在定理知，存在唯一的，使得，且当时，，单调递减，当，时，，单调递增，即是函数极小值点，且有，由可得，，则对任意的恒成立，函数在上为增函数，，则，则，由可得，，可得，，即，综上，的取值范围是，．19．（2023秋•西固区校级期末）在平面直角坐标系中，圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹记为曲线．直线与曲线相交于，两点．（1）求曲线的方程；（2）若是一个与无关的定值，求此时的值及的面积的最大值．【解析