江苏省苏州市2023-2024学年第二学期高一数学期末模拟【含答案】

2023-2024学年第二学期高一数学期末模拟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某工厂生产，，种不同型号的产品，产量之比为3：2：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有18件，则样本容量（）A.40 B.60 C.80 D.1002．复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（

）①若，则为异面直线

②若，则③若，则

④若，则⑤若，，则A．②③⑤ B．①②⑤ C．④⑤ D．①③4.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时,则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（）A． B． C． D．5.已知，则（）A. B. C. D.6.已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A． B． C． D．7.在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（）A. B. C. D.18.锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为奇数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（）A．B与D互斥B．A与D互为对立事件C．D．10.在中，内角A、B、C的对边分别为、、，AD为边BC的上的中线，AD=x，BC=x，以下说法正确的是

(

)A.若，则的面积的最大值为B.若λ=6，则AB⋅AC=−C.若λ=1，则D.若，则的取值范围是11.棱长为2的正方体，，分别是，的中点，则（）A.直线与直线是异面直线B.过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为C.在上存在一点，使二面角的大小为D.点到平面的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在2,3,5,7,11,13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是__．13.如图，在等腰直角ΔABC中，∠B=90​∘，AC=4，D为AC的中点，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则ME⋅14.在四面体中，，，，，，则四面体的外接球的表面积为

，四面体的体积为

．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.复数，且在复平面上对应的点在第一象限．(1)若，求复数的模；(2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值．16.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．17.如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．(1)证明：；（2）若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值．18.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，.（1）若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；（2）若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.19.在三棱柱中，，，，,分别为的中点.(1)证明：平面∥平面；(2)证明：平面⊥平面；(3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围．1.某工厂生产，，种不同型号的产品，产量之比为3：2：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有18件，则样本容量（）BA.40 B.60 C.80 D.1002．复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的除法运算和乘方运算计算得解.【详解】，所以复数.故选：3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（

）①若，则为异面直线

②若，则③若，则

④若，则⑤若，，则A．②③⑤ B．①②⑤ C．④⑤ D．①③【答案】A【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可.【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误；对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确；对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误.⑤正确，故选：A4.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时,则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（）DA． B． C． D．租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况．都付0元的概率为；……2分都付2元的概率为；……2分都付4元的概率为．……2分所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为．……1分5.已知，则（）BA. B. C. D.6.已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为（）CA． B． C． D．7.在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（）DA. B. C. D.18.锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（）CA． B． C． D．可得，由于为锐角三角形，则，即，解得，，因为，则，因为存在最大值，则，解得．故选：C．9．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为奇数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（）ABDA．B与D互斥B．A与D互为对立事件C．D．10.在中，角的对边分别为，为边上的中线，，，以下说法正确的是

(

)ACDA.若，则的面积的最大值为B.若λ=6，则AB⋅AC=−x2

C.若λ=1，则35≤解：对于A，∵

AD为边

BC上的中线，∵λ=2，即BC=2AD，|AB+AC|=|AB−对于B，∵AB+AC=2AD∴4AB⋅AC=(对于C，若λ=1，AB⋅由AB+AC=2∴AB2+AC2=52x∴35⩽对于D，在△ABC中，，，AB⋅AC=所以b2+c即b2∴tan又(−1)x<c<(∴(−1)2∴tan Btan C∈，故11.在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，则（）.BDA.直线与直线是异面直线B.过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为C.在上存在一点，使二面角的大小为D.点到平面的距离为12.在“2，3，5，7，11，13”这6个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是___．解：从中随机选取两个不同的数的所有基本事件为：

(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)，共15个．

记“两数之和仍为素数为事件A，故A的基本事件有(2,3)，(2,5)，(2,11)，故P(A)=13.如图，在等腰直角ΔABC中，∠B=90​∘，AC=4，D为AC的中点，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则解：连接AF，FC，CEEA，因为AC=EF，D为AC，EF的中点，

所以四边形AECF为矩形，则∠EAF=90∘，AE⋅AF=0，AE+AF=AC．

设|MA|=t，则ME14.在四面体中，，，，，，则四面体的外接球的表面积为

，四面体的体积为

．解：在四面体ABCD中，因为BD2=AB2+AD2，所以△ABD为直角三角形，

因为BD2=BC2+CD2，所以△BCD为直角三角形，

取BD的中点O，则OA=OB=OD=OC，所以O为四面体ABCD的外接球的球心，

则BD为四面体ABCD的外接球的直径，

所以四面体ABCD的外接球的表面积为S=4πR2=(2R)2π=17π．

将四面体15.复数，且在复平面上对应的点在第一象限．(1)若，求复数的模；(2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值．【详解】（1）（2），，，，16.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．【详解】（1）由题意可知：，解得，可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数为，因为，,设第25百分位数为，则，则，解得，故第25百分位数为63．（2）10人中，第四组为8人。第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10，则样本空间共45个样本点，记两名面试者成绩都在第五组为事件A,则事件,故（3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．17.如下图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．(1)证明：；（2）若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值．【详解】（1）连接，∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面，因为平面，所以，由题意可知，等腰梯形的高为1，故等腰梯形的面积为：，∴，∴，在中，，．∴，即，∴为的三等分点，∴．又∵，面，面，∴平面，∵平面，∴．（2）,连接,在梯形中可得,，因此,即，由三垂线定理可得，平面，因为平面，所以，所以，所以，所以B到平面PCD的距离为，在中由，，得,设直线和平面所成角为，则,所以直线和平面所成角得正弦值为．18.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，.（1）若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；（2）若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.19.解（1）①因为，且，所以，所以，即，因为，，所以，，所以，因为，所以；因为，所以的内角均小于，所以点在的内部，且，由，得，设，，则，在中，由正弦定理得，即在中，由正弦定理得，即，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围为；（2）因为，即，所以，在，，中，分别由余弦定理得：，，，三式相加整理得，，将代入