4月大数据模拟卷01（江苏专用）（解析版）高中数学

64月大数据精选模拟卷01(江苏专用)

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.己知集合A={x[x_l<0},8={巾=>/尤_弓,则A|JB=()

A.{1}B.[0,1]C.{0}D.R

【答案】D

【详解】

集合4={小_1〈0}={小41},8={y[y=Jx-l}={y|”()},

：.A<JB-R

故选：D.

4z

2.复数一尸的虚部为()

1+8

A.1B.-1C.~iD.i

【答案】A

【详解】

」—=上。二=,所以虚部为i.

1+V3Z4

故选：A.

3.某电子厂生产的电子管的使用寿命X(单位：天)服从正态分布N(1000,502),则电子管寿命位于区

间(950,1100)内的概率是()附：随机变量X服从正态分布N(处/)，则尸(〃-cVXV"+o)=

0.6826,P(〃-2cVXV〃+2o)=0.9544,P(〃-3cVXV〃+3o)=0.9974.

A.0.4772B.0.84C.0.9759D.0.8185

【答案】D

【详解】

由X服从正态分布N(1000,502),

所以"=1000,0=50,

I

所以P(950<X<1100)=P(/<-<7<X</«+CT)+^[P(〃-2o<X<〃+2cr)-P(〃-o<XV〃+。)]

=0.6826+—x(0.9544-0.6826)

2

=0.8185.

故选：D.

4.已知xeR,则“WW4”是“lg(f-x-2)41”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【详解】

lg(x?—x-2)«10<炉—x-2<10,

解得-3Wx<-l或2<xK4,

所以“-3WxW4”不能推出“lg(f-x-2)Wl"，反之成立，

所以“―3WxW4”是“电廿一%-2)〈1”的必要不充分条件.

故选：B

5.在二项式(x+l-的展开式中任取一项，该项的系数为奇数的概率是()

2145

A.-B.—C.—D.—

521111

【答案】C

【详解】

因为二项式("+1)1°的展开式的通项公式为7；+i=qoN°T,其各项系数为Go(r=O,1,2,3,…,10),

其中C；[=C：：=1,C=C2=10,。=党=45,CfQ=C,；=120,C[=g=210,C.^252,

其中系数为奇数的共有4个，

因此，从在二项式(x+lf)的展开式中任取•项，该项的系数为奇数的概率是《•.

故选：C.

6.琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、填、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器为弘扬中

国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器''知识讲座，共连续

安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互

不相邻的概率为()

2

1

A.------BCD

360-1-1?-H

【答案】c

【详解】

由题意得：10种乐器种任选4种，故总的可能性有种,

琵琶、二胡一定安排且不相邻的可能性有用用种,

所以两种乐器互不相邻的概率P=

Ao15

故选：c

7.若alna>"lnb>clnc=1,则()

A.eh+c\na>ec+,,\nb>ea+h\ncB.ec+a\nh>eh+l\na>ea+h\nc

C.ea+h\nc>ec+a\nh>eh+,\naD.ea+h\nc>eb+l\na>ec+,,\nb

【答案】C

【详解】

令/(x)=xlnx,则/'(x)=l+lnx

当0<x<1时，ff(x)<0,当时,

ru)>o

1

即函数/(*)在上单调递减，在上单调递增

e

•//(a)>/(£>)>/(c)=1,由图象易知，a>b>c>\

,1,

人Inx.—Inx

令g(x)=h'则g'(x)=

e

3

由于函数y=——In无在(0,+8)上单调递减，lnc=1，--lnc=---=0

Xcccc

则,一InX=0在(0,收。)上有唯一解C,故g，(x)=0在(0,+8)上有唯一解c

X

即当x>c时，g'(x)<0,则函数g(x)在(c,+oo)上单调递减

In。InZ?Inc

即g(a)vgS)<g(c)，即---<--U-<---

e“ehec

ehIn«<eaInb,ec\x\b<eh\nc

eb+cIna<Inb,ea+c\nb<eb+cInc^eb+c\na<ea+c\nb<eb+lInc

8.在三棱锥A-BCD中，AC=AD=EAB=CD=2,BC=BD=6,则这个三棱锥的外接球的半

径为()

2M275

A,巫D.275

53亍

【答案】A

【详解】

由C。=2,=3。=J5，有8c2+BD2=CD2，即仆CBD为等腰直角三角形且NCBD=90°，若E为

CO的中点，。为三棱锥A—BCD外接球的球心，连接AE,BE,又AC=AD=亚，

AE1CD,BE1CD,又3EnAE=E,即知：CO_L面钻E且CE=£>E,

；•三棱锥A-BCD外接球的球心。必在平面ABE内，

又由上知：BE=l,AB=AE=2,故cosNBAE=世上坦二空•=1，即sinNBAE=巫，

2ABAE88

过A作于〃，过。作。尸，47于尸，由=

222

4

BE1

EH=OF——=-,若三棱锥A—BCD外接球半径为凡OE=FH=x,

22

OA2=（AH-FH）2+OF2OD2=OE2+DE2=x2+\又（M=OD=R,

“叵故式=迥

55

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

22

9.已知双曲线-----匕一=1（根€/?）的一条渐近线方程为4》-3>=0,则（）

mm+7

A.«5,0）为。的一个焦点

B.双曲线。的离心率为g

C.过点（5,0）作直线与C交于AB两点，则满足|AB|=15的直线有且只有两条

D.设为C上三点且A8关于原点对称，则M4,肋？斜率存在时其乘积为为

【答案】BD

【详解】

22

解：因为双曲线——匚=1（m€/?）的一条渐近线方程为4》-3）,=0,

mm+7

所以空2.=（g）,解得机=9,所以双曲线。：:一卷=1,所以。=3,b=4,c=行了'=5,所

以则其焦点为（—5,0）、（5,0）,离心率e=（=g,故A错误，B正确；过点（5,0）作直线与C交于A,B两

点，因为（5,0）为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时|AB|=Z=空<15,当直线的斜率为0时，

a3

AB=2a=6<15,所以由双曲线的对称性得，满足|明=15的直线有4条，故C错误；

设A（%,y）,8（-%,—X）,加伍,%）,所以％=三为，=2L^A,因为

22222222

在双曲线上，所以王一里=1,血1一2£=1,两式相减得五二五1一』1二2£=。，所以

916916916

5

一互一勺《.k，故D止确；

r2_-7——V7T7TMB

故选：BD

InY

10.对于函数〃x)=y下列说法正确的是()

A./(X)在龙=处取得极大值—

2e

B./(X)有两个不同的零点

c./伴］寸㈣寸㈣

\7

1Z?

D.若在(0,+<功上恒成立，则左>5

【答案】ACD

【详解】

对于选项A：函数定义域为(0,+8),r(x)=—,令r(x)>。可得0cx(五，

令/'(x)<0可得x>”,所以/(x)在(o,&)单调递增，在(&,+8)单调递减，

所以/(x)在x=&时取得极大值/(&)=g,故选项A正确

对于选项B：令/(x)=¥=0,可得x=l,因此/'(x)只有一个零点，故选项B不正确;

对于选项C：显然&<6(正，/(x)在(&,+o。)单调递减，

可得/(G)>/(6)="">0,因为1=2In<0,

即/(V2)<_/(、标)</(百)，故选项C正确：

对于选项D：由题意知：7=-丁j"在(0,+8)上恒成立，

XXX

令g(x)="+3(x>。)则女>g(x)max'因为g'(%)=—

X入X

1A(1)।g'(x)<0,所以g(尤)在％=美时取得极大值

易知当xe0,7时.g'(x)>0,当XG7,+00时,

也是最大值g=—.所以上>—.

22

6

所以在xe(0,+oo)上恒成立，则%>],故选项D正确.

故选：ACD.

11.已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,....其中第一项是2°，接下来的两项是2°,21，再接下来

的三项是2°,21,22,依次类推…，第〃项记为%,数列｛q｝的前〃项和为S“，则()

C.%+太=2*1D.S-=2"-

A.%)=16B.兀=128

22

【答案】AC

【详解】

A.由题可将数列分组

第一组：2°第二组：2°,2',第三组：2°,2i,22,

则前％组一共有1+2+…+Z=个数

2

第左组第上个数即2人，故&一,，C对

2

又吗却=55,故％5=2,

又二-----^=66,

2

4。则为第11组第5个数

第11组有数：2°,2i,22,23,2\25,26,27,28,2\21°

故％。=2"=16,A对

_1

对于D.每一组的和为2°+2]+…+2"|=---=24'-1

2-1

故前左组之和为21+21+-+2k-k=2^-k=2k+'-2-k

2-1

Sk-—2

2

故D错.

对于B.

6

由D可知，S15=2—5—2

7

5(5+1)6(6+1)

---------_u»----------

,26

518=Sl5+2°+2+2=2-5-2+7=64

故B错

12.已知正数”、匕满足。+力=1,则下列说法正确的是().

A.2"+4"的最小值是2近B.的最小值是:

O

C.C+41的最小值是万D.±+土的最小值是4夜

【答案】AC

【详解】

因为正数。、〃满足a+28=L

对于A选项，由基本不等式可得2"+4"=2"+226>2,2".2"=242"2b=272，

当且仅当。=2。=，时，等号成立，A选项正确；

2

对于B选项，由基本不等式可得1=“+2。22>/G，即8abWl,即而

O

当且仅当a=2。=,时，等号成立，B选项错误；

2

对于C选项，由基本不等式可得“2+4》2>2扬.4与=4曲,

所以，2(a2+4Z?2)=(a2+4/?2)+(a2+4/72)>(«2+4/22)+4a/7=(a+2/?)2=l,

所以，a2+2b2>~,当且仅当。=2匕=’时・，等号成立，C选项正确；

对于D选项，由基本不等式可得•1+，=(。+28)(』+!]=啰+0+322]啰・@+3=3+20,

ab\ab)ab\ab

当且仅当a=岛时，等号成立，D选项错误.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知非零向量5满足问=2同，且+则M与5的夹角为.

2兀

【答案】y

【详解】

■：(ci+b)la,：.\af+a-b=Q,

8

ox+1,

14.已知函数〃x）=3、：（a>3）.若对任意芭，x2.七eR,总有/（%）,/（%）,/（x,）为某

一个三角形的边长，则实数。的取值范围是.

【答案】[3,6]

【详解】

由题意可得：对VX1,X2,毛eH，总有/（玉）+/（々）>/（七）恒成立，

只需27（XL>.“XL

+暝3Ia—3

f[x}-3+

-y+iy+r

①当a=3时，/（x）=3,满足题意；

②当a>3时，/（X）在R上单调递减，3</（x）<a,故需2x32a,即3<aW6；

综上所述，。的取值范围是[3,6].

15.已知抛物线C:y2=4x,点A、8在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若丽.砺=5,则

直线AB过定点.

【答案】（5,0）

【详解】

设直线A6方程》=冲+人，4a,凶）,5（/,必）（X>0，%<°）

{x=my-\-b,,

则{2'=>9-4my-4b=0,则y当二-4'且b>0

=4x

乂OAOB=5>所以x/2+y%=+y乂=5

则b2-4b=5=b=5或6=-1（舍），

故直线AB方程x=〃?y+5,所以直线AB过定点（5,0）

9

故答案为：（5,0）

16.西气东输工程把西部的资源优势变为了经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，同时该项

工程的建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.在输气管道工程建设过程中，某段直线形管道铺设需要经

过一处平行峡谷，勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角，用测量仪器得到此横截圆面

的圆心为0,半径OM=ON且为1米，而运输人员利用运输工具水平横向移动直线形输气管不可避免的

要经过此圆弧拐角，需从宽为38米的峡谷拐入宽为16米的峡谷.如图所示，位于峡谷悬崖壁上的两点A,B

的连线恰好与圆弧拐角相切于点T（点A,T，3在同一水平面内），若要使得直线形输气管能够顺利地

通过圆弧拐角，其长度不能超过米.

SB

【答案】75

【详解】

7T

设4MOT=e,其中。£（0,一）

2

延长。M,交AB于D,过8做S8垂线，交DO于G,延长。M交AB于E,过A做SA垂线，交NO于

F,如图所示：

AJ739

在心ZAEF=3,AF=39,则sin£=—,即AE=——

AEsin0

10

在自△8Z)G中，/DBG=e,BG=17,则cos6=——，即-----，

BDcos0

在R”DOE中,OTVDE,07=1,所以。。=—^―,E0=—^―,

cos6sin0

1

又LXOOXEO='XOEXOT,所以。E=————.

22sincos

匚厂24nq/小ALnccl3917139cos6+17sin8-l

所以AB=f(0)=AE+BD-DE=----+-----------------=--------------------，

singcos，sincossin6cos6

371

因为4sin6+3cose=5sin(e+0)<5,其中tane=z，当且仅当6+9=3■时，等号成立，

所以“39cos6+17sin。-11(4sin^+3cosW9cos^+17sin^)-l

/(e)=------------------------->-------------------------------------------------

sin。cos。sin。cos。

^(68sin2+207sin^cos<9+117cos2。)-(sin?8+cos?8)

sincos

63.2Q207.q1122A

—sm------sinJcosgnd------cosgr»c八r

=5557m16、207

----------------------------------二—(9tan8zi+-------)+-----

sincos5tan。5

、7-匚~~~~~16^207”

2—x219tan0x-------1------=75,

5Vtan85

164

当且仅当9tan*做，即tan"”等号成立,

所以若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过75米.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在△ABC中，N5AC=2,点£>在边BC上，满足=

2

__兀

(1)若N8AO=一，求NC；

(2)若CD=28D,AO=4,求4A5c的面积.

【详解】

BDAB

(1)在△A3。中，由正弦定理得

sinNBADsinNBDA

AB-sin—

所以sinZBDA______6

BD

27r7T

因为NBDAe(0,乃)，所以ZBD4=—或ZBD4=-

33

u

ZnTTTT

当时，可得NB=2,可得NC=2：

363

7777'JI

当NBZM='时，可得N8=J,因为N84C=2（舍去）,

322

综上可得NC=^rr.

3

（2）因为AB=6BD,CD=2BD，所以AB=^BC,AC=^8C，

33

___________i______i______2__.i__.

由AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC

3333t

44Q

而

,22.1.-y4*21*2-而

所以A。=（-AB+-AC）2=-AB+-AC+9-4C9-

3399

即AD2=-AB2+-AC2,

99

又由4）=4，可得[x（曰8C）2+[X（中BC）2=4?，解得5。=6近，

则A5=2MAC=46

所以以8c=g|AB|x|AC=12jL

18.已知等差数列｛〃“｝满足：04=7,aio=19,其前“项和为S”.

（1）求数列｛斯｝的通项公式an及S„；

1

（2）若b.=-----,求数列｛儿｝的前”项和为T..

a“a“+i

【详解】

（1）设等差数列｛4｝的首项为q,公差为“，则ja+9d=]9

解得6=1,d=2.

：.an=1+2（〃-1）=2〃-1.

/（1+2+-1）

"2

111______

⑵b.

anan+]（2n—l）（2n+l）2\2n-12n+lJ

二数列｛〃｝的前〃项和为

12

19.如图，在三棱台ABC-44G中，ACVA.B,。是8c的中点，4。，平面A8C.

(1)求证：AC1BC；

(2)若AO=1,AC=26,BC=A4=2,求二面角与一BC-A的大小.

【详解】

解：(1)因为4。_1_平面ABC,ACu平面ABC,

所以A。，AC.

又因为AC_LA|B,A5CA0=4，ABU平面A8。，A0u平面48。,

所以ACJ_平面AB。，

又因为5Cu平面AB。，所以AC_LBC；

(2)以。为坐标原点，与CA平行的宜线为x*li,0B所在直线为J轴，。4所在直线为Z轴，建立如所

示的空间直角坐标系。一型，

匚X

13

则0((),(),0),A(26,-1,0),8(0,1,0),A,(0,0,1).

所以。___5__=(0,1,0),AULUB1=(-273/-,2,0)<-0---4--,--►=(0,0,1)，于是AB=4.

由ABC-A反&是三棱台，所以AB//AB-

又因为4用=2所以福'=；而=(—61,0).

所以的=M+或=(—6,1,1).

设平面的法向量〃=(x,y,z),

n-OB=0y=0

由_一得《

n-OB[=0-y/3x+y+z=0

取x=l,则y=0,z=B即3=(1,0,6).

因为。A，平面ABC，所以平面ABC的法向量为西=(0,0,1).

-zzn,OA1X0+0X0+Vsx1y/3

所以—=F=bk>w，

54

因为二面角B.-BC-A为钝二面角，所以二面角B.-BC-A的大小是.

6

20.社会消费品零售总额是反映经济景气程度的重要指标，如图为2020年11月国家统计局发布的社会消

费品零售总额分月同比增长速度折线图

社会消费品零售总额分月同比增长速度

201彝11月12月202阵3月4月5月6月7月8月9月10月

10月1—2月

(1)设2020年6月至10月的月份代码为％,且x的值依次为1,2,3,4,5,分月同比增速为y％,由

折线图可以看出，可用线性回归模型拟合y与*的关系，求y关于X的回归方程.

14

(2)用(1)中的线性回归方程预测2020年11月我国社会消费品零售总额的同比增速，并与实际增速进

行比较，若误差不超过10%,则称“预测理想”，否则称"预测不理想已知国家统计局公布2020年11月我

国社会消费品零售总额的同比增速为5%,试判断对2020年11月我国社会消费品零售总额同比增速的预测

是否理想.

(3)某电视台财经频道准备从2020年3月至10月这8个月中随机选取3个月，详细分析社会消费品零售

总额按行业细分的数据，记选取的3个月中社会消费品零售总额同比增速为负数的月份个数为X，求X的

分布列与数学期望.

参考数据：£Z=5.2,£>*=32.2.

1=1i=l

参考公式：线性回归方程，=队+》中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：人=旦:-------；—

1=1

④一4一

*=y_汐1.

【详解】

5

解：(I)由题意得5=1+2+3+4+5=3,_5.2,..,

5y=——=—=1.04

+(-1)2+02+12+22=10,

-%)(%=—5xy=32.2-5x3xl.04=16.6,

1=1

A次(x，T(y，T

黑”66,

所以6二上y--------

/=1

所以a=y—5x=1.04-1.66x3=-3.94，

所以丁关于x的回归方程为y=1.66A-3.94；

(2)将x=6代入回归方程,得y=1.66x6—3.94=6.02,

所以预测2020年11月我国社会消费品零售总额的同比增速为6.02%.

因为%詈出=2。.4%>1。％’

所以对2020年11月我国社会消费品零售总额同比增速的预测不理想.

15

(3)由题可得X的所有可能取值为0,1,2,3,

32

目p（x=o）=Mc=-!1-,p（x=i）=c斐'c•=1»5

Cl56Cl56

23

尸（X=2）=3Cc'=D15,P（X=3）=Wc=35,

C；28C；28

所以X的分布列为

X0123

115155

P

56562828

,、1,15C15.515

£（X）=OxF1xF2x--F3x—=—.

\）565628288

21.如图，点尸(xo,加)是圆。：炉+尸=9上一动点，过点P作圆。的切线/与圆。1：(x-a)2+(y-4)

2=100(a>0)交于A,8两点，已知当直线/过圆心Oi时，|0招|=4.

(2)当线段A8最短时，求直线/的方程;

”1

⑶问：满足条件匕3=%的点尸有几个？请说明理由.

orJ

【详解】

解：(1)当直线/过圆心点01时，

=J/+7=4，

\OtP\=yl\oof-\opf

解得4=3(负值舍去).

16

（2）解法1（代数法）：因为0P与圆0相切，所以直线/的方程为xar+yoy=9.

旦片+¥=9，

所以圆心Oi到直线/的距离

d/3玉>+4yo*=|3/+4%-9|

—&+a一'

记z=3xo+4yo,则直线3x（）+4vo-z-0与圆x；+y：=9有公共点，

所以圆心（0,0）到直线3x+4y-z=0的距离

,\—z\

d-i3,所以-154?415,

A/32+42

所以当z=-15时，de8,此时弦长最短，

9

3%+4%+15=0%

由，解得《

/+芥=912

%=一不

所以直线/的方程为3x+4y+15=0.

解法2（儿何法）：如图，过Oi作OtM±AB,则M为弦AB的中点，设1=|。西|,

当|OiM|最长时，弦长依8|最短，

因为d4|OiP|<|OOi|+|OP|=。

当且仅当0”o,P三点共线时，取得最大值,

此时。01_1_48,

17

4

因为2a,=§,

4

所以直线OOi的方程为y=,

'4

由y=3­x,

芯+N；=9

(Q121

解得P-不,一二(P点在第3象限)

所以直线/的方程为3x+4y+15=0.

(3)因为四2

忸P|3

所以设(AP|=f,则18Pl=3旧＞0),

所以0B|=4r,

所以严+(2)=100①,

⑺如图，当。1,O在直线AB同侧时,

尸=|MPF=25-(d-3/②，

由①②得d=6或d—2,

当d=6时，直线AB可看作是圆/+产=9与圆(x-3)2+0，-4/=36的公切线,

此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，

d=2时，直线AB可看作是圆/+产=9与圆(x-3)2+6-4产=4的公切线，

此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，

18

5）如图，当Q,O在直线AB异侧时,

产=|MP|2=25-(”+3)2,③

由①③可得d=-6或d=-2（舍），满足条件的P点不存在,

综上，满足条件的点P共有4个.

|3x0+4y0-9|

附：当d=6时d=—/,2=6,

yjxn+

即|3xo+4*-9|=18,

]3%+4%-9|=18

由

.片+*=9

21721

解得P（-3,0）或尸

25~25,

.|3%+4%-9|

当d=2时4=1/222,

即|3xo+4)b-9|=6,

[3%+4)'0—9|=6

由

.片+巾=9

(9-247612+18⑹(9+247612-18指)(912)

（舍去）.

22.已知函数/(x)=e"(lnx+l)(awR),f(x)为/(幻的导数.

（1）设函数g（x）=Z学，求g（x）的单调区间;

19

(2)若/(x)有两个极值点.工2(石<龙2)，

①求实数〃的取值范围；

②证明：当“<2e2时，

人]人2

【详解】

解：(1)依题意，/(X)的定义域为(0,+8),且g(x)=£^2=ainx+a+L,