春八年级数学下册第2章四边形2.5矩形2.5.1矩形的性质练习新版湘教版

课时作业(十七)[矩形的性质]一、选择题1．如图K－17－1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是()图K－17－1A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD2．2017·怀化如图K－17－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是()eq\a\vs4\al(链接听课例3归纳总结)图K－17－2A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm3．如图K－17－3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为()图K－17－3A.eq\f(15,3)B.eq\f(5,2)C．2D.eq\f(12,5)4．2017·淮安如图K－17－4，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处．若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是()图K－17－4A．3eq\r(3)B．6C．4D．55．2017·南通如图K－17－5，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为()图K－17－5A．5eq\r(5)B．10eq\r(5)C．10eq\r(3)D．15eq\r(3)6．2018·内江如图K－17－6，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD交于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为eq\a\vs4\al(链接听课例2归纳总结)()图K－17－6A．31°B．28°C．62°D．56°二、填空题7．2018·株洲如图K－17－7，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为________．图K－17－78．如图K－17－8，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为________．图K－17－89．2017·河池如图K－17－9，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(,2)，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是________．图K－17－910．2017·徐州如图K－17－10，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝________．图K－17－10三、解答题11．已知：如图K－17－11，四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝AB.eq\a\vs4\al(链接听课例2归纳总结)图K－17－1112．如图K－17－12，在矩形ABCD中，E，F为BC上的两点，且BE＝CF，连接AF，DE交于点O.求证：(1)△ABF≌△DCE；(2)△AOD是等腰三角形．图K－17－1213．2017·百色如图K－17－13，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交DB于点G，H.求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；(2)EG＝FH.图K－17－1314．如图K－17－14，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，EF＝EC，且EF⊥EC.(1)求证：AE＝DC；(2)已知DC＝eq\r(2)，求BE的长．图K－17－14分类讨论如图K－17－15，在矩形ABCD中，AD＝12cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q从点C出发，以4cm/s的速度在BC边上做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，点P，Q都停止运动．设运动时间为ts，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？图K－17－15

详解详析课堂达标1．D2．[解析]A根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA＝OB＝OD＝OC.因为∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，所以AB＝AO＝eq\f(1,2)AC＝3cm.3．[解析]D设AC，BD相交于点O，连接OP，利用S△AOD＝S△AOP＋S△POD即可解决．4．[解析]B∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°.∵∠EAC＝∠ECA.∴AE＝EC.由折叠的性质，得∠AFE＝∠B＝90°，∴EF是△AEC的中线．∵AF＝AB＝3，∴AC＝2AF＝2×3＝6.5．[解析]B作点F关于CD的对称点F′.易证四边形EFGH为平行四边形，△AEH≌△CGF，∴AH＝CF＝CF′.当H，G，F′三点共线时，GH＋GF′最小，即GH＋GF最小．过点F′作点F′M⊥AD，交AD的延长线于点M.则HM＝5，F′M＝10，根据勾股定理可求得HF′＝5eq\r(5)，所以GH＋GF为5eq\r(5)，即四边形EFGH的周长的最小值为10eq\r(5).6．[解析]D∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠FDB＝90°－∠BDC＝90°－62°＝28°.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠FDB＝28°.∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD＝∠CBD＝28°.∴∠DFE＝∠FBD＋∠FDB＝28°＋28°＝56°.7．[答案]eq\f(5,2)[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10，OD＝eq\f(1,2)BD，∴OD＝5.∵P，Q分别为AO，AD的中点，∴PQ＝eq\f(1,2)OD＝eq\f(5,2).8．[答案]3[解析]矩形是中心对称图形，因此，将△AOE绕点O顺时针旋转180°后与△COF重合，所以阴影部分的面积实际上是△BCD的面积，而△BCD的面积可根据条件直接求出．9.eq\r(,2)10．[答案]eq\r(17)[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，AD∥BC.在Rt△ACD中，AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(32＋42)＝5.∵AQ＝AD，AD＝3，∴CQ＝AC－AQ＝2.∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠QPC.∵AQ＝AD，∴∠ADQ＝∠AQD.∵∠PQC＝∠AQD，∴∠PQC＝∠QPC，∴PC＝CQ＝2，∴BP＝BC－PC＝3－2＝1.在Rt△ABP中，AP＝eq\r(AB2＋BP2)＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).11．证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠B＝∠DFA＝90°，AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB.在△AFD和△EBA中，∵∠DAF＝∠AEB，∠DFA＝∠B，AD＝EA，∴△AFD≌△EBA(AAS)，∴DF＝AB.12．[解析](1)先由BE＝CF,得BF＝CE，再根据矩形的性质得∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，根据SAS，可以判定△ABF≌△DCE；(2)利用(1)中的结论△ABF≌△DCE，可得∠BAF＝∠CDE，从而90°－∠BAF＝90°－∠CDE，即∠DAO＝∠ADO，所以OA＝OD，因此得△AOD是等腰三角形．证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°.∵BE＝CF，∴BF＝CE.在△ABF和△DCE中，∵BF＝CE，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，∴△ABF≌△DCE(SAS)．(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠BAF＝∠CDE.∵∠DAF＝90°－∠BAF，∠EDA＝90°－∠CDE，∴∠DAF＝∠EDA，即∠DAO＝∠ADO，∴OA＝OD，∴△AOD是等腰三角形．13．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．(2)∵四边形AFCE是平行四边形，∴EC∥AF，∴∠BHF＝∠CGH.又∵∠CGH＝∠DGE，∴∠DGE＝∠BHF.∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.∵E，F分别是AD，BC的中点，AD＝BC，∴DE＝BF，∴△DEG≌△BFH，∴EG＝FH.14．解：(1)证明：如图．∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.在△AEF和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠1＝∠3，,EF＝CE，))∴△AEF≌△DCE，∴AE＝DC.(2)由(1)得AE＝DC＝eq\r(2)，在矩形ABCD中，AB＝DC＝eq\r(2).在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即(eq\r(2))2＋(eq\r(2))2＝BE2，∴BE＝2.素养提升解：∵在矩形ABCD中，AD＝12cm