小学奥数和倍差倍问题

和倍差倍问题

皑襁段解

1、该知识点不会单独出题，但是思路很重要；

2、该知识点是典型应用题的基础，是必考内容。

阂源唱四

一、基本运算律及公式

1、和倍问题

和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题.

解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解

题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是己知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作倍数，

大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.

和倍问题的数量关系式是：

和+（倍数+1）=小数

小数X倍数=大数或和一小数=大数

如果要求两个数的差，要先求1份数：

1份数又（倍数-1）=两数差.

解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

2、差倍问题

差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题.

差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一

般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。

解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要

相对应，相除后得到的结果是一倍量

差倍问题的基本关系式：差+（倍数-1）=1倍数（较小数）

倍数x几倍=几倍数（较大数）或较小数+差=较大数

解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系.

年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。

冕湄凝

重点：1、最基本的应用题，但是应用很广；

2、如何画线段图，找等量关系；

难点：1、画图和找等量关系；

2、找到解题的思路和捷径。

购物

圣诞节那一天，我与妈妈到百货大楼去买东西。正巧，大楼正在举办返券销售活动，只见标牌上清清

楚楚地写着：购买服装类每付现金100元，返回礼券80元；鞋类每付100元，返回礼券60元；用具类每

付100元，返回礼券40元；所付现金不足100元部分不返券，所返的礼券可在返券销售活动期间在商场

内购买任何商品。我与妈妈转来转去，最后，我看中了一双320元的运动鞋，妈妈看中了一套498元的衣

服；而我们还要买一套245元的炊具。这时，妈妈对我说：“你不是老说你的数学学得很好吗？耳听为虚，

眼见为实，今天，妈妈就来考考你。我们把这三样东西全买下来，怎样买才能最省钱呢？”呵，这可难不

倒我：”衣服最贵，得的券又最多，当然先用钱买衣服了，这样就可以得到320元的礼券，用这礼券可以

买好我的运动鞋，然后再拿出245元买炊具，还能得80元礼券。而用这礼券还能买一些小装饰品呢！一

共用现金743元。”我得意得看看妈妈。妈妈摇了摇头说“你这样不是浪费了80元的礼券吗？"我睁大眼

睛：“难道还有更省钱的？”“当然了！”妈妈说。我拿出笔和纸算了起来，一会儿，我又设计出了另一种

方案，我急着告诉妈妈：“先买鞋，可得到礼券180元，用这些礼券买衣服，需要补付318元，又得到礼

券240元，最后买炊具，将礼券用完再补付5元，这样共付现金643元。比刚才的方案足足又省了100元。”

妈妈看着我笑了。我们既花了最少的钱，又满足了自己的心愿。

同学们，通过这个故事你明白了什么道理？

模块一：分组凑整

[例1]（☆）光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

【考点】等差数列应用题【难度】☆【题型】解答

【解析】把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760

人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）.

1

女生1

?人«

，倍________,760人

男生

所以，女生人数：（760+40）+（3+1）=200（人）

男生人数：200X3-40=560（人）或760-200=560（人）

【答案】200人，560人

【巩固】（☆）小强和小明共有50本练习本，小强的练习本比小明的2倍多2本.小强和小明各有几本练习本?

【考点】等差数列应用题【难度】☆【题型】解答

【分析】（50—2）+（1+2）=48+3=16（本）.........小明

16X2+2=34（本）或50—16=34（本）.........小强

【答案】16本，34本

［例2］（☆☆）商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果

的2倍多2千克，橘子重多少千克？

【考点】等差数列应用题【难度】【题型】解答

【解析】我们可以把苹果的重量看作1份，如下图：

I份

苹果的重量：,------1

：3份

橘子的重量：乙----i~—1-匕一一》

32份、—

香蕉的重量：乙----1------

多2千克

如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍，香蕉的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍，这

时三种水果的总重量变为：53+3—2=54（千克），正好是苹果重量的（1+3+2）倍，苹果有（53+3—2）+（1

+3+2）=5496=9（千克），橘子有9X3—3=24（千克）.

【答案】24千克

【巩固】（☆☆）果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃

树、梨树和苹果树各有多少棵？

【考点】等差数列应用题【难度】【题型】解答

【解析】下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的

棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同

样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相

当于梨树棵数的4倍.

梨树］」2倍、

桃树♦।'552棵

田由e12棵

苹果树I-----f>

20棵

所以：梨树的棵数：（552+20-12）4-（1+1+2）=560+4=140（棵）；桃树的棵数：140X2+12=292（棵）；

革果树的棵数：140-20=120（棵）

【答案】140棵，292棵，120棵

【例3】（☆☆）智康学校有图书108本，学而思学校有图书140本，要使智康学校图书是学而思学校的3倍.必

须从学而思学校拿出多少本放入基础班？

【考点】等差数列应用题【难度】【题型】解答

【解析】由于要求智康学校图书为学而思学校的3倍，如果将学而思学校的应有图书量看做一倍量，那

么智康和学而思存量的总和相当于学而思应有图书量的（1+3）倍量，从而可求出学而思应有图书

量.再来具体看问题“必须从学而思拿出多少本放入智康”，很明显用学而思原来的有图书量减

去应有图书量，便可以解答了.智康、学而思图书的总和108+140=248（本），学而思应有图书

量：248+（1+3）=62（本），学而思拿出图书数量：140—62=78（本）.

原有也08本

智康学校‘二一二'L

学而思学校।4________1

原有140本

【答案】78本

【巩固】（☆☆）大红有贺卡54张，小琴有贺卡70张，大红给小琴几张卡片后，小琴的卡片张数就是大红的3倍?

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】现在大红和小琴共有贺卡（54+70）张，大红拿出几张贺卡给小琴后，他们的贺卡总数还是（54+70）

张.根据例1的解题思路，可求出当小琴的贺卡张数是大红的3倍时，大红有多少张贺卡.比大红

原来的54张少了几张，就是大红给小琴的张数.

大红、小琴共有贺卡多少张?54+70=124（张）小琴贺卡的张数是大红的3倍时大红有多少

张?124+（3+1）=31（张）大红给了小琴多少张?54-31=23（张）

【答案】23张

【例4】（☆☆☆）甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的

速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】①甲、乙两水池共有水：2600+1200=3800（立方米）

②甲水池剩下的水：38004-（4+1）=760（立方米）

③甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）

④经过的时间（分钟）：1840+23=80（分钟）

【答案】80分钟

【巩固】（☆☆☆）喜洋洋有69块棒棒糖，美洋洋有31块棒棒糖，如果喜洋洋每天给美洋洋4块，多少天之后美

洋洋的棒棒糖数目是喜洋洋的3倍？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】①两羊共有棒棒糖：69+31=100（块）

②喜洋洋剩下的糖：100+（3+1）=25（块）

③喜洋洋给美洋洋的糖：69-25=44（块）

④经过的天数：444-4=11（天）

【答案】11天

[例5]（☆☆☆）被除数、除数、商3个数的和是212。已知商是2,被除数和除数各是多少？.

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】由商是2,可得被除数与除数的和为：212-2=210：且被除数是除数的2倍。

把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210+（2+1）=70:

被除数为:70X2=140。

【答案】被除数140,除数70

【解析】（139-3）+（1+3）=34

【巩固】（☆☆☆）被除数，除数，商三个数的和是139,已知商是3,求被除数和除数是多少？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】（139-3）+（1+3）=34

【答案】34

模块二、差倍问题

【例6】（☆）学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱，学校买来白

粉笔和彩色粉笔各多少箱.

【考点】等差数列应用题【难度】☆【题型】解

【解析】这不是一道典型的“差倍问题”，但我们

1倍最

可以通过适当的变形，将其作为一个典彩笔：—人）

型的“差倍问题”来解决.见上图，由4倍量3箱

白笔r,个，

于白笔比彩笔的4倍多3箱，故把彩笔

看做1倍数，（白笔一3）就相当于彩笔的4倍，即彩笔比（白笔一3）少3倍，注意此时白笔比彩笔

多15—3=12箱.彩色粉笔的箱数12+3=4（箱），（4）白色粉笔的箱数：4+15=19（箱）.

【答案】白粉笔19箱，彩粉笔4箱

【巩固】（☆）学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍少3箱，学校买来白粉

笔和彩色粉笔各多少箱？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】把彩笔看做1倍数，（白笔+3）就相当于彩笔的4倍，即彩笔比（白笔+3）少3倍，注意此时白笔

比彩笔多15+3=18箱.彩色粉笔的箱数18+3=6（箱），白色粉笔的箱数：6+15=21（箱）.

【答案】21箱

[例7]（☆☆）有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，

两根绳子原来各长多少米？.

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆【题型】解答

【解析】如上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根裁去12米，第二根绳子又接上14米后，

第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好

相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，

那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。

1倍

第一根（V--F

?米3.j

第二根J£

、'接上石菜

?米

①第一根截去12米剩下的长度：（12+14）4-（3-1）=13（米）

②两根绳子原来的长度：13+12=25（米）

答：两根绳子原来各长25米。

【答案】25米

【巩固】（☆☆）三（1）班与三（2）班原有图书数一样多后来，三（1）班又买来新书74本，三（2）班从本班

原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原有图书各多少

本？

【考点】等差数列应用题【难度】【题型】解答

【解析】两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书74本，即增。位

31Q

加了74本；三（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年三（1）班（「个］

级同学，则图书减少了96本.结果是一个班增加，另一个班减1.？本96李|以本

三（2）班

少，这样两个班图书就相差96+74=170（本），也就是三（1）、.三

班比三（2）班多了170本图书.又知三（1）班现有图书是三

（2）班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三（2）班所剩图书的3-1=2倍，三（2）班所

剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了（见上图）。

①后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？74+96=170（本）

②三（2）班剩下的图书是多少本？170+（3-1）=85（本）

③三（2）班原有图书多少本？85+96=181（本）（两个班原有图书一样多）综合算式：（74+

96）+（3-1）+96=170+2+96=85+96=181（本）

脸算：181+74=255（本）181-96=85（本）255+85=3（倍）答：两班原来各有图书181本。

【答案】181本

［例8］（☆☆☆）食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面

粉的3倍？.

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，仍然是：

138-94=44（千克）。

我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份，则几天后剩下面粉：444-（3-1）=22（千

克）。

用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：（94-22）+9=8（天）。

【答案】16个

【巩固】（☆☆☆）水果店运来的西瓜172千克，白兰瓜88千克.如果每天卖白兰瓜和西瓜各9千克，几天后水

果店剩下的西瓜是白兰瓜的13倍？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】172-88=84（千克）,84+（13-1）=7（千克），88-7=81（千克）,81+9=（天）。

【答案】9天

[例9]（☆☆☆）小明和小刚各有玻璃弹球若干个.小明对小刚说：“我若给你两个，我们的玻璃弹球一样多小

刚说：“我若给你两个，你的弹球数量将是我的3倍.”小明和小刚共有玻璃弹球多少个？.

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】由小明说的话推知，小明的玻璃球比小刚多4个，小明।I।

2个

如果小刚给小明2个，那么小明比小刚多8个.

小刚I________I,____

8个是小刚还剩下玻璃球数量的3-1=2倍，此时小刚有玻璃、2个'

球8+2=4（个），小明有玻璃球4+8=12（个），两人共有玻璃球4+12=16（个）

【答案】16个

【巩固】（☆☆☆）小青和小红每人都有一些水彩笔，如果小青给小红1支，两人就一样多，如果小红给小青1支，

小青的水彩笔就是小红的2倍，那么小青和小红各有多少支水彩笔？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】“小青给小红1支，两人就一样多”说明小青原来比小红多1+1=2（支），''如果小红给小青1

支，小青的水彩笔就是小红的2倍”则小红给小青1支后，小青就比小红多2+1+1=4（支），这

与倍数差2-1=1倍相对应，这样就可以求到小红的水彩笔现在是4+1=4（支），她原来就是4+1=5

1支1支

小青I__________________L__l.

（支），小青原来是：5+2=7（支）.？

【答案】小青7支，小红5支

【例10】（☆☆☆）小丸子家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只，白鸡的只数是黄鸡2倍，白鸡、

黄鸡、黑鸡一共多少只？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】为明了题意，画线段图：

黄鸡：1-----<-if

以黄鸡的只数为标准，白鸡的只数是黄鸡的2倍，所由，让匕黑鸡多13艮

黑鸡：c--------L|

；比黄鸡多18只

白鸡：______________/、

以黄鸡：18+（2-1）=18（只），白鸡：18X2=36（只），黑鸡：18—13=5（只），三种鸡共有：18+36+5

=59（只）

【答案】59只

【巩固】（☆☆☆）妈妈的年龄是小红的5倍，奶奶的年龄比小红大9倍，已知奶奶比妈妈大35岁，求三人年龄

各多少岁？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】奶奶的年龄比小红大9倍，妈妈的年龄是小红

妈妈------i--------1".――'---------'------------\

的5倍，那么，妈妈的年龄比小红大（5-1）倍，小红一11奶奶比四大35、

奶奶的年龄比妈妈大（9-4）倍，把小红的年龄奶奶'--------------------4---------------

看作一倍数，则小红的年龄为：354-（9-4）=7（岁），妈妈的年龄是：7X5=35（岁），奶奶的

年龄是：35+35=70（岁）

【答案】7岁，35岁，70岁

1、甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？

【考点】等差数列应用题【难度】☆【题型】解答

【解析】（30+120）4-（2+1）=50（本）50-30=20（本）

【答案】20

2、甲乙丙三个数的和是359,已知甲是乙的3倍多8,乙是丙的2倍少9,求甲乙丙三个数各是多少？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆【题型】解答

【解析】把丙看作一倍数，乙是丙的2倍少9,而甲就是丙的2X3=6倍少（3X9—8）,与和相寸应的倍

数和就是1+2+6=9倍，由此可分别求出三个数.

359-8+4X9）+（1+2+2X3）=387+9=43................丙

43X2-9=77...........................乙

77X3+8=239......................甲

【答案】甲239,乙77,丙43

3、甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

【考点】等差数列应用题【难度】☆【题型】解答

【解析】乙班的本数：804-（3-1）=40（本）

甲班的本数：40X3=120（本）或40+80=120（本）。

【答案】40本，120本

4、菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜

站运来的白菜和萝卜各是多少千克？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆【题型】解答

【解析】①运来萝卜：（1800-300）+（3-1）=750（千克）②运来白菜：750X3=2250（千克）

【答案】750千克，2250千克

5、小刚有图书78本，小亮有图书42本，每人每周看4本，几周之后小刚没看的书的本书是小亮的3倍?

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】（78-42）4-（3-1）=18,（42-18）4-4=6（周）

【答案】6周

一、本讲所学内容:

和倍问题与差倍问题

二、做题步骤：

1、已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题是和倍问题;

已知大小两个数的差与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题是差倍问题;

2、认真读题，找到题目中两数之和（差）与倍数关系，画图解题；

3、如果题目中不是刚好整倍数，先转化成整倍数；

4、如果题目中没有直接已知两数之和（差），利用已知条件算出“暗和（差）

三、常考杯赛：

希望杯、走美杯、学而思杯

理局

（☆）果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵?.

【考点】等差数列应用题【难度】☆【题型】解答

【解析】54+（5+1）=9（棵），9X5-9=36（棵）

【答案】36棵

（☆☆）甲乙丙三个数的和是360,已知甲是乙的3倍，乙是丙的2倍，求甲乙丙三个数各是多少?

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆【题型】解答

【解析】3604-9=40................丙

40X2=80.....................................乙

80X3=240.....................................甲

【答案】甲240,乙80,丙40

3、（☆☆）某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只.这

个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆【题型】解答

【解析】我们把鸭的只数看作1份，鸣的只数看作4份，鹅的只数看作2份，鸣、鸭、鹅的总只数就相

当于鸭的：1+4+2=7（份）.而鸡、鸭、鹅的总只数可以看作：1462-132+70=1400（只）.用

总只数除以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数.

鸭的只数：（1462—132+70）+（1+4+2）=1400+7=200（只）；

鸡的只数：200X4+132=800+132=932（只）；

鹅的只数：200X2—70=400—70=330（只）.

【答案】1003

4、（☆☆☆）甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙

桶油的2倍？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】①甲、乙两桶油总重量：470+190=660（千克）：

②当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：6604-（2+1）=220（千克）：

③由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。

【答案】30千克

5、（☆☆☆）甲水池有水3400立方米，乙水池有水1400立方米，如果乙水池里的水以每分种25立方米的

速度流入甲水池，那么多少分种后，甲水池中的水是乙水池的4倍？

【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】①甲、乙两水池共有水：3400+1400=4500（立方米）

②甲水池剩下的水：45004-（4+1）=900（立方米）

③乙水池流入甲水池中的水：1400-90