复习清单01 一元二次方程（原卷版）

清单01一元二次方程（13个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）【知识导图】【知识清单】考点一．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．【例1】．（2022秋•龙凤区校级期末）下列方程中，①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，一元二次方程的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式】．（2022秋•鄄城县期末）若关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0考点二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．【例2】（2022秋•大连期末）一元二次方程3x2﹣6x＝1化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（）A．a＝3，b＝6，c＝1 B．a＝3，b＝﹣6，c＝1 C．a＝﹣3，b＝﹣6，c＝1 D．a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1【变式】．（2022秋•新洲区期末）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（）A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3考点三．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．【例3】（2022秋•长安区期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0的一个根，则m的值为（）A．10 B．9 C．﹣6 D．﹣10【变式】．（2022秋•锡山区校级期末）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0有一个根是0，则a的值为．考点四．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．【例4】．（2022秋•雅安期末）方程（x﹣3）2＝16的根为（）A．x1＝x2＝7 B．x1＝7，x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝7，x2＝﹣1【变式】．（2022秋•潼南区期末）对于方程37（x﹣2）2＝42的两根，下列判断正确的是（）A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于﹣2，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2考点五．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【例5】．（2022秋•醴陵市期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝11【变式】．（2022秋•赫山区期末）用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（）A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝7考点六．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．【例6】．（2022秋•德化县期末）下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．∴x＝，（第三步）．∴x1＝，x2＝（第四步）．小明是从第步开始出错．【变式】．（2022秋•保德县校级期末）解方程：x2﹣3x﹣3＝0．考点七．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．【例7】．（2022秋•赣州期末）用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．考点八．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【例8】．（2022秋•昭阳区校级期末）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为．【变式1】．（2022秋•集贤县期末）解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，利用整体思想和换元法可设x2﹣1＝y，则原方程可化为：．【变式2】．（2022秋•信都区校级期末）阅读材料，解答问题：为解方程x4﹣3x2+2＝0，我们将x2视为一个整体，解：设x2＝y，则x4＝y2，原方程可化为y2﹣3y+2＝0，解得y1＝2，y2＝1，当x2＝2时，，当x2＝1时，x＝±1，∴原方程的解为或x＝±1．（1）上面的解题方法，利用法达到了降幂的目的．（2）依据此方法解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0．考点九．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．【例9】．（2022秋•锡山区校级期末）一元二次方程x2+（k+1）x+k﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根【变式】．（2022秋•南明区期末）若关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（写出一个值即可）．考点十．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【例10】．（2022秋•天河区校级期末）若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010【变式】．（2022秋•平顶山期末）设α，β是一元二次方程3x2+x﹣2＝0的两个根，则＝．考点十一．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．【例11】．（2022秋•开州区期末）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，若设2月到4月每月盈利的平均增长率为x，则可列方程为（）A．2400（1+x）2＝3456 B．2400（1﹣x）2＝3456 C．2400（1+2x）＝3456 D．2400（1﹣2x）＝3456【变式】．（2022秋•路南区期末）如图，某小区计划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为112m2，设小路宽xm，若x满足的方程为（）A．x2﹣17x﹣16＝0 B．x2﹣17x+16＝0 C．x2+17x﹣16＝0 D．x2+17x+16＝0考点十二．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．【例12】．（2022秋•滨城区期末）如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m）（墙长，另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m，设鸡场垂直于墙的一边为xm，则x的值是（）A．15m B．20m C．20m或15m D．20m或12m【变式1】．（2022秋•于洪区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（）A．8 B．10 C．12 D．14【变式2】．（2022秋•东丽区期末）用一条长为40cm的绳子围成一个矩形，下列围成的图形面积一定不可能的是（）A．64 B．96 C．100 D．101【变式3】．（2022秋•汉阳区校级期末）如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【变式4】．（2022秋•方城县期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，经过两轮传染后共有169人感染，若不加以控制，第三轮传染后感染人数为（）A．338 B．256 C．2197 D．2028【变式5】．（2022秋•开江县期末）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有150种种子，经过两年不断地努力，现在已有216种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为．【变式6】．（2022秋•大余县期末）乡村振兴战略是中国经济社会发展方式一次大的转变，目标是按照产业兴旺、生态宜居、乡风文明、治理有效、生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化．小明家在2019年脱贫的时候家庭年总收入为6.25万元，通过两年积极开展种植产业振兴，2021年家庭年总收入为9万元．试计算小明家2019﹣2021年的年家庭总收入平均增收率为多少？【变式7】．（2022秋•蒙自市期末）2022年11月卡塔尔世界杯足球赛期间，在卡塔尔某商店销售一批由中国制造的足球纪念衫，每件进价30元，规定销售单价不低于30元，且不高于60元．当销售单价定为60元时，每天可售出80件．当销售单价每降低10元时，每天可多卖20件，现商店决定降价销售，设每天销售量为y件，销售单价为x元．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每件足球纪念衫销售单价是多少元时，商店每天获利2000元？【变式8】．（2022秋•肇庆期末）2022年2月4日第24届冬奥会在北京开幕，某礼品销售商以每件8元的价格购进冬奥会纪念品，以每件10元的价格出售，每天可售出200件．销售商想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种纪念品每件的售价每提高1元，每天的销售量就会减少10件，销售这种纪念品每天获得利润为1050元，求售价是多少元．【变式9】．（2022秋•赫山区期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．【变式10】．（2022秋•石城县期末）在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积为1421平方米，小道的宽为多少米？【变式11】．（2022秋•官渡区期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．（1）BC＝米（用含x的代数式表示）；（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB．【变式12】．（2022秋•青云谱区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．考点十三．配方法的应用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．3、配方法的综合应用．【例13】．（2022秋•开州区期末）定义；如果代数式（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1+b2＝0，c1+c2＝0，则称两个代数式为“相反式”，有下列四个结论：（1）代数式：x2+3x的“相反式”是x2﹣3x；（2）若﹣2x2﹣3x﹣18m与2x2+nx﹣2n互为“相反式”，则（mn）2023的值为﹣1；（3）当x＝2时，代数式（a1≠0，a1，b1，c1是常数）的值为10，则它的“相反式”的值为﹣10；（4）无论x取何值，代数式2x2﹣4x+c的值总大于其“相反式”的值，则c的取值范围为c＞2．其中正确的结论个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【核心素养提升】数学建模--构建一元二次方程解决实际问题1.（2022秋•陵水县期末）某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，4月份的营业额达到1815万元．求：（1）该商场2月份的营业额；（2）该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．2．（2022秋•西安期末）某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，决定降价促销．据调查发现，若每件商品盈利50元，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件，设每件商品降价x元．（1）每件商品降价x元后，用含x的代数式表示可售出商品的件数；（2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值．数学运算3．（2022秋•嘉鱼县期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以把多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．观察上式可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的．例如，当x﹣2＝±1，即x＝3或1时，x2﹣4x+3的值均为0；当x﹣2＝±2，即x＝4或0时，x2﹣4x+3的值均为3．我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．请根据上述材料解决下列问题：（1）多项式x2+2x+1的对称轴是；（2）将多项式x2﹣6x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；（3）若关于x的多项式2x2+4ax﹣1关于x＝﹣2对称，求a的值．分类讨论思想4．（2022秋•平顶山期末）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，AB＝16cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，到达点B时停止运动；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动．设运动的时间为ts．（1）当t＝s时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形；（2）当t为何值时，点P和点Q之间的距离为10cm．【中考热点聚焦】热点1、一元二次方程的解法1．（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝172．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝13．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（）A． B． C． D．4．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣25．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．6．（2023•齐齐哈尔）解方程：x2﹣3x+2＝0．7．（2023•广州）解方程：x2﹣6x+5＝0．热点2、一元二次方程根的判别式8．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根9．（2023•锦州）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＜ B．k≤ C．k＜且k≠0 D．k≤且k≠010．（20