新教材高中数学必修第一册5 .7 三角函数的应用

5.7三角函数的应用

【学习目标】1.会用三角函数解决一些简单的实际问题2体会三角函数是描述周期变化现象

的重要函数模型.

知识梳理梳理教材夯实基础

-------------------------------------------------------------------N--------------------

知识点一三角函数的应用

1.三角函数模型的作用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题，在刻画囿

期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用.

2.用函数模型解决实际问题的一般步骤

收集数据一画散点图一选择函数模型一求解函数模型一检验.

知识点二函数y=Asin（0x+p）,A>0,。>0中参数的物理意义

预习小测自我检验

1.函数y=3sin&一2的初相为.

答案

2.某人的血压满足函数式处）=24sin160^+110,其中/）为血压（单位：mmHg）,r为时间（单

位：min）,则此人每分钟心跳的次数为.

答案80

3.电流/（A）随时间f（s）变化的关系式是/=5/100加十以，则当f=焉时，电流为A.

答案2

4.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要s往返一次.

答案0.8

解析观察图象可知，此简谐运动的周期T=0.8,所以这个简谐运动需要0.8s往返一次.

题型探究探究重点素养提升

----------------------\----------------------

一、三角函数在物理中的应用

例1已知电流/与时间/的关系为/=Asin(Gf+9).

⑴如图所示的是/=Asin(M+M(0>O,|夕阎在一个周期内的图象，根据图中数据求/=

Asin(G/+9)的解析式；

(2)如果f在任意一段击的时间内，电流/=Asin(M+p)都能取得最大值和最小值，那么。的

最小正整数值是多少？

解(1)由题图可知4=300,设fi=-go。,垃=]80，

则周期T=2«2—力）=2岛+点）=去.

.2?t_

・・口=亍=150兀.

又当片!^时，1=0,即sin（150m忐+p）=0,

3-..71.71

血..(p=q

故所求的解析式为/=300sin(150而+袭).

(2)依题意知，周期TW忐,即击(。>0),

二。》3007r>942,又tuGN*,

故所求最小正整数。=943.

反思感悟处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.

(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与

对应的三角函数知识结合解题.

跟踪训练1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位

置的位移5(单位：cm)与时间(单位：s)的函数关系是S=6sin(2m+§.

⑴画出它的图象；

(2)回答以下问题：

①小球开始摆动(即r=0)时，离开平衡位置是多少？

②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？

③小球来回摆动一次需要多少时间？

2冗

解⑴周期T=1^=I(S).

列表：

15211

t01

612312

兀兀

-171713兀+会

2兀/+2兀2兀2

662~26

6sin(2兀/

360~603

描点画图:

(2)①小球开始摆动(即f=0)时，离开平衡位置为3cm.

②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm.

③小球来回摆动一次需要1s(即周期).

二、三角函数在生活中的应用

例2通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=Asin@x+9)+6的图

象.某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出

现在凌晨2时，最低温度为零下2°C.

⑴求出该地区该时段的温度函数y=Asin(s+p)+6(A>0,a)>0,\(p\<n,[0,24))的表达式;

(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃,教室就要开空调，请问届时

学校后勤应该开空调吗？

[A+Z?=14,A=8,

解⑴由题意知:A+Q—

2,解得

/?=6,

T71

易知]=14-2,所以T=24,所以①=适,

易知8sin佶义2+，+6=—2,

即sin(^X2+9)=—l,

7171

故记义2+9=~~2~\~2kn,无£Z,

2兀

又I夕卜兀，得夕=一了，

+6(%e[0,24)).

(2)当x=9时，y=8sin[j^X9一司+6

TT7T

=8sin记+6<8sin%+6=10.

所以届时学校后勤应该开空调.

反思感悟解三角函数应用问题的基本步骤

跟踪训练2已知某地一天从4〜16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin&一用+20,

[4,16].

(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；

(2)若有一种细菌在15℃到25°C之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长

时间？

解(1)当x=14时函数取最大值，此时最高温度为30℃,

当x=6时函数取最小值，此时最低温度为10℃,

所以最大温差为30℃-10℃=20℃.

(2)令105由图—第+20=15,

得sin信一果一；，

26

而xG[4,16],所以了=3.

令lOsinRx—芝|+20=25,

得singx-y)=1,

而x£[4,16],所以x=芋.

当xe［当,胡时，

所以y在［拿胡上单调递增.

故该细菌能存活的最长时间为学一专=/小时•

随堂演练基础巩固学以致用

1.如图所示的是一个单摆，以平衡位置0A为始边、0B为终边的角0（一兀<*兀）与时间f（s）满

足函数关系式6=；sin（2r+y,则当f=0时角。的大小，及单摆的频率是（）

O

\

%B

A当1B.2—号，无D.2,兀

答案A

1

解析当f=o时，e=*inj4r;1，由函数解析式易知单摆的周期为27华r=兀，故单摆的频率为13

乙乙乙乙JL

2.在两个弹簧上各有一个质量分别为Mi和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间?（s）

离开平衡位置的位移si（cm）和S2（cm）分别由si=5sin（2r+?）,S2=10cos2r确定，则当s

时，S1与S2的大小关系是（）

A.S1>S2B.Si<S2

C.S1=S2D.不能确定

答案c

解析当/=争时，Si=5sin停+§=5sin芋=-5,

当/=专时，^2—lOcos争=l°X(—0=-5,

故51—^2.

3.如图表示电流强度I与时间t的关系（/=Asin（s:+9）（A>0,①>0））在一个周期内的图象，则

该函数解析式可以是（）

A.1=300sin(50加+])

B./=3OOsin(5OL§

C./=300sin(100兀r+g

D./=300sin(1007tL1

答案C

解析A=300,T—2(j5()+3QQ^=5910=爷=100兀，I—300sin(1OOirf+(p).

代入点（一击，0）,得10（hiX（—*）+°=0,

取夕=],/.1=300sin(^lOOnf+^j.

A.该质点的振动周期为0.7s

B.该质点的振幅为一5cm

C.该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大

D.该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零

考点三角函数模型的应用

题点三角函数在天文、物理学方面的应用

答案D

解析由图象及简谐运动的有关知识知T=0.8s,A—5cm,当f=0.1s及r=0.5s时，v—0,

故排除选项A,B,C.

5.一根长/cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）

与时间心）的函数关系式为S=3COS&5+§,其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1

s时，线长/=cm.

■课堂小结

1.知识清单：

（1）三角函数在物理中的应用.

（2）三角函数在生活中的应用.

2.方法归纳：数学建模.

课时对点练注重双基强化落实

----------------------------------\------------

g基础巩固

1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过/周期后，乙的位置将移至

)

A.x轴上B.最低点C.最高点D.不确定

答案C

解析相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点.

2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin信+J+4.据此函数

可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

A.5B.6C.8D.10

答案C

解析根据图象得函数的最小值为2,

有一3+左=2,k—5,最大值为3+4=8.

3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数/⑺=50+

4sin"（f20）,则在下列哪个时间段内人流量是增加的？（）

A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]

答案C

JTtTT

解析由22兀一知函数尸（。的增区间为[4左兀一兀，4左兀+兀],%£Z.

当％=1时，re[371,57i],而[10,15叵[3兀，5用，故选C.

4.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按fix)=Asin(cox+(p)+

4A＞0,。＞0,Ml与的模型波动(尤为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低

为5千元，根据以上条件可确定八元)的解析式为()

A.八尤)=2sin(?x—：)+7(lWxW12,尤GN*)

B.Ax)=9sin/-£)(lW;cW12,x^N*)

C.y(x)=26sin%+7(lWxW12,尤CN*)

Tl\

D./(x)=2sin[jx+N+7(lW尤W12,x^N*)

答案A

解析方法一令x=3可排除D,令x=7,可排除B,

由4="=2可排除C.

,9—5

方法—由题意，可得A=-2~=2,b=7.

周期7=京=2><(7—3)=8.

・—匹

••CD—中

-,./(x)=2sin^+^+7.

,/当x=3时，y=9,；.2sin任+°)+7=9.

即sin,+J=1.

••II•一71

.mi<2，••9—

4,

.\/(x)=:2sin[jx-^|+7(l^x^l2,x6N*).

故选A.

5.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产

市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每

个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第尤季度之间近似满足：y=500sin(ox+9)

+9500(。＞0),己知第一、二季度平均单价如下表所示：

X123

y100009500?

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()

A.10000元B.9500元

C.9000元D.8500元

答案C

解析因为y=5OOsin(ox+0)+9500(0>0),

所以当x=l时，500sin((a+^)+9500=10000；

当x=2时，500sin(2o+9)+9500=9500,

3兀

所以。可取受，9可取兀，

即y=500sin(^x+7t)+9500.

当x=3时，>=9000.

6.某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数尸a+Acos匕(x—6)

(x=l,2,3,…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28°C,12月份的月平均气

温最低，为18℃,则10月份的平均气温为℃.

答案20.5

解析根据题意得

71

18=〃+Acosg(12—6)=a—A,2S=a+A,

解得〃=23,A=5,

兀

所以y=23+5cos&(x-6),

令x=10,

得y=23+5cos^(10—6)=23+5cos•=20.5.

7.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度以米)在某天0〜24时的变化情况，则水

面高度h关于时间t的函数关系式为.

JT

答案h=-6sin4*0W/W24)

解析设h=Asin(cot+(p)9

由图象知A=6,T=12,

点(6,0)为五点法作图中的第一点，

JT

故5*6+夕=0,得夕=—71,

.,・/z=6sin像一兀)=—6sin前0W/W24).

8.如图是电流强度/(单位：安)随时间f(单位：秒)变化的函数/=Asin(0f+§(A>O,°>0)的

图象，则当片《秒时，电流强度是安.

答案5

解析由图象可知，A=10,

周期T=2X岛一击)=击，

所以0=半=100%，

所以/=10sin(100m+*).

当’=吉秒时，/=l°sin(2;i+.=5(安).

9.交流电的电压E(单位：伏)与时间f(单位：秒)的关系可用E=22OV0sin(lOO兀f+寿来表示,

求：

(1)开始时的电压；

(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间.

解⑴当1=0时,E=22OV3sin聿=11即(伏)，

即开始时的电压为110^3伏.

(2)电压的最大值为22即伏，

当100就+5=与即『看秒时第一次取得这个最大值.

10.如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心。距离地面

40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而

变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：

（1）求出你与地面的距离y（米）与时间f（分钟）的函数关系式；

（2）当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？

考点三角函数模型的应用

题点三角函数在日常生活中的应用

解⑴由已知可设y=40.5—40cosr20,

由周期为12分钟可知，当f=6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值,

所以6o=兀，即。=袭，

7T

所以y=40.5—40cos蒙0）.

（2）设转第1圈时，第m分钟时距离地面60.5米.

兀711

由60.5=40.5—40cos不加，得cos4而=-］，

的"以6,°一3取6,°39

解得而=4或力=8,

所以1=8（分钟）时,第2次距地面60.5米，

故第4次距离地面60.5米时，用了12+8=20（分钟）.

X综合运用

11.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心。距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈,

水轮上的点尸到水面的距离y（米）与时间f（秒）满足关系式y=Asin（of+9）+2,则（）

-2K

A.。=加A—3B.口=丘A=3

2兀15

C.幻=记，A=5D.幻=五，A=5

答案B

解析由题意知A=3,堂.

12.有一冲击波，其波形为函数y=—sin芋的图象，若其在区间［0,打上至少有2个波峰，

则正整数t的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

答案C

13.如图所示，有一广告气球，直径为6m,放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角

/8AC=30。时，测得气球的视角为2。（若人弧度）很小时，可取sin万仁£）,试估算该气球的高

BC的值约为（）

A.70mB.86mC.102mD.118m

答案B

解析在Rt^AQC中，CQ=3m,sinZCA£)=777,

AC

兀

・・・NCA。很小，l°=i8orad,

sinZCAD=7^7；rad.②

loU

在RtAABC中，sinZCAB=sin30。=彳，③

由①②③得8cg86m.

14.某时钟的秒针端点A到中心点。的距离为5cm,秒针均匀地绕点。旋转，当时间f=0

时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A,B两点的距离d（cm）表示成时间r（s）的函数，

贝Ud=，其中旧