山西省忻州市忻府区忻州一中新高考数学必刷试卷及答案解析

山西省忻州市忻府区忻州一中新高考数学必刷试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．642．已知函数，，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．3．设，随机变量的分布列是01则当在内增大时，（）A．减小，减小 B．减小，增大C．增大，减小 D．增大，增大4．设，，分别是中，，所对边的边长，则直线与的位置关系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直5．执行下面的程序框图，则输出的值为（）A． B． C． D．6．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门｡该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块｡某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4327．设全集，集合，，则集合（）A． B． C． D．8．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（）A． B． C． D．9．已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．310．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．11．设，，是非零向量.若，则（）A． B． C． D．12．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（）①②③④⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，其中，为正的常数，且，则的值为_______.14．边长为2的菱形中,与交于点O,E是线段的中点,的延长线与相交于点F,若,则______.15．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以A,B为焦点，且过C,D两点的双曲线的离心率为____________.16．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足，等差数列满足，（1）分别求出，的通项公式；（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：．18．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是中点，且，.求证：平面；求点到平面的距离.19．（12分）已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).（1）求椭圆的方程；（2）已知直线,为椭圆的右顶点.若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.20．（12分）已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上．求椭圆C的方程；若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角．21．（12分）设为抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为坐标原点.（Ⅰ）若点在线段上，求的最小值；（Ⅱ）当时，求点纵坐标的取值范围.22．（10分）已知椭圆的短轴长为，离心率，其右焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。【详解】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，则，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。2、B【解析】

可判断函数在上单调递增，且，所以.【详解】在上单调递增，且，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.3、C【解析】

，，判断其在内的单调性即可．【详解】解：根据题意在内递增，，是以为对称轴，开口向下的抛物线，所以在上单调递减，故选：C．【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题．4、C【解析】试题分析：由已知直线的斜率为，直线的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系5、D【解析】

根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.【详解】运行程序，，

，，，，，结束循环，故输出，故选：D.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.6、C【解析】

四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法．注意按“阅读文章”分类．【详解】四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不同的方法数为．故选：C．【点睛】本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法．7、C【解析】∵集合，，∴点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.8、C【解析】

根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.【详解】解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，因为是奇函数，所以，解得，因为，所以的最小值为.故选：【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.9、A【解析】

由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率．【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，，即，，．故选：A．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．10、C【解析】

根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解．【详解】，，，．故选：C．【点睛】本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量服从正态分布，则．11、D【解析】试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，，故也成立，故选D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.12、B【解析】

满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.故选：B.【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得值．【详解】解：由，得，，即，，又，，解得：．为正的常数，．故答案为：．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题．14、【解析】

取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．【详解】如图：设，又，且存在实数使得，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．15、2【解析】

根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.【详解】为焦点在双曲线上，则又本题正确结果：【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.16、【解析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则∵∠APB的大小恒为定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案为点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)（2）证明见解析【解析】

（1）因为，所以，所以，即，又因为，所以数列为等差数列，且公差为1，首项为1，则，即.设的公差为，则，所以（），则（），所以，因此，综上，．（2）设数列的前n项和为，则两式相减得，所以，设则，所以.18、（1）详见解析；（2）.【解析】

（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）取中点为,则,证得平面,利用等体积法求解即可.【详解】（1）因为，，，是的中点，，为直三棱柱，所以平面，因为为中点，所以平面，，又,平面（2），又分别是中点，.由（1）知，,又平面,取中点为,连接如图,则，平面，设点到平面的距离为，由，得，即，解得，点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、等体积法求点到面的距离；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题.19、（1）（2）定值为0.【解析】

（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c，再根据离心率得，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.【详解】（1）因为直线过椭圆的右焦点,所以，因为离心率为，所以，（2），设直线，则因此由得，所以，因此即【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.20、（1）；（2）或【解析】

(1)先由题意得出,可得出与的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆的方程，可求出与的值，从而得出椭圆的方程；(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，可求出，然后进行检验；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为,设点，先由直线与圆相切得出与之间的关系，再将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件得出的值，从而求出直线的倾斜角.【详解】（1）由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得，又点在椭圆上，所以，解得，即椭圆的方程为.（2）圆的方程为，当直线不存在斜率时，解得，不符合题意；当直线存在斜率时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以，即.将直线与椭圆的方程联立，得：，判别式，即，设，则，所以，解得，所以直线的倾斜角为或.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）由抛物线的性质，当轴时，最小；（2）设点，，分别代入抛物线方程和得到三个方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可求出的范围.【详解】解：（1）由抛物线的标准方程，，根据抛物线的性质，当轴时，最小，最小值为，即为4.（2）由题意，设点，，其中，.则，①，②因为，，，所以.③由①②③，得，由，且，得，解不等式，得点纵坐标的范围为.【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解.22、（1）；（2）.【解析】

（1）由已知短轴长求出，离心率求出关系，结合，即可求解；（2）当直线的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，直线与椭圆方程联立，利用相交弦长公式求出，斜率为，求出，得到关于的表达式，根据表达式的特点用“”判别式法求出范围，