小学奥数资料：约数与倍数题库教师版

L，5-3约数与倍数

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本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上

都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有

一些主要性质一定要记住.

本讲力求实现的一个核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解

定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，

让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为XX...X△☆的结构”

miin隹

一、约数的概念与最大公约数

0被排除在约数与倍数之外

1.求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.

伊H口：231=3x7x11,252=22X32X7,所以（231,252）=3x7=21;

2|1812

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.例如：3|96,所以（12,18）=2x3=6;

32

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数.用辗转

相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余

数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数

去除前一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公约数.（如果最后的除数是1,

那么原来的两个数是互质的）.

例如，求600和1515的最大公约数：1515+600=2315:600+315=1285;315+285=130;

285+30=915;30+15=20;所以1515和600的最大公约数是15.

2.最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数”,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以〃.

3.求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子

的最大公约数b；?即为所求.

a

二'倍数的概念与最小公倍数

1.求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,[231,252]=22x32x7xl1=2772；

②短除法求最小公倍数；

2|1812

例如：3|96,所以[18,12]=2、3、3、2=36;

32

③[°向=

(a,b)

2.最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数.

3.求一组分数的最小公倍数方法步骤

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数。；求出各个分数分母的最大公约数b;-

a

35[3,5]=15

即为所求.例如:

4512-(4,12)-T

注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如:M_4

(2,3)

三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果加为A、5的最大公约数，且人=^a,B=mb,那*么a、b互质,所以A、5的最小公倍数为mab,

所以最大公约数与最小公倍数有如下一^些基本关系：

M|AB

ab

®AxB=maxmb=mxivab,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是A、B、A+B,A-3及最小公倍数的约数.

2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即（a,6）x[a,6]=axZ?,此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3.对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a）奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数

例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍数

b）偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍

例如：6x7x8=336,而6,7,8的最小公倍数为336+2=168

性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，

即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

四'求约数个数与所有约数的和

1.求任一整数约数的个数

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数（次数）加1后所得的乘积。

如：1400严格分解质因数之后为23*5?x7,所以它的约数有（3+1）X（2+1）X（1+1）=4><3X2=24个。

（包括1和1400本身）

约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲

过的数字，，唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要

求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉

一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。

2.求任一整数的所有约数的和

一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的

最高次森求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：21000=23X3X53X7,所以21000所有约数的和为

（1+2+22+23）（1+3）（1+5+52+53）（1+7）=74880

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的

记忆即可。

目tW蚱醺辘）

模块一、约数与倍数、最大公约数与最小公倍数基本概念

【例11把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：

能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？

【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是

长方形的长和宽的公约数.由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方

形的长和宽的最大公约数.1米3分米5厘米=135厘米，1米5厘米=105厘米，（135,105）=15,

长方形纸块的面积为135x105=14175（平方厘米），正方形纸块的面积为15x15=225（平方厘

米），共可裁成正方形纸块14175+225=63（张）.

【巩固】一个房间长450厘米，宽330厘米.现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多

少块（整块），才能正好把房间地面铺满？

【解析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房

间长、宽厘米数的公约数.由于题中要求方豉边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最

大公约数.450和330的最大公约数是30.450-30=15,330+30=11,共需15x11=165（块）.

［例2］有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼

物中，三样水果各多少？

【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有（336,252,210）=42,即可以分42份，每份

中有苹果8个，桔子6个，梨5个.

【巩固】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少

个小朋友？

【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个

梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，

要求最多的人数，即是18和27的最大公约数9了.

【巩固】教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问

用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨

的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？

【解析】因为(320,240,200)=40,320+40=8,240+40=6,200+40=5,所以最多可分40份，每份

中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.

【例3]现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

【解析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数.只能从唯一的条

件“它们的和是1111”入手分析.三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数.因为

1111=11x101,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自

然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101,

101和909.所以所求数是101.

【巩固】用19这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数.

【解析】1+2++9=45,是9的倍数，因而9是这些数的公约数.又123456789和123456798这两个数

只差9,这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9的约数，所以9是这两个数的最大公

约数.从而9是这362880个数的最大公约数.

【巩固】用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B,那么A、B、540这三个数的最大公约

数最大可能是.

【解析】540=22X33X5,A、B、540这三个数的最大公约数是540的约数，而540的约数从大到小排列

依次为：540、270、180、135、108、90........由于A和B都不能被10整除，所以540、270、180

都不是A和B的约数.由于A和B不能同时被5整除，所以135也不是A和B的公约数.540的

约数除去这些数后最大的为108,考虑108的三位数倍数，有108、216、324、432、540、648、

756、864、972,其中由2、3、4、5、6、7这六个数码组成的有324、432和756,易知当A和B

一个为756、另一个为324或432时，A、B、540这三个数的最大公约数为108,所以A、B、540

这三个数的最大公约数最大可能是108.

【例4】两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,试求这两个数的差.

【解析】设这两个自然数为：5a,5b,其中。与6互质，5a+5/?=50,a+b=10,经检验，容易得到两

组符合条件的数：9与1或者7与3.于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5,35与15.它

们的差分别是：45-5=40,35-15=20.所以，所求这两个数的差是40或者20.

【巩固】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10,那么此数为几？

【解析】最小的三个约数中必然包括约数1,除去1以外另外两个约数之和为9,由于9是奇数，所以这

两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定

是2的倍数，即2是它的约数。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7,所以这个

两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6,所以这个数只能是14或98,

其中有6个约数的是98.

【例5](西城区13中入学试题)一次考试，参加的学生中有工得优，工得良，,得中，其余的得差，已

732

知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？

【解析】由题意“参加的学生中有工得优，工得良，工得中“，可知参加考试的学生人数是7,3,2的倍

732

数，因为7,2,3的最小公倍数为42,42x2=84>50,所以参加的学生总数为42人.那么得

差的学生有：42x(1------)=1A.

732

【巩固】甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小公倍数是105,甲、丙两数的最小公倍数是

126,那么甲数是多少？

【解析】对90分解质因数：90=2x32x5.

因为126是甲的倍数，又126不是5的倍数，所以甲中不含因数5.

如果乙也不含因数5,那么甲、乙的最小公倍数也不含因数5,但90是5的倍数，所以乙含有因

数5.

因为105不是2的倍数，所以乙也不是2的倍数，即乙中不含因数2,于是甲必含有因数2.

因为105不是9的倍数，所以乙也不是9的倍数，即乙最多含有1个因数3.由于甲、乙两数的

最小公倍数是90,90中含有2个因数3,所以甲必含有2个因数3,那么甲=2x3?=18.

总结：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的

个数的最大值.^a=2x33x52x7,=23x32x5x7xll,则A、3的最小公倍数含有质因子2,

3,5,7,11,并且它们的个数为a、。中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个，3

个，2个，1个，1个，故他,切=23><33*52*7><11.

【巩固】一次考试，参加的学生中有工得优，工得良，工得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满

743

100人，那么得差的学生有多少人？

【解析】由题意“参加的学生中有工得优，！得良，L得中二可知参加考试的学生人数是7,4,3的倍

743

数，因为74,3的最小公倍数为84（小于100人），所以参加的学生总数为84人.那么得差的学

生有：84-12-21-28=23A.

【例6］动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群,

则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子，每只

可得多少粒？

【解析】依题意得：花生总粒数=12x第一群猴子只数=15x第二群猴子只数=20x第三群猴子只数，由此

可知，花生总粒数是12,15,20的公倍数，其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,…，

那么：第一群猴子只数是5,10,15,-;第二群猴子只数是4,8,12,-；第三群猴子只数

是3,6,9,-;所以，三群猴子的总只数是12,24,36,…因此，平均分给三群猴子，每只

猴子所得花生粒数总是5粒.

【巩固】加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每

名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,

三道工序最少共需要多少名工人？（假设这三道工序可以同时进行）

【解析】为了使生产均衡，则三道工序每小时生产的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有a、

b、c个工人，有6a=106=15c=左，那么左的最小值为6,10,15的最小公倍数,即［6,10,15］=30.所

以a=5,b=3,c=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人.

【例7］大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，

小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米.由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地

上留下60个脚印.求圆形花圃的周长.

【解析】必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数.两人从起点出发到第一次

脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为［54,72］=216厘米.在216厘米里，

两人留下的脚印数分别是：216+54=4（个），216+72=3（个），由于两人有1个脚印重合，所

以实际上只有4+3-1=6（个）脚印.60+6=10,即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为：

216x10=2160（厘米）.

【巩固】甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50

米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？

【解析】甲、乙走一圈分别需要5分钟和8分钟，因此他们要是在A点再次相遇，两人都要走整圈数，所

以所需的时间应是5和8的最小公倍数40分钟.

【巩固】3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方

向跑步.开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长工千米，中圈跑道长工千米，外圈跑道

54

31

长三千米.甲每小时跑3七千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米.问他们同时出发，几小

82

时后，3人第一次同时回到出发点？

1191133

【解析】甲跑完一圈需一・3—二一小时，乙跑一圈需一+4=—小时，丙跑一圈需—+5=一小时，他们同

5235416840

时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为2仁，―1,上3_的倍数，即为它们的公倍数.而

351640

_2_xA［2,1,3］g=6.所以6小时后，3人第一次同时回到出发点.

35，16,40（35,16,40）1

【巩固】有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70

米.已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可

以首次相聚？

【解析】由题意，甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是400米的倍数，甲和乙每分钟差

120-80=40（米），则需要400-40=10分钟乙才能第一次追上甲；同理，乙每分钟比丙多走

120-70=50（米），则需要400+50=8分钟乙才能追上丙；同理，甲每分钟比丙多走

80-70=10（米），则需要400+10=40分钟甲才能追上丙；而想要三人再次相遇，所需的时间则

为10,8,40的公倍数.因为［10,8,40］=40,所以三人相聚需要过40分钟，即40分钟后，三个

人可以首次相聚.

【例8］已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数.

【解析】由于两个自然数的积=两数的最大公约数x两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是

240+60=，，设这两个数分别为4a、4b,那么（a,6）=1,且axb=60+4=15,所以a和6可以

取1和15或3和5,所以这两个数是4和60或12和20.

【巩固】已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？

【解析】假设这两个数是21a和2g，易得21xax6=126,所以axb=6,由。和6互质，那么就有

6=lx6=2x3两种情况.所以甲、乙是：21x1=21,21x6=126或21x2=42,21x3=63两种

情况.它们的和是147或105.

【巩固】已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数.

【解析】这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，

120+4=30,将30分解成两个互质的数之积：1和30,2和15,3和10,5和6,所以这两个数

为4与120,或8与60,或12与40,或20与24.

【巩固】两个自然数的和是125,它们的最大公约数是25,试求这两个数.

【解析】125+25=5,5=1+4=2+3,两数可以为25、100或者50、75.

模块二、最大公约数与最小公倍数性质的综合应用

【例9】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少？

【解析】360分解质因数：360=2X2X2X3X3X5=23X32X5;360的约数可以且只能是2"X3〃X5°,（其

中a,b,c均是整数，且a为0〜3,6为0〜2,c为0〜1）.因为a、b、c的取值是相互独立的，由计

数问题的乘法原理知，约数的个数为（3+1）X（2+1）X（1+1）=24.我们先只改动关于质因数3的约

数，可以是1,3,3?，它们的和为（1+3+32）,所以所有360约数的和为（1+3+32）X2》X5］我们再

来确定关于质因数2的约数，可以是I,2,22,23,它们的和为（1+2+22+23）,所以所有360约数的

和为（1+3+32）X（1+2+22+23）X5w;最后确定关于质因数5的约数，可以是1,5,它们的和为（1+5）,

所以所有360的约数的和为（1+3+3?）X（1+2+2?+23）X（1+5）.于是，我们计算出值：13X15X

6=1170.所以，360所有约数的和为1170.

【巩固】已知如72两个数都是只含质因数3和5,它们的最大公约数是75,已知机有12个约数，〃有

10个约数，求7”与〃的和.

【解析】因为75=3x5、如果设机=3。><5。，n=3xx5y,那么小x中较小的数是1,q、y中较小的数是

2.由于一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的次数加1的乘积.所以

（p+l）x（4+l）=12,（尤+l）x（y+l）=10.又22G*杂，10=2x5，由于>22,所以y+l>3,

刃口么y+l=5,尤+1=2,得到x=l,y=4.刃卜么q=2,得至Up=3,所以机=33x5?=675,

"=3x5”=1875,m+n=2550.

【例10］甲、乙两个自然数的最大公约数是7,并且甲数除以乙数所得的商是乙数是.

8

【解析】由（甲，乙）=7,且甲：乙=9:8,由于8与9互质，所以乙数=8x7=56.

【巩固】甲数是36,甲、乙两数最大公约数是4,最小公倍数是288,那么乙数是多少？

【解析】法1:根据两个自然数的积=两数的最大公约数x两数的最小公倍数，有：甲数x乙数=4x288,

所以，乙数=4x288-36=32;

法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4,则甲数=4x9,设乙数=4xb,则（6,9）=1.因为甲、

乙两数的最小公倍数是288,则288=4x9x6,得6=8.所以，乙数=4x8=32.

【巩固】马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把

甲数的十位数字看错了，得乘积407,那么甲、乙两数的乘积应是.

【解析】乙数是473与407的公约数.473与407的最大公约数是11,11是质数，它的两位数约数只有11,

所以乙数是11,又473=43x1,407=37x11,所以甲数是47,甲、乙两数的乘积应为：

47x11=517.

【例11】如图，眼鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞。老鼠对辗鼠说：“你挖

完后，我再挖。'’这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是辗鼠要挖的洞，所以老鼠可以

少挖多少个洞？

【解析】因为157除以5的余数是2,可得下图

噩鼠AI---1_I--------1_I-----1-------LB老鼠

02367912157单位：米

由图中很明显可知，^鼠和老鼠重合的第一个洞在距离A点12米处.因为[3,5]=15,

（157—12）+15=145+15=910,所以，老鼠和鼠晏鼠要挖的洞里重合的有9+1=10（个）.

【巩固】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发

一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？（★★）

【解析】苹果每3人发1个，桔子每5人发1个.因为[3,5]=15,所以苹果和桔子都拿到的10个小朋友之

间包括这10个小朋友，共有15x（10-1）+1=136（人）.在他们的左边最多有4个小朋友拿到苹果，

所以左边最多还有3x4=12（人）;右边最多有2个小朋友拿到桔子，所以右边最多还有5x2=10

（人）.所以最多有：136+12+10=158（人）.

【巩固】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成

12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多

少段？

【解析】从题目中可以知道，木棍锯成的段数，比锯的次数大1；而锯的次数并不一定是三种刻度线的总

和，因为当两种刻度线重合在一起的时候，就会少锯一次.所以本题的关键在于计算出有多少两

种刻度线或者三种刻度线重叠在一起的位置.把木棍看成是10、12、15的最小公倍数个单位，

那么每个等分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的公信数，利用

求公倍数的个数的方法计算出重合的刻度线的条数.

[10,12,15]=60,先把木棍60等分，每'一等分作为一个单位，则第'一种刻度线相邻两刻度间占6

个单位，第二种占5个单位，第三种占4个单位，分点共有9+11+14=34（个）.

[5,6]=30,故在30单位处二种刻度重合1次；[4,5]=20,故在20、40单位处二种刻度重合2

次；[4,6]=12,故在12、24、36、48单位处二种刻度重合4次；[4,5,6]=60,所以没有三种刻

度线重叠在一起的位置.所以共有不重合刻度34-1-2-4=27个.从而分成28段.

【例12]已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大

的数是多少？

【解析】设a>b,有。=Z?+120,又设(a,6)=d,a=pd,b-qd,(p,q)=l,S-p>q,则［o,例=的〃,

有pqd=105d,所以pq=105=3x5x7.因为a—b=(p—q)d=120,所以(p—q)是120的约数.

①若p=105,q=l,则p-4=104,不符合；

②若p=35,q=3,则p—q=32,不符合；

③若p=21,q=5,则p-g=16,不符合；

④若p=15,q=7,则p-q=8,符合条件.

由(p-4)d=8d=120,得4=15,从而a、b中较大的数a=pd=15xl5=225.

【巩固】已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为114,求这两个自然数.

【解析】设这两个自然数分别是机a、mb,其中机为它们的最大公约数，。与6互质(不妨设aV6),根

据题意有：

mb+ma=m{a+6)=54

mab—m=m{ab-1)=114

所以可以得到机是54和114的公约数，所以是(54,114)=6的约数.m=l,2,3或6.

如果帆=1,由mx(a+6)=54,有a+6=54;又由机x("—1)=114,有“6=115.

115=1x115=5x23,但是1+115=116/54,5+23=28^54,所以相片1.

如果根=2,由，wx(a+6)=54,有a+Z>=27;又由mx(ab-l)=114,有必=58.

58=1x58=2x29,但是1+58=59x27,2+29=31x27,所以力2*2.

如果根=3,由〃zx(a+6)=54,有a+b=18;又由mx(°6—1)=114,有而=39.

39=1x39=3x13,但是1+39=40力18,3+13=16^18,所以租学3.

如果根=6,由〃zx(a+6)=54,有a+6=9;又由〃zx(a6—1)=114,有a/?=20.

20表示成两个互质的数的乘积有两种形式：20=1x20=4x3虽然1+20=21*9,但是有

4+5=9,所以取根=6是合适的，此时a=4,b=5,这两个数分别为24和30.

【例13】(2008第四届“IMC国际数学邀请赛”(新加坡)六年级复赛)如图，A、B、C是三个顺次咬和

的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：当B转4圈时，C恰好转5圈，则A、B、C的齿数的最

小数分别是多少？

【解析】当A转4圈时，B恰好转3圈，则A、B齿数的比值为3:4,同理，B、C的齿数比值为5:4。所以

A、B、C齿数比值为3x5:4x5:4x4=15:20:16,所以此时A齿数至少为15,B的齿数至少是20,

C齿数至少是16o

【例14]求满足条件1+!■=」—的a、b的值(a、b都是四位数).

ab1001

【解析】取1001的两个不同约数X、y(x<y)，得到：

」一=—叶？一=---------+----------=-----------+-----------,因为x、y都是1001

10011001(%+y)1001(%+y)1001(%+y)1001^,y)1。。.।),)

尤y

,,以0,,10011001加口切盘匕:、,口中人1001(x+y),1001(x+y)...-p_

的约数，所以----、----都是整数.所以只需令。=---------,b=-------------2就可以了.而

元yxy

a、b都要大于1001,要保证a、b都是四位数，所以a、b的比值都要小于10,即x、y的比值小

于10.而1001的两个互质且比值小于10的约数有以下几组：(1,7)、(7,11)、(7,13)、(11,13)、

(11,91)、(13,77).所以我们依次取x、y为上面所列的数对中的数，代入a、b的表达式，得到

本题的答案：

fa=8008,2574,2860,2184,9282,6930

[&=1144,1638,1540,1848,1122,1170

[例15]N为自然数，且N+l,N+2、……、N+9与690都有大于1的公约数.N的最小值为多少？

【解析】690=2x3x5x23,连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数.

如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，

所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于I的公约数.

所以9个数中有5个偶数，则N+l、N+3、N+5、N+7、N+9是偶数，剩下的4个奇数中，

有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数.可知4个奇数中N+2、N+8是3的倍数，还

有N+4、N+6一个是5的倍数，一个是23的倍数，那么这两个数最小只能为23和25,故

N+4=23,得N=19.故N的最小值为19.

【例16】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10,那么此数为几？

【解析】最小的三个约数中必然包括约数1,除去1以外另外两个约数之和为9,由于9是奇数，所以这

两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定

是2的倍数，即2是它的约数。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7,所以这个

两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6,所以这个数只能是14或98,

其中有6个约数的是98.

【巩固】如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍.现有一个整

数n,除掉它的约数1和n夕卜，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的

整数n有哪些？

【解析】设整数n除掉约数1和n外，最小约数为a,可得最大约数为15。，那么

n=axl5a=15a2=3x5xa2.5H3、5、a都为n的约数.因为a是n的除掉约数1外的最小约数，

那么aV3.当a=2时，“=15x22=60;当。=3时，M=15X32=135.所以满足条件的整数n

有60和135.

【例17］在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？

【解析】6=lx6=2x3,故6只能表示为（5+1）或（l+l）x（2+l）,所以恰好有6个约数的数要么能表示成

某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32,

符合后者的数枚举如下：

22X322X522X722X1122X1322X1722X1922X238个

32X232X532X732X114个

52x252x32个

72X21个

所以符合条件的自然数一共有1+8+4+2+1=16个.

【巩固】恰有8个约数的两位数有个.

【解析】根据约数个数公式，先将8进行分解：8=1X8=2X4=2X2X2,所以恰有8个约数的数至多有3

个不同的质因数，分解质因数后的形式可能为4,A'B3,A'B'C1.其中由于2,=128>100,所

以4形式的没有符合条件的两位数；A&形式中，B不能超过3,即可能为2或3,有2x33、3x23、

5x2\7x2\llx23,共5个；AKC4形式的有2x3*5、2x3x7、2x3x11,2x3x13、2x5x7,

共5个.所以共有5+5=10个符合条件的数.

【巩固】在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？

【解析】由于9=lx9=3x3,根据约数个数公式，可知9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，或者

两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有28=256符合条件，后者中符合条件有

22X52=100,22X72=196>22xll2=484>22xl32=676>32x52=225,32x72=441,所以

符合条件的有7个.

【巩固】能被2145整除且恰有2145个约数的数有个.

【解析】先将2145分解质因数：2145=3x5x11x13,所以能被2145整除的数必定含有3,5,11,13这

4个质因数；由于这样的数恰有2145个约数，所以它至多只有4个质因数，否则至少有5个质因

数，根据约数个数的计算公式，则有5个大于1的整数的乘积等于2145,而2145只能分解成3,

5,11,13的乘积，矛盾.所以所求的数恰好只有3,5,11,13这4个质因数.

对于这样的每一个数,分解质因数后3,5,11,13这4个因子的赛次都恰好是2=（3-1）,4=（5-1）,

10=（11-1）,12=（13-1）的一个排列，所以共有4!=24种

【巩固】能被210整除且恰有210个约数的数有个.

【解析】210=2x3x5x7,所以原数肯定含有2,3,5,7这四个质因子，而且赛次一定按照某种顺序是

1,2,4,6,可以任意排列，所以有4!=24个.

【巩固】(2008年仁华考题)1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数.

【解析】1001的倍数可以表示为100W,由于1001=7x11x13,如果k有不同于7,11,13的质因数，那

么100M至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数

为(4+1)(出+1)(4+1)(%+1)(q+1)，其中/栏4.如果这个数恰有1001个约数，则

(4+1)(%+1)(%+1)(%+1)(«,,+1)=1001=7x11x13,但是1001不能分解成4个大于1的数

的乘积，所以“24时不合题意，即k不能有不同于7,11,13的质因数.那么100M只有7,11,

13这3个质因数.设100M=7"xiaxl3c,则(a+1)仅+