第一章　匀变速直线运动第5课时　追及相遇问题　重难突破课教师用

第5课时追及相遇问题[重难突破课]1.分析追及相遇问题的五个要素①运动草图；②速度关系；③位移关系；④时间关系⑤关键字眼：如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，由关键字眼分析临界状态，找出临界条件，列运动学方程2.解答追及相遇问题的三种技法（1）情境分析法：认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情境图，进而判断两物体能否同时到达同一位置。（2）图像分析法：将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题。（3）函数分析法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况。技法一情境分析法【典例1】汽车A以vA＝4m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7m处、以vB＝10m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2m/s2。从此刻开始计时。求：（1）A追上B前，A、B间的最远距离是多少；（2）经过多长时间A恰好追上B。解题指导汽车A和B的运动过程如图所示。答案：（1）16m（2）8s解析：（1）当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3s此时汽车A的位移xA＝vAt＝12m汽车B的位移xB＝vBt－12at2＝故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16m。（2）汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝vBa运动的位移xB'＝vB2汽车A在t1时间内运动的位移xA'＝vAt1＝20m此时相距Δx＝xB'＋x0－xA'＝12m汽车A需再运动的时间t2＝Δxv故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8s。（1）若某同学应用关系式vBt－12at2＋x0＝vAt，解得经过t＝7s（另解舍去）时A恰好追上B。这个结果合理吗？为什么（2）若汽车A以vA＝4m/s的速度向左匀速运动，其后方在同一车道相距x0＝7m处、以vB＝10m/s的速度同方向运动的汽车B正向左开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2m/s2，则B车能否追上A车？提示：（1）这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝vBa＝5s＜7s，说明汽车A追上B时汽车（2）可由位移关系式vBt－12at2＝x0＋vAt，解得t1＝（3－2）s，t2＝（3＋2）s（舍去），t1【解题技法】情境分析法的基本思路技法二图像分析法【典例2】（多选）假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前乙车在后，速度均为v0＝30m/s。甲、乙两车相距x0＝100m，在t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是（）A.0～3s内两车间距逐渐增大B.t＝6s时两车距离最近，且最近距离为10mC.6～9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大D.两车在0～9s内会相撞答案：BC解析：由图可知0～3s内，甲车做匀减速直线运动，乙车做匀速直线运动，初速度相等，则两车间距逐渐减小，故A错误；根据题意作出两车的速度时间图像，如图：由图可知t＝6s时两车速度相等，阴影部分面积代表0～6s内两车的位移差为Δx＝12×30×3m＋12×30×（6－3）m＝90m，所以最近距离为10m，故B正确；由图可看出6～9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，由于6s时甲在前距离乙车10m的位置，所以在0～9s内两车不会相撞，故C正确，【解题技法】利用图像法分析追及相遇问题的技巧（1）若为x-t图像，图像相交即代表两物体相遇。（2）若为v-t图像，利用图像与坐标轴围成的面积进行分析。（3）若为a-t图像，可转化为v-t图像进行分析。（4）对于其他图像，可以根据图像的特点及意义进行具体分析。（多选）两物体甲、乙在水平面上同时同地由静止出发，沿同一方向做直线运动，它们的加速度a随位移x变化的关系如图所示。则（）A.x＝6m时，两者相遇B.甲运动6m时，乙在它后面C.乙运动8m的过程中的平均速度小于2m/sD.甲运动8m时的速度为42m/s解析：BCD甲物体做加速度减小的加速运动，乙物体做加速度增大的加速运动，v-t图像如图所示。由图可知甲、乙通过相同位移时，时间不相等，运动6m时不可能相遇，甲在乙前面，A错误，B正确；乙运动8m时速度v乙＝2a乙x＝2×12×2×8m/s＝4m/s，运动8m的过程中平均速度小于2m/s，C正确；甲运动8m时的速度v甲＝2技法三函数分析法【典例3】一汽车在直线公路段上以54km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14m处有一辆自行车以5m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4s的反应时间后，司机开始刹车，则：（1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？（2）若汽车刹车时的加速度只为4m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？答案：（1）5m/s2（2）1m/s2解析：（1）初速度v汽＝54km/h＝15m/s，初始距离d＝14m，设汽车的加速度大小为a，减速时间为t，则自行车的位移为x自＝v自（t＋t0）汽车的位移为x汽＝v汽（t＋t0）－12at假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d代入数据整理得12at2－10t＋10＝要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得Δ＝102－20a≤0解得a≥5m/s2所以，为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为5m/s2。（2）设自行车加速度为a'，加速时间为t'同理可得v汽（t'＋t0）－12a汽t'2＝v自（t'＋t0）＋12a't'2代入数据整理得12a'+2t'2－10t'要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得Δ＝102－20a'－80≤0，解得a'≥1m/s2所以，自行车的加速度至少为1m/s2才能保证两车不相撞。【解题技法】利用函数法分析追及相遇问题的思路设相遇时间为t，根据条件列方程，得到位移x关于时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况。①若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；③若Δ＜0，说明追不上或不能相遇。技法一情境分析法1.如图所示，甲、乙两辆玩具小汽车（可以视为质点）并排沿平直路面的相邻轨道向前行驶，两车都装有蓝牙设备，这两个蓝牙设备可以在6m以内实现通信。t＝0时刻，甲、乙两车刚好位于图示位置，此时甲车的速度为6m/s，乙车的速度为2m/s，从该时刻起甲车以1m/s2的加速度做匀减速运动直至停下，乙车保持原有速度做匀速直线运动。忽略轨道间距和信号传递时间，则从t＝0时刻起，两车能利用蓝牙通信的时间为（）A.2s B.6sC.8s D.10s解析：C根据几何知识可知，当甲车在乙车前方时，有x甲－x乙＝6m，根据运动学公式有x甲＝v甲t－12at2，x乙＝v乙t，解得t1＝2s，t2＝6s，由于v甲＝at，解得t＝v甲a＝61s＝6s，在6s时甲已经静止，则t＝6s之后，甲车停下，乙车运动，故甲、乙两车的距离不断减小，从t＝6s开始到乙车行驶至甲车前方6m的过程中，这段过程经历的时间为t'＝2sv乙＝2×6mv乙＝6s，所以甲、乙两车能利用蓝牙通信的时间为2.大雾天气，有甲、乙两车在同一平直车道上匀速行驶，甲车在后，速度为v1＝14m/s，乙车在前，速度为v2＝10m/s，某时刻甲车车头与乙车车尾间的距离为L0＝30.5m，此时乙车突然以大小为a0＝1m/s2的加速度刹车，经过时间t0甲车车头与乙车车尾间的距离减为L＝14m，为了两车避免相撞，此时甲车也立即刹车做匀减速直线运动，求：（1）t0的值；（2）刹车后，甲车做匀减速直线运动的加速度至少多大？答案：（1）3s（2）2.75m/s2解析：（1）在t0时间内，甲、乙两车运动位移分别为x1＝v1t0x2＝v2t0－12a0t又x1－x2＝L0－L解得t0＝3s。（2）甲车开始刹车时，乙车速度为v3＝v2－a0t0＝7m/s若甲车刹车后经时间t两车速度相等（设为v），两车恰好避免相撞，则v＝v1－atv＝v3－a0t时间t内甲、乙两车运动位移分别为x3＝v1t－12at2x4＝v3t－12a0t2又x3－x4＝L联立以上各式解得a＝2.75m/s2即甲车刹车加速度至少为2.75m/s2。技法二图像分析法3.（多选）如图所示是做直线运动的甲、乙两个物体的位移—时间图像，由图像可知（）A.乙开始运动时，两物体相距20mB.在0～10s这段时间内，两物体间的距离逐渐增大C.在10～30s这段时间内，两物体间的距离逐渐变小D.两物体在10s时相距最远，在30s时相遇解析：BCD由图可知，乙开始运动时甲离坐标原点大于20m，两物体相距大于20m，故A错误；在0～10s这段时间内，乙保持静止，甲正向运动，两物体间的距离逐渐增大，故B正确；位移—时间图像的斜率等于速度，斜率越大，速度越大，则知在10～30s这段时间内，甲的运动速率小于乙的运动速率，甲在乙的前方，则两者距离逐渐减小，故C正确；在0～10s这段时间内，甲在前面，两物体间的距离逐渐增大，在10～30s这段时间内，乙的速度大于甲的速度，两物体间的距离逐渐变小，所以两物体在10s时相距最远，x-t图像的交点表示相遇，由图可知，30s时二者相遇，故D正确。4.要想富先修路，为了乡村振兴，农村公路正逐渐优化。甲、乙两车在双车道平直公路上同向行驶，其v-t图像如图所示。已知两车在t＝0时，甲车在乙车前7.5m，则（）A.在t＝1s时，甲车在乙车后B.两车第一次并排行驶的时刻是t＝2sC.在t＝3s前，甲车在乙车前方D.两车两次并排行驶的位置之间的距离为40m解析：D速度时间图像的斜率表示物体运动的加速度，则由图像可得a甲＝10m/s2，a乙＝5m/s2，另由图像可知甲车的初速度为0，乙车的初速度为v0＝10m/s，则由运动学公式可得甲乙两车在t＝1s时的位移分别为x甲＝12a甲t2＝12×10×1m＝5m，x乙＝v0t＋12a乙t2＝10×1m＋12×5×1m＝12.5m，而初始时刻甲车在乙车前7.5m处，则有x甲＋Δx＝12.5m＝x乙，可知在t＝1s时，甲车与乙车相遇，即两车第一次并排行驶，故A、B错误；设两车再次并排行驶时所用时间为t1，则由位移关系有12a甲t12＋Δx＝v0t1＋12a乙t12，解得t1＝t＝1s（舍去）或t1＝3s，即两车在t1＝3s时再次相遇，结合图像可知，t＝1s前甲车在乙车前，t＝1s时两车第一次相遇，此后乙车在甲车前，直至t1＝3s时两车再次相遇，t1＝3s时甲车的位移为x甲'＝12a甲t12＝12×10×9m＝45m，由此可知两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x技法三函数分析法5.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车。则汽车从路口启动后，在追上自行车之前两车相距最远时经历的时间及此时两车的距离分别为（）A.2s2m B.2s4mC.2s6m D.4s6m解析：C设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－12at2，代入已知数据得Δx＝6t－32t2，由二次函数求极值的条件知t＝2s时，Δx有最大值6m，所以t＝2s时两车相距最远，为Δx＝6m，故选6.（多选）越野车和自动驾驶车沿同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度v0从旁边加速驶过，如图所示分别为越野车和自动驾驶车的v-t图线，根据这些信息，可以判断（）A.5s末两车速度均为9m/sB.0时刻之后，两车只会相遇一次C.20s末两车相遇D.加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的3倍解析：AD由v-t图像可以看出，5s末两车的速度相等，均为v＝18+02m/s＝9m/s，A正确；0至10s，两图线与坐标轴围成图形的面积相等，由v-t图像的物理意义可知，10s末两车相遇，10～20s两车间距变大，20s之后两车间距变小，25s后会再相遇一次，B、C错误；由v-t图像可知，5s末两车的速度均为9m/s，由9m/s增加到18m/s，越野车所花的时间是自动驾驶车的3倍，根据a＝ΔvΔt可知，自动驾驶车的加速度是越野车的37.（多选）甲乙两质点在同一直线上运动，从t＝0时刻起同时出发，甲做匀加速直线运动，x-t图像如图甲所示，已知甲图像过（0，－2）、（1，0）、（2，6）三个点。乙做匀减速直线运动，整个运动过程的x-v2图像如图乙所示，下列说法正确的是（）A.t＝0时刻，甲的速度为2m/sB.甲的加速度大小为4m/s2C.经过292s，D.经过2.5s，甲追上乙解析：BC对甲图有x＝v0t＋12a1t2＋x0，将（0，－2）、（1，0）、（2，6）三个点代入上式解得v0＝0，a1＝4m/s2，x0＝－2m，A错误，B正确；对乙图有v2－v乙02＝2a2x，变形为x＝12a2v2－v乙022a2，结合图像可知v乙0＝10m/s，a2＝－4m/s2，由运动学公式有x甲＝x乙＋｜x0｜，12a1t2＝v乙028.在同一平直路面上，从同一地点同向行驶的两辆汽车的运动图像如图所示，则（）A.0～2s内A车的速度大，2s后B车速度大B.t＝2s时，两车相遇C.t＝4s时，两车相遇D.A车的初速度是2m/s，加速度是1m/s2解析：B根据公式v＝xt，可知xt表示平均速度，即0～2s内，两车平均速度相同，因从同一地点同时出发，所以两车相遇，故B正确，C错误；根据位移时间公式x＝v0t＋12at2，变形得xt＝v0＋12at，结合图像可知A车的初速度为2m/s，斜率为k＝4－22－0＝12a，解得加速度为a＝2m/s2，B车初速度为零，同理可得加速度为a'＝4m/s2，由此可知0～1s内，A车速度大，9.在某次军事演习中，歼击机以v0＝220m/s的恒定速度追击前面同一直线上匀速飞行的无人靶机。当两者相距x0＝3.2km时；歼击机发射一枚导弹，导弹脱离歼击机后沿水平方向做加速度为a＝20m/s2的匀加速直线运动，t0＝20s时击中无人靶机并将其击落。已知发射导弹的