第五章　万有引力与宇宙航行 第27课时　宇宙速度和人造卫星　双基落实课

第27课时宇宙速度和人造卫星[双基落实课]（鲁科版教材必修第二册P99“科学书屋”）人造卫星是人类的“千里眼”和“顺风耳”。人造卫星种类很多、用途各异，有科学卫星、气象卫星（如图所示）、地球资源卫星、环境检测卫星和照相侦察卫星等。卫星上的接收器和转发器可以帮助人们接收和转发信息。例如，静止通信卫星，也叫地球同步卫星。判断下列说法正误：（1）“风云四号”气象卫星的发射速度等于地球第一宇宙速度。（×）（2）“风云四号”气象卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。（√）（3）同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。（√）（4）若卫星发射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则卫星可绕太阳运行。（√）考点一宇宙速度的理解和计算[素养自修类]1.【宇宙速度的理解】（2020·北京高考5题）我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10％，半径约为地球半径的50％，下列说法正确的是（）A.火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B.火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C.火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度解析：A当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故A正确；第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故B错误；根据万有引力提供向心力，有GMmR2＝mv12R，解得第一宇宙速度为v1＝GMR，结合题意得火星的第一宇宙速度为v火＝10％50％v地＝55v地，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；根据星球表面处物体所受万有引力近似等于重力，则有GMmR2＝mg，解得火星表面的重力加速度g火＝GM2.【第一宇宙速度的计算】地球的近地卫星线速度大小约为8km/s，已知月球质量约为地球质量的181，地球半径约为月球半径的4倍，下列说法正确的是（A.在月球上发射卫星的最小速度约为8km/sB.月球卫星的环绕速度可能达到4km/sC.月球的第一宇宙速度约为1.8km/sD.“近月卫星”的线速度比“近地卫星”的线速度大解析：C根据第一宇宙速度v＝GMR，可得月球与地球的第一宇宙速度之比为v月v地＝M月R地M地R月＝481＝29，月球的第一宇宙速度约为v月＝29v地＝29×8km/s≈1.8km/s，在月球上发射卫星的最小速度约为1.8km/s，月球卫星的环绕速度小于或等于1.8km/s，1.第一宇宙速度的理解（1）表达式：v1＝GMR＝推导：由GMmR2＝mv12R可得v由mg＝mv12R可得v1（2）意义：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πRg＝5075s≈85min2.卫星的发射速度与运动轨迹的关系（1）v发＝7.9km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。（2）7.9km/s＜v发＜11.2km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。（3）11.2km/s≤v发＜16.7km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。（4）v发≥16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。考点二卫星运行参量的分析[多维探究类]1.一种模型：无论自然天体（如地球、月亮）还是人造天体（如宇宙飞船、人造卫星）都可以看作质点围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动。2.两条关系（1）万有引力提供向心力：GMmr2＝ma＝mv2r＝mω2r＝（2）地球表面，万有引力等于重力：GMmR2＝mg（R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度3.四字结论：越高越慢GMmr2【典例1】如图所示，a是在赤道平面上相对地球静止的物体，随地球一起做匀速圆周运动。b是在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，轨道半径约等于地球半径。c是地球同步卫星，已知地球表面两极处的重力加速度为g，下列关于a、b、c的说法正确的是（）A.b做匀速圆周运动的加速度等于gB.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度最大的是cC.a、b、c做匀速圆周运动的速率最大的是aD.a、b、c做匀速圆周运动的周期最小的是a答案：A解析：对b，根据GMmR2＝mg＝ma，可知b做匀速圆周运动的加速度等于g，选项A正确；根据GMmr2＝ma，卫星c的轨道半径比b大，则卫星c做匀速圆周运动的向心加速度小于b的，对a、c因角速度相等，根据a＝ω2r可知，c的向心加速度大于a的，则a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度最大的是b，选项B错误；对a、c因角速度相等，根据v＝ωr可知，c的速率大于a的速率，根据v＝GMr，可知b的速率大于c的速率，可知a、b、c做匀速圆周运动的速率最大的是b，选项C错误；对a、c因角速度相等，周期相等，对b、c，根据T＝2πr3GM，可知c的周期大于b，可知a、b、【规律总结】近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较项目近地卫星同步卫星地球赤道上物体图示项目近地卫星同步卫星地球赤道上物体向心力万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r同＞r物＝r近角速度ω近＞ω同＝ω物线速度v近＞v同＞v物向心加速度a近＞a同＞a物1.【不同轨道卫星运行参量的比较】（多选）（2023·海南高考9题）如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是（）A.飞船从1轨道变到2轨道要点火加速B.飞船在1轨道周期大于2轨道周期C.飞船在1轨道速度大于2轨道D.飞船在1轨道加速度大于2轨道解析：ACD飞船从较低的轨道1进入较高的轨道2要进行加速做离心运动才能完成，故A正确；由GMmr2＝mv2r＝m4π2T2r＝ma得a＝GMr2，v＝GMr，T＝2πr3GM，可知飞船在轨道1的周期小于在轨道2的周期，在轨道1的速度大于在轨道2的速度，在轨道2.【物资在地面和进入空间站后的比较】（2023·新课标卷17题）2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资（）A.质量比静止在地面上时小B.所受合力比静止在地面上时小C.所受地球引力比静止在地面上时大D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大解析：D质量是物体的一个基本属性，由物体本身决定，与其所处位置、状态均无关，A错误；物资所受地球引力的大小F＝Gm地mr2，物资静止在地面时到地心的距离为地球半径，物资与空间站对接后，到地心的距离大于地球半径，故其所受地球引力比静止在地面上时小，C错误；货运飞船天舟六号轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，由万有引力提供向心力可知Gm地mr2＝mrω2，化简得ω＝Gm地r3，故物资做圆周运动的角速度大于地球同步卫星的角速度，所以物资做圆周运动的角速度一定大于地球自转角速度，D正确；物资所受合力即为其做圆周运动所需的向心力考点三天体中的追及相遇问题[互动共研类]1.问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图乙时刻，地球和行星相距最远。2.解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数。角度关系相距最近ω1t－ω2t＝n·2π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时再次相遇相距最远ω1t－ω2t＝（2n－1）π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远圈数关系相距最近tT1－tT2＝n，（n＝1，2，相距最远tT1－tT2＝n－12，（n＝1，2【典例2】如图是在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是T1、T2（T1＜T2），且某时刻两卫星相距最近。求：（1）两卫星再次相距最近所用的时间；（2）两卫星相距最远所用的时间。答案：（1）T1T2T2－T1（2）（2k+1解析：（1）依题意，T1＜T2，周期大的轨道半径大，故在外层轨道的卫星运行一周所需的时间长。设经过Δt两卫星再次相距最近，则它们运行的角度之差Δθ＝2π，有2πT1Δt－2πT解得Δt＝T1（2）两卫星相距最远时，它们运行的角度之差Δθ＝（2k＋1）π（k＝0，1，2，…），即2πT1t－2πT2t＝（2k＋1）π（k＝0，解得t＝（2k+1）T1T22（T21.【相遇次数分析】如图所示，卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动，轨道平面相互垂直，乙的轨道半径是甲的349倍。将两卫星和地心在同一直线且甲、乙位于地球同侧的位置称为“相遇”，则从某次“相遇”后，甲绕地球运动15圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”（A.1次 B.2次C.3次 D.4次解析：D根据开普勒第三定律有r乙r甲3＝T乙T甲2，解得T乙＝7T甲，从图示时刻开始，乙转动半圈，甲转动3.5圈，“相遇”一次，此后乙每转动半圈，两个卫星就“相遇”一次，则甲运动15圈的时间内，甲、乙卫星将“2.【相遇时间间隔分析】（多选）如图所示，有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动，运动方向相反。A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则（引力常量为G）（）A.两卫星下一次相距最近需经过时间t＝TB.两颗卫星的轨道半径之比为3C.若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度D.若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度解析：AB两卫星运动方向相反，设经过时间t再次相遇，则有2πT1t＋2πT2t＝2π，解得t＝T1T2T1＋T2，A正确；根据万有引力提供向心力得GMmr2＝m4π2T2r，A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，所以两颗卫星的轨道半径之比为3T12T2考点一宇宙速度的理解和计算1.中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行。已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是（）A.若在火星上发射一颗绕火星运动的近火卫星，其速度至少需要7.9km/sB.“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/sC.火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶5D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度解析：C卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由GMmR2＝mv2R，可得v＝GMR，故v火∶v地＝1∶5，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近火卫星，其速度至少需要v火＝7.95km/s，故A错误，C正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2km/s，故B错误；g地＝GM地R地2，g火＝G2.火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功地发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步。已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，地球表面的重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为（）A.gT2πC.5gT5π解析：B由GMmR2＝mv2R，得到星球的第一宇宙速度v＝GMR，设地球的第一宇宙速度为v1，由g＝ωv1＝2πTv1，得v1＝gT2π，设火星的第一宇宙速度为v2，则v2v1＝M2M13.研究数据显示，地球赤道的自转速度为465m/s，地球上的第一宇宙速度为7.9km/s，木星赤道的自转速度为12.66km/s。如果地球的自转速度逐渐增大到木星的自转速度，其他量不变，那么在这个过程中，对原来静止在地球赤道上质量为m的物体，下列说法正确的是（）A.物体受到地球的万有引力增大B.物体对地面的压力保持不变C.物体对地面的压力逐渐减小直至为零D.物体会一直静止在地球的赤道上解析：C设地球的质量为M，半径为R，引力常量为G，在赤道上物体受到的万有引力为F＝GMmR2，所以只要物体在赤道上，所受的万有引力的大小就不变，A错误；根据牛顿第三定律，物体对地面的压力与地面对物体的支持力大小相等，方向相反，设赤道上的物体受到的支持力为FN（方向沿地球半径向上），设物体随地球自转做匀速圆周运动的线速度为v，根据牛顿第二定律有GMmR2－FN＝mv2R，解得FN＝GMmR2－mv2R，可知随地球自转线速度的增大，支持力逐渐减小，物体对地面的压力也逐渐减小，B错误；当地球自转速度大于等于第一宇宙速度时，支持力FN＝0，物体将变为地球的卫星考点二卫星运行参量的分析4.（2024·九省联考河南）若两颗人造卫星M、N绕地球做匀速圆周运动，M、N到地心的距离之比为k，忽略卫星之间的相互作用。在时间t内，卫星M与地心连线扫过的面积为SM，卫星N与地心连线扫过的面积为SN，则SM与SN的比值为（）A.1 B.kC.1k2解析：D根据GMmr2＝mv2r，可知v＝GMr，则卫星在时间t内与地心的连线扫过的面积为S＝12vtr＝12tGMr，则SM5.（多选）有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，（地球表面处重力加速度为g）则（）A.在相同时间内a转过的弧长最长B.b的向心加速度近似等于重力加速度gC.c在6h内转过的圆心角是πD.d的运动周期有可能是25h解析：BCD因为a在地球上，c为地球同步卫星，所以a、c角速度相同，由v＝ωr，可知c的线速度比a的线速度大，在相同时间的c转过的弧长一定比a大，故A错误；b为近地轨道卫星，根据牛顿第二定律可得GMmR2＝mg＝ma，解得a＝g，可知b的向心加速度近似等于地球表面重力加速度g，故B正确；c为地球同步卫星，24h内转过的角度为2π，则6h内转过的角度为π2，故C正确；由开普勒第三定律R3T2＝k，可知卫星的半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24h，则d6.（2023·浙江6月选考9题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则（）A.木卫一轨道半径为n16B.木卫二轨道半径为n2C.周期T与T0之比为nD.木星质量与地球质量之比为T02解析：D由题意可知木卫三的公转轨道半径为r3＝nr，对木卫一和木卫三，由开普勒第三定律得r13r33＝1242，解得r1＝nr232，A错误；对木卫二和木卫三，由开普勒第三定律得r23r33＝2242，解得r2＝nr34，B错误；根据题中条件不能求出T和T0的比值，C错误；对木卫三，由牛顿第二定律得Gm木m3（nr）2＝m34π2T2（考点三天体中的追及相遇问题7.A、B两颗卫星均在赤道平面内绕地球做匀速圆周运动，已知卫星A的周期为TA，某时刻两卫星相距最近，至少再经过时间t＝1716TA时，它们再一次相距最近。若卫星A、B的轨道半径分别为rA、rB，且rA＜rB，则rBrAA.6.0 B.6.3C.6.6 D.6.9解析：C某时刻两卫星相距最近，至少再经过时间t＝1716TA时，它们再一次相距最近，有tTA－tTB＝1，解得TBTA＝17，则r8.如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（）A.T02kC.T02k解析：C由开普勒第三定律得rA3TA2＝rB3TB2，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，tTB－tTA＝12，又由A9.自20世纪以来，随着人类天文观测技术的不断进步，地球自转中的各种变化相继被天文学家发现，经过长时间的观察和计算，天文科学家观察到地球自转速度存在长期减慢的趋势。5亿年前，地球每天的时间是0.37小时，5亿年以来，地球每天的时间越来越长，平均每年增加0.00015秒，现在，地球的一天的时间已经增加变化成了23小时56分。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比，下列说法中错误的是（）A.距地面的距离变小 B.向心加速度变小C.线速度变小 D.角速度变小解析：A设同步卫星的质量为m，轨道半径为r，地球的质量为M，同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得GMmr2＝m2πT2r，解得T＝2πr3GM，由题意知，现在同步卫星的周期T变大，则同步卫星的轨道半径r增大，同步卫星距地面的高度变大，A错误；同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得GMmr2＝ma向，解得a向＝GMr2，由于r变大，则向心加速度a减小，B正确；同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得GMmr2＝mv2r，解得v＝GMr，由于r变大，则线速度v变小，C正确10.（多选）如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星在一条直线上时开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1，金星转过的角度为θ2（θ1、θ2均为锐角），如图所示，则由此条件可求得（）A.水星和金星绕太阳运动的周期之比B.水星和金星的密度之比C.水星和金星到太阳的距离之比D.水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比解析：ACD设水星、金星的公转周期分别为T1、T2，则2πT1t＝θ1，2πT2t＝θ2，解得T1T2＝θ2θ1，选项A正确；因不知两行星的质量和半径，密度之比不能求，选项B错误；由开普勒第三