初一下册数学综合题教学案(二)

学生姓名：班主任：教师姓名：徐文平学生签字:日期：时间段：年级：初一（下）课时：教学内容：初一下册数学综合题教学案（二）教学目标：对初一的知识有很好的运用能力重点：用所学过的知识及思维方法去解决实际问题难点：用所学过的知识及思维方法去解决实际问题教学准备：课本、试题1、已知,且,则的值等于________.2、如图，在中，，点在线段上运动（D不与B、C重合），连接AD，作，交线段于．（1）当时，°,°；点D从B向C运动时，逐渐变（填“大”或“小”）；（本小题3分）（2）当等于多少时，≌，请说明理由；（本小题4分）（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数.若不可以,请说明理由。（本小题3分）ABCABC备用图40°D40°ABC40°E得分3.已知如图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：得分(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）在图2中，若∠D=400,∠B=360，试求∠P的度数；（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.（直接写出结论即可）4、(本题4分)已知为实数，，求的值。5、(本题6分)如图①，直线l过正方形ABCD的顶点B，A、C两顶点在直线l同侧，过点A、C分别作AE⊥直线l、CF⊥直线l．(1)试说明：EF＝AE＋CF；(2)如图②，当A、C两顶点在直线两侧时，其它条件不变，猜想EF、AE、CF满足什么数量关系(直接写出答案，不必说明理由)．图图①DAECBFl图②ABEFClD6．(本题9分)如图，△ABC和△ADC都是每边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．(1)在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；(2)在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由.AEBCDFAEBCDF(4)若点E、F在射线BA、射线AD上继续运动下去，(1)小题中的结论还成立吗?(直接写出结论，不必说明理由)7、、我校“心动数学”社团活动小组，在网格纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点第行列处，其中，，当k≥2时，，[]表示非负数的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第2009棵树种植点所在的行数是4，则所在的列数是 （）A、401B、402C8、如图（1），把边长为1的等边三角形每边三等分，经其向外长出一个边长为原来的三分之一的小等边三角形得到图（2），称为一次“生长”。在得到的多边形上类似“生长”，一共生长n次，得到的多边形周长是．第第18题图……（1）（2）（3）9、探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为A，DA⊥AB，垂足为B．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．图（5）C图（5）CABDE（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由。（3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．10、P点是ABC和外角ACE的角平分线的交点，;如图3，若P点是外角CBF和BCE的角平分线的交点.分别指出每个图中∠BPC和∠A的关系,并选择其中一个加以证明.11．(本题8分)如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．(1)过点A任意一条直线(不与BC相交)，并作BD⊥，CE⊥，垂足分别为D、E．度量BD、CE、DE，你发现它们之间有什么关系?试对这种关系说明理由；(2)过点A任意作一条直线(与BC相交)，并作BD⊥，CE⊥，垂足分别为D、E．度量BD、CE、DE，你发现经们之间有什么关系?试对这种关系说明理由．12、（8分）操作与探究如图，已知△ABC，（1）画出∠B、∠C的平分线，交于点O；（2）过点O画EF∥BC，交AB于点E，AC于点F；（3）写出可用图中字母表示的相等的角，并说明理由；（4）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠A，∠BOC的度数；又若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠A，∠BOC的度数；（5）根据（4）的解答，请你猜出∠BOC与∠A度数的大小关系这个结论对任意一个三角形都成立吗？为什么？13．(本题10分)AEB图1DCGFABDAEB图1DCGFABDCGFE图2（1）如图1，连结DF、BF，说明：DF＝BF；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条长度与线段DG的长始终相等的线段？并以图2为例说明理由。初一下册数学综合题教学案（二）答案1、因为3分之x=4分之y=5分之z，则令X=3a,Y=4a,Z=5a。因为4x-5y+2z=10，代入得出a=5,于是X=15,Y=20,Z=25。2X-5y+z=2*15-4*20+25=-452、解：（1）∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；

故答案为：25°；小．

（2）当△ABD≌△DCE时．DC=AB，∵AB=2，∴DC=2，∴当DC等于2时，△ABD≌△DCE；

（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；

②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=EQ\F(1,2)（180°-40°）=70°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，

∴∠BAD=100°-70°=30°；∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；

③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°-40°=60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；

∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．3、分析：（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；

（2）根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可；

（3）根据（1）的关系式求出∠OCB-∠OAD，再根据角平分线的定义求出∠DAM-∠PCM，然后利用“8字形”的关系式列式整理可得解；

（4）根据“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCB-∠OAD，再用∠D、∠P表示出∠DAM-∠PCM，根据角平分线的定义可得∠DAM-∠PCM=EQ\F(1,2)（∠OCB-∠OAD），然后整理即可得证．解答：解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，在△BOC中，∠BOC=180°-∠B-∠C，∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），

∴180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C，∴∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）交点有点M、O、N，以M为交点有1个，为△AMD与△CMP，

以O为交点有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，以N为交点有1个，为△ANP与△CNB，

所以，“8字形”图形共有6个；

（3）∵∠D=40°，∠B=36°，∴∠OAD+40°=∠OCB+36°，∴∠OCB-∠OAD=4°，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，

∴∠DAM=EQ\F(1,2)∠OAD，∠PCM=EQ\F(1,2)∠OCB，又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=EQ\F(1,2)（∠OAD-∠OCB）+∠D=EQ\F(1,2)×（-4°）+40°=38°；

（4）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，所以，∠OCB-∠OAD=∠D-∠B，∠PCM-∠DAM=∠D-∠P，

∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠DAM=EQ\F(1,2)∠OAD，∠PCM=EQ\F(1,2)∠OCB，∴EQ\F(1,2)（∠D-∠B）=∠D-∠P，整理得，2∠P=∠B+∠D4、略5、分析：（1）利用正方形的性质得到∠ABC=90°，AB=CB，由AE⊥直线l，CF⊥直线l，可得到∠AEB=∠CFB=90°，

再由∠CBF+∠ABE=90°和∠FCB+∠CBF=90°，利用同角的余角相等可证明∠ABE=∠BCF，这样可以证明△AEB≌△BFC，即可得出答案；

（2）先证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，即可以得出EF=AE-CF．解答：证明：（1）∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，∴∠AEB=∠CFB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=CB，

∴∠CBF+∠ABE=90°，∵∠FCB+∠CBF=90°，∴∠ABE=∠BCF，在△AEB和△BFC中，AB=BC，∠AEB=∠CFB，∠ABE=∠BCF，

∴△AEB≌△BFC，∴AE=BF，BE=CF，∴EF=AE+CF，

（2）易证，△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∴EF+BE=BF，即EF+CF=AE，整理得EF=AE-CF．6、分析：（1）由于BE=AF，BC=AC，且∠B、∠CAF都是60°，可证得△BCE≌△ACF，即可得∠BCE=∠ACF，因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，因此∠ECF的度数是定值，不会改变．

（2）由（1）的全等三角形知：△ACF、△BCE的面积相等，因此四边形AECF的面积可转化为△ABC的面积，因此当E、F分别在线段AB、AD上运动时，四边形AECF的面积不变．

（3）同（1）可证得△ACE≌△DCF，得∠ACE=∠FCD；连接EF，由（1）（3）的全等三角形，易知CE=CF，且∠ECF=60°，因此△ECF是等边三角形，那么∠EFC=60°，然后根据平角的定义以及三角形内角和定理，证得∠AFE=∠FCD，进而可求得∠ACE相等的角是：∠ACE=∠AFE=∠FCD．

（4）由于当E、F分别在BA、AD延长线上时，（1）的全等三角形依然成立，因此（1）的结论是成立的．解答：解：（1）∵E、F的速度相同，且同时运动，∴BE=AF，又∵BC=AC，∠B=∠CAF=60°，在△BCE和△ACF中，BE=AF∠B=∠CAF=60°BC=AC∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠BCE=∠ACF，因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，所以∠ECF=∠BCA=60°．（2分）

（2）答：没有变化．证明：由（1）知：△BCE、△ACF的面积相等；

故：S四边形AECF=S△AFC+S△AEC=S△AEC+S△BEC=S△ABC；（2分）

因此四边形AECF的面积没有变化．

（3）答：∠AFE=∠FCD=∠ACE；证明：由（1）可得：∠EAC=∠FDC=60°，AE=FD，AC=CD，∴△ACE≌△DCF，得∠ACE=∠FCD；

由（1）知：EC=FC，∠ECF=60°，∴△ECF是等边三角形，即∠EFC=60°；∴∠FCD+∠DFC=120°，又∵∠AFE+∠DFC=120°，

∴∠AFE=∠FCD=∠ACE．

（4）回答（1）中结论成立．由于当E、F分别在BA、AD的延长线上时，（1）的全等三角形仍然成立，故（1）的结论也成立．7、分析：解决本题应先求出一部分Pk的值，然后从中找出规律．解答：解：当k=1时，P1=（1，1）；

当2≤k≤5时，P2，P3，P4，P5的坐标分别为（2，1）、（3，1）、（4，1）、（5，1）；

当k=6时，P6=（1，2）；

当7≤k≤10时，P7，P8，P9，P10的坐标分别为（2，2）、（3，2）、（4，2）、（5，2）；

当k=11时，P11=（1，3）；

当12≤k≤15时，P12，P13，P14，P15的坐标分别为（2，3）、（3，3）、（4，3）、（5，3）…

通过以上数据可以得出：当k=1+5x时，Pk的坐标为（1，x+1），而后面四个点的纵坐标均为x+1，横坐标则分别为2，3，4，5．因为2009=1+5×401+3，所以P2009的横坐标为4，纵坐标为402．故本题选B．8、分析：此题注意结合图形计算几个具体数值，从而发现规律进行推广．解答：解：观察图形发现：第一个图形的周长是3，经过第一次生长的图形的周长是3+3×EQ\F(1,3)=3×EQ\F(4,3)．经过第二次生长的图形的周长是3×EQ\F(4,3)+3×4×EQ\F(1,3)×EQ\F(1,3)=3×(EQ\F(4,3))2．4n3n-1以此类推，则经过第n次生长的第n个图形的周长是3×(EQ\F(4,3))n=9、探究应用：

（1）说明：因为CB⊥AB，∴∠CBA=90°．∴∠1+∠2=90°．∵DA⊥AB，∴∠DAB=90°．∴∠ADB+∠1=90°．∴∠ADB=∠2．

在△ADB和△BEC中∠ADB=∠2AB=BC∠DAB=∠EBC=90°∴△DAB≌△EBC（ASA）．∴DA=BE．

（2）∵E是AB中点，∴AE=BE．∵AD=BE，∴AE=AD．在△ABC中，因为AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．∴∠BAC=∠DAC．在△ADC和△AEC中，AD=AE∠DAC=∠EACAC=AC∴△ADC≌△AEC（SAS）．∴DC=CE．∴C在线段DE的垂直平分线上．∵AD=AE，∴A在线段DE的垂直平分线上．∴AC垂直平分DE．

（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，∴CD=CE．∵△ADB≌△BEC，∴DB=CE．∴CD=BD．∴∠DBC=∠DCB．10、解：（1）对于图1：∠P=90°+EQ\F(1,2)∠A；对于图2：∠P=EQ\F(1,2)∠A；对于图3：∠P=90°-EQ\F(1,2)∠A；

（2）证明：如图2，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴∠PBC=EQ\F(1,2)∠ABC，∠ACP=EQ\F(1,2)∠ACE．又∵∠ACE是△ABC的外角，

∴∠ACE=∠A+∠ABC．∵∠P=180°-∠PBC-∠BCP，∴∠P=180°-EQ\F(1,2)∠ABC-∠ACB-∠ACP=180°-EQ\F(1,2)∠ABC-∠ACB-EQ\F(1,2)∠ACE

=180°-EQ\F(1,2)(∠ABC+∠A+∠ABC)-∠ACB=180°-∠ABC-EQ\F(1,2)∠A-∠ACB=180°-（∠ABC+∠ACB）-EQ\F(1,2)∠A=180°-（180°-∠A）-EQ\F(1,2)∠A=∠A---EQ\F(1,2)∠A=EQ\F(1,2)∠A．11、解：（1）BD+CE=DE；∵Rt△ABC中，AB=AC，∴∠DAB+∠EAC=90°又∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，且AB=AC，∴△ADB≌△CEA

∴DB=AE，DA=CE，∵DE=AD+AE，∴DB+CE=DE；

（2）如图①，DE=BD-CE；

同理可证△BDA≌△AEC，则BD=AE，AD=CE，∵AD+DE=AE，∴BD=AE=DE+AD=DE+CE，

即BD-CE=DE．如图②，DE=CE-BD12、分析：（1）-（3）根据题意画出图形，再根据角平分线和平行线的性质找出相等的角；（4）根据平行线性质、三角形内角和定理可以求得∠A，∠BOC的度数．（5）由第四问可知∠BOC=90°+EQ\F(1,2