2023-2024学年江苏省扬州市各名校高二数学下期中易错题强化训练（含答案）

2023-2024学年江苏省扬州市各名校高二数学下期中易错题强化训练一．选择题（共5小题）1．（2023春•高邮市期中）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若直线l与平面α垂直，则实数x的值为（）A． B．﹣10 C． D．102．（2023春•高邮市期中）（x﹣3y）（x+y）5的展开式中x4y2的系数是（）A．﹣5 B．5 C．15 D．253．（2023春•高邮市期中）甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（）A．240 B．192 C．96 D．484．（2023春•泰安期末）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣mx在区间[2，4]上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（）A．[4e4，+∞） B．（2e2，4e4） C．[2e2，+∞） D．（2e2，+∞）

5．（2024•宁波二模）如图，已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆x2+y2＝c2上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线C2交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为k1、k2，若椭圆C1的离心率为，则k1•k2的值为（）A．2 B． C． D．4二．多选题（共4小题）（多选）6．（2022•杭州模拟）一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用A1，A2表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出红球”；分别用B，C表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”．则下列结论正确的是（）A． B． C． D．（多选）7．（2023春•高邮市期中）已知图1中，正方形EFGH的边长为，A、B、C、D是各边的中点，分别沿着AB、BC、CD、DA把△ABF、△BCG、△CDH、ΔDAE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则（）A．平面AEF⊥平面CGH B．直线AF与直线CG所成的角为60° C．直线CG与平面AEF所成角的正切值为 D．多面体ABCD﹣EFGH的体积为（多选）8．（2023春•广陵区校级期中）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的射影分别为A1，B1，∠A1AB的平分线与l相交于点P，O为坐标原点，则（）A．AF⊥PF B．三点A、O、B1共线 C．原点O可能是△PAB的重心 D．△OBF可能是正三角形（多选）9．（2023秋•滕州市期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P满足，其中λ∈（0，1），μ∈R，且μ≠0，则（）A．对于任意的λ∈（0，1），μ∈R且μ≠0，都有平面ACP⊥平面A1B1D B．当λ+μ＝1时，三棱锥B﹣A1PD的体积为定值 C．当时，存在点P，使得∠A1PB＞90° D．当时，不存在点P，使得AP⊥平面PCD三．填空题（共4小题）10．（2023春•高邮市期中）已知（m＞1），则的值为．（结果用数字作答）

11．（2023春•高邮市期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是线段DD1的中点，点M是正方形B1BCC1所在平面内一动点，若D1M∥平面A1BE，则M点轨迹在正方形B1BCC1内的长度为．12．（2023春•广陵区校级期中）已知直线ax+by+c＝0中的a，b，c是取自集合{﹣2，﹣1，0，1，2}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是．13．（2023春•广陵区校级期中）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，，AB＝2BC＝2，二面角P﹣AB﹣C的大小为．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，球O的体积为．

四．解答题（共5小题）14．（2023春•高邮市期中）如图，在四面体ABCD中，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝45°，，AB＝AC＝3．（1）求的值；（2）已知F是线段CD中点，点E满足，求线段EF的长．15．（2023春•高邮市期中）甲、乙两位同学参加学校组织的数学文化知识答题游戏，规则如下：甲同学先回答2道题，至少答对一道题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次答题机会．两位同学每答对一道题可获得5积分，答错不得分，甲同学每道题答对的概率均为，乙同学每道题答对的概率均为，每道题答对与否互不影响．（1）求乙同学有机会答题的概率；（2）记X为甲和乙同学一共拿到的积分，求X的分布列和数学期望．

16．（2023秋•杭州期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）若点F为棱B1C1的中点，求点F到平面BDE的距离；（3）若点F为线段B1C1上的动点（不包括端点），求锐二面角F﹣BD﹣E的余弦值的取值范围．17．（2023春•广陵区校级期中）如图，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F到上顶点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E，记△ABF，△DEF的面积分别是S1，S2，求的取值范围．18．（2023春•广陵区校级期中）已知函数f（x）＝ax和g（x）＝ex+1+x+b，a，b∈R．（1）若直线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在（﹣1，g（﹣1））处相切，求实数a，b的值；（2）若不等式f（x）≤g（x）恒成立，求的最小值．

参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【解答】解：由题意得，则（x，﹣1，2）＝λ（1，2，﹣4），即x＝λ，﹣1＝2λ，2＝﹣4λ，解得．故选：A．2．【解答】解：多项式的展开式中含x4y2的项为x﹣3y＝（10﹣15）x4y2＝﹣5x4y2，所以x4y2的系数为﹣5．故选：A．3．【解答】解：先将甲乙捆绑在一起，然后和余下除丙以外的4人排成一排，最后再将丙插在正中间，同时减去甲、乙在丙两侧的情况，故不同的坐法的种数为﹣＝240﹣48＝192．【另解】丙在正中间（4号位），甲乙两人只能坐12，23，56，67号位，有4种情况，考虑甲乙的顺序有种情况，剩下的4个位置其他四人全排列有种情况，故不同的坐法的种数为4＝192．故选：B．4．【解答】解：因为f（x）＝（x﹣1）ex﹣mx，所以f'（x）＝xex﹣m，因为f（x）在区间[2，4]上存在单调递减区间，所以存在x∈[2，4]，使得f′（x）＜0，即m＞xex，令g（x）＝xex，x∈[2，4]，则g'（x）＝（x+1）ex＞0恒成立，所以g（x）＝xex在[2，4]上单调递增，所以，所以m＞2e2，即实数m的取值范围为（2e2，+∞）．故选：D．5．【解答】解：由题意设椭圆标准方程为，（a＞b＞0），双曲线标准方程为，则a2﹣b2＝s2+t2＝c2，由＝，∴4a2＝5c2，∵c2＝a2﹣b2，∴b2＝a2，故椭圆方程为x2+5y2＝a2，联立x2+y2＝c2，可得：4y2＝a2﹣c2＝b2，∴y＝±b，x2＝c2﹣b2＝b2，则A（b，b），由对称性可知A、C两点关于原点对称，A、B两点关于x轴对称，则B（b，﹣b），C（﹣b，﹣b），∴P（b，0），故kCP＝＝，直线CP：y＝（x﹣b）．将A点代入中得，﹣＝1．①s2+t2＝a2﹣b2＝4b2，②②①结合得到s2＝3b2或5b2，∵a2＝5b2，显然s＜a，故s2＝3b2，∴t2＝4b2﹣3b2＝b2故双曲线的方程为﹣＝1．联立CP：y＝（x﹣b）与﹣＝1，化为76x2+4bx﹣255b2＝0，设Q（x0，y0），解得x0＝b，y0＝﹣b，∴Q（b，﹣b），∴k1＝kAC＝，k2＝kAQ＝，∴k1k2＝．故选：B．二．多选题（共4小题）6．【解答】解：由题意得，P（A1）＝，P（A2）＝，A选项，P（A2B）＝＝，P（B|A2）＝，A正确；B选项，P（A1C）＝＝，P（C|A1）＝，B正确；C选项，P（B|A1）＝，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝＝，C错误；D选项，P（A2C）＝，D正确．故选：ABD．7．【解答】解：取CD、AB的中点O、M，连接OH、OM，如图，∵A、B、C、D是正方形EFGH各边的中点，则CH＝DH，O为CD的中点，∴OH⊥CD．∵平面CDH⊥平面ABCD，平面CDH∩平面ABCD＝CD，OH⊂平面CDH，∴OH⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，∵O、M分别为CD、AB的中点，则OC∥BM且OC＝BM，且∠OCB＝90°，所以四边形OCBM为矩形，所以OM⊥CD，以点O为坐标原点，OM、OC、OH所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），E（1，﹣1，1），F（2，0，1），G（1，1，1），H（0，0，1）．选项A，设平面AEF的一个法向量为，由，取z1＝1，则x1＝1，y1＝﹣1，则．设平面CGH的一个法向量为，由，取z2＝1，可得x2＝1，y2＝﹣1则，，所以平面AEF与平面CGH不垂直，故A错误；选项B，，所以直线AF与CG所成的角为60°，故B正确；选项D，以ABCD为底面，以|OH|为高将几何体ABCD﹣EFGH补成长方体ABCD﹣A1B1C1D1，则E、F、G、H分别为A1D1，A1B1，B1C1，C1D1的中点，因为AB＝1，OH＝，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V＝12×＝，＝＝，因此，多面体ABCD﹣EFGH的体积为＝，故D错误；选项C，，设直线CG与平面AEF所成角为θ，则，所以，故C正确．故选：BC．8．【解答】解：如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，又AP平分∠A1AB，∴△AFP≌△AA1P，∴∠AFP＝∠AA1P＝90°，即AF⊥PF，A正确；设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为，代入C的方程得y2﹣2pmy﹣p2＝0，∴y1+y2＝2pm，，点，直线OA斜率，直线OB1的斜率，∴A、O、B1三点共线，B正确；若原点O是△PAB的重心，而点P的横坐标为，则，即，又，又p＞0，∴，C错误；∵，∴△OBF不可能是正三角形，D错误．故选：AB．9．【解答】解：对于A选项，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0）、C（a，a，0）、D（0，a，0）、A1（0，0，a）、B1（a，0，a），设平面A1B1D的法向量为，则，取y1＝1，可得＝（0，1，1），因为，，设平面ACP的法向量为，则，取x2＝1，可得＝（1，﹣1，1），因为，即，对于任意的λ∈（0，1），μ∈R且μ≠0，都有平面ACP⊥平面A1B1D，A对；对于B选项，当λ+μ＝1时，点P（λa，a，μa），设平面A1BD的法向量为，则，取x3＝1，可得，且，所以，点P到平面A1BD的距离为，又因为△A1BD的面积为定值，故三棱锥P﹣A1BD的体积为定值，B对；对于D选项，当时，，假设存在点P，使得AP⊥平面PCD，因为DC⊂平面PCD，则AP⊥DC，，则，可得λ＝0，与题设条件不符，假设不成立，故当时，不存在点P，使得AP⊥平面PCD，D正确；对于C选项，当时，则，则，，故∠A1PB为锐角，C错误．故选：ABD．三．填空题（共4小题）10．【解答】解：（m＞1），则m+2m﹣1＝5，解得m＝2，则＝＝＝＝＝126．故答案为：126．11．【解答】解：根据题意，取BB1的中点P，连接CP、PD1和CD1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易得BA1∥CD1，则CD1∥平面A1BE，P为BB1的中点，E为线段DD1的中点，易得CP∥A1E，则CP∥平面A1BE，而CP∩CD1＝C，则平面PCD1∥平面A1BE，若D1M∥平面A1BE，则M∈平面PCD1，又由M∈平面B1BCC1，则M的轨迹为线段PC，又由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则CP＝＝，即M点轨迹在正方形B1BCC1内的长度为．故答案为：．12．【解答】解：设倾斜角为θ，则tanθ＝﹣＞0．ab＜0．集合{﹣2，﹣1，0，1，2}中元素是相反数．（1）c＝0，a有两种取法，b有两种取法，排除1个重复（2x﹣2y＝0与x﹣y＝0为同一直线），故这样的直线有2×2﹣1＝3条；（2）c≠0，则a＝1，b＝﹣2与a＝2，b＝﹣1以及a＝﹣1，b＝2，或a＝﹣2，b＝1时，c有2种取法，满足题目要求的直线有4×2＝8条．a＝1，b＝﹣1与a＝2，b＝﹣2以及a＝﹣1，b＝1，或a＝﹣2，b＝2时，c有两种取法，但是化简后与上面的直线相同，从而，符合要求的直线有3+8＝11条．故答案为：11．13．【解答】解：设点P在平面ABC内的射影为H，连接AH，考虑到二面角P﹣AB﹣C的大小为，则点H与点C在直线AB的两侧，因为PH⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PH⊥AB，又PA⊥AB，PA∩PH＝P，PA，PH⊂平面PAH，所以AB⊥平面PAH，AH⊂平面PAH，所以∠PAH为二面角P﹣AB﹣C的平面角的补角，所以，又，所以PH＝AH＝2，从而三棱锥P﹣ABC的高为2．又△ABC的面积．所以当AB⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值为1，所以当AB⊥BC时，三棱锥P﹣ABC的体积最大，因此点C和点P在图中两全等长方体构成的大长方体的体对角线的顶点上，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，因为球O的球心O与△ABC的外接圆的圆心的连线垂直平面ABC，△ABC为AC为斜边的直角三角形，所以其外接圆的圆心为AC的中点，所以球O的球心O在底面ABC内的射影为线段AC的中点，于是设．又A（0，0，0），P（﹣2，0，2），由|OA|＝|OP|，得，解得z＝，则球O的半径R＝，所以球O的体积．故答案为：5π．四．解答题（共5小题）14．【解答】解：（1）在四面体ABCD中，解：（1）设＝，＝＝，则||＝||＝3，||＝，＜，＞＝∠BAC＝60°，＜，＞＝∠BAD＝45°，＜，＞＝∠CAD＝45°，＝（﹣）•（﹣）＝（﹣）•（﹣）＝•﹣•﹣•+＝||•||cos45°﹣||•||cos60°﹣||•||cos45°+||2＝3×﹣32×﹣3×+32＝；（2）由（1）知，因为＝2，则＝＝，因为F是CD中点，则＝＝（﹣＝﹣，如图，于是＝++＝﹣++﹣＝﹣++，因||2＝（﹣++）2＝++﹣•﹣•+•＝×9+×9+×2﹣×9×cos60°﹣×3×ccos45°+×3×ccos45°＝，即有||＝，所以线段EF的长为．15．【解答】解：（1）乙同学有机会答题的概率为．（2）X的所有可能取值为0，5，10，15，20，，，，，，所以X的分布列为：X05101520P．16．【解答】证明：（1）法一：连结AC1，∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，又C1D⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴C1D⊥BD∵AC∩C1D＝D，AC，C1D⊂平面AA1C1C∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C，∴BD⊥A1C，由题设知四边形AA1C1C为菱形，∴A1C⊥AC1，∵D，E分别为AC，CC1中点，∴DE∥AC1，∴A1C⊥DE，∵BD∩DE＝D，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，∴A1C⊥平面BDE．法二：由C1D⊥平面ABC，BD，AC⊂平面ABC，∴C1D⊥BD，C1D⊥AC，又△ABC为等边三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，则以D为坐标原点，所在直线为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，∴，，∵，∴BD⊥A1C，DE⊥A1C又∵BD∩DE＝D，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，∴A1C⊥平面BDE．解：（2）由（1）坐标法得，平面BDE的一个法向量为，∵∴点到F到平面BDE的距离d＝＝＝．解：（3）∵，设，则，∴，∴，∴；由（1）知A1C⊥平面BDE，∴平面BDE的一个法向量设平面FBD的法向量，则•＝0，•＝0，即，令，则a＝0，c＝﹣λ，∴，∴|cos＜＞|＝＝＝＝•，令3﹣λ＝t∈（2，3），则λ＝3﹣t，∴|cos＜＞|＝•＝•＝•，∵，∴，∴|cos＜＞|∈（，），即锐二面角F﹣BD﹣E的余弦值的取值范围为．17．【