2024年新高考数学押题密卷（二）

2024年新高考数学押题密卷（二）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，.则（

）A． B． C． D．2．用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（

）A．11 B．13 C．63 D．783．在中，，，且，则（

）A． B． C． D．4．已知函数是的导数，则以下结论中正确的是（

）A．函数是奇函数B．函数与的值域相同C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间上单调递增5．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．6．已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（

）A．16 B．24 C．32 D．487．已知数列的各项均为正数，记，，，，设甲：是公比为的等比数列；乙：对任意，，，三个数是公比为的等比数列，则（

）A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件8．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（

）A．的准线为B．的最小值为C．以为直径的圆与轴相切D．若且，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若是非零复数，且，则 D．若是非零复数，则10．已知函数，下列结论正确的是（

）A．若函数无极值点，则没有零点B．若函数无零点，则没有极值点C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点11．正三棱柱中，，点满足，其中，，则（

）A．当，时，与平面所成角为B．当时，有且仅有一个点，使得C．当，时，平面平面D．若，则点的轨迹长度为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知空间中三点，则点A到直线的距离为．13．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则．14．已知偶函数的图象关于直线对称，，且对任意，均有成立，若对任意恒成立，则的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，，点为棱上一点，且.(1)若平面，求实数的值；(2)若平面，求直线和平面所成角的正弦值.16．（15分）小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．17．（15分）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，证明：.18．（17分）已知函数．(1)讨论的单调性．(2)已知是函数的两个零点．（ⅰ）求实数的取值范围．（ⅱ）是的导函数．证明：．19．（17分）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.2024年新高考数学押题密卷（二）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，.则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，则，又，所以.故选：B2．用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（

）A．11 B．13 C．63 D．78【答案】D【解析】依题意，因为，所以，因为线性回归方程为一定过点，所以，所以.故选：D.3．在中，，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，即，所以，即，所以.故选：B4．已知函数是的导数，则以下结论中正确的是（

）A．函数是奇函数B．函数与的值域相同C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间上单调递增【答案】D【解析】由题意，，对A,为偶函数，故A错误；对B，易知的值域为，的值域为，故B错误；对C,,故C错误；对D,,单调递减，故在区间上单调递增，故D正确.故选：D.5．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图一：所得的多面体为正八面体，这正八面体的球心如图二中点，设外接球半径为，正八面体的棱长为，在中，，，，所以，所以.故选：D.6．已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（

）A．16 B．24 C．32 D．48【答案】B【解析】若和在上单调递增，在上单调递减，则有个；若和在上单调递增，在上单调递减，则有个；若和在上单调递增，在上单调递减，则有个；若、和在上单调递增，则有个；综上所述：共有个.故选：B.7．已知数列的各项均为正数，记，，，，设甲：是公比为的等比数列；乙：对任意，，，三个数是公比为的等比数列，则（

）A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件【答案】C【解析】充分性：若是公比为的等比数列，则，，即，故，，三个数是公比为的等比数列，则充分性成立；必要性：若对任意，，，三个数是公比为的等比数列，当时，，，，则为公比是的等比数列.当时，有，即，又，则，即，则是公比为的等比数列，必要性成立.故选：C.8．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（

）A．的准线为B．的最小值为C．以为直径的圆与轴相切D．若且，则【答案】B【解析】对于选项A，由抛物线的焦点可得，所以，即的准线为，故A错误；对于B，如下图所示：设直线的方程为，；联立直线与抛物线方程可得，可得；由抛物线定义可得；所以，当且仅当，即时，等号成立；即B正确；对于C，以为直径的圆的圆心为,此时圆心到轴的距离为，而，所以以为直径的圆与轴相交，即C错误；对于D，易知，由可知点在的垂直平分线上，所以；由即可得，如下图所示：，所以，同理可得，可得，所以，即D错误；故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若是非零复数，且，则 D．若是非零复数，则【答案】BC【解析】对于A项，若，，显然满足，但，故A项错误；对于B项，设，则，，故而，故B项正确；对于C项，由可得：，因是非零复数，故，即，故C项正确；对于D项，当时，是非零复数，但，故D项错误.故选：BC.10．已知函数，下列结论正确的是（

）A．若函数无极值点，则没有零点B．若函数无零点，则没有极值点C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点【答案】AD【解析】，设若函数无极值点则，则，此时，即，所以，没有零点，如图①；若函数无零点，则有，此时，当时，先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；若函数恰有一个零点，则，此时，先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；若函数有两个零点，则，此时，先正再负再正，函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；所以AD正确.故选：AD.11．正三棱柱中，，点满足，其中，，则（

）A．当，时，与平面所成角为B．当时，有且仅有一个点，使得C．当，时，平面平面D．若，则点的轨迹长度为【答案】ACD【解析】当，时，与重合，由已知得，平面，所以就是与平面所成的角，因为，所以，所以，即与平面所成角为，A正确；当时，取线段中点分别为，连接，因为，即，所以，则点在线段上，设，则，则，，，若，则，则，则，所以或，则点与、重合时，，即当时，存在两个点使得，故B错；当，时，，则，所以是中点，取中点，中点，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，所以，，，，设平面和平面的一法向量分别为，则，，解得，，令，，可得，，因为，所以，即平面平面，C正确；若，因为，，，所以点在侧面上，又平面，，所以点的轨迹是以Q为圆心，半径为的半圆，轨迹长度为，故D准确.故选：ACD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知空间中三点，则点A到直线的距离为．【答案】【解析】，,，，设点A到直线的距离为，则.故答案为：.13．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则．【答案】【解析】在中，由及正弦定理得：，而，则，整理得，即，又，因此，而，所以.故答案为：14．已知偶函数的图象关于直线对称，，且对任意，均有成立，若对任意恒成立，则的最小值为.【答案】5【解析】因为函数的图象关于直线和对称，所以，所以其周期，中，令得，，又，解得，同理可得，所以，，，解得，依次类推，可得当时，，所以，又对任意恒成立，故.故答案为：5.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，，点为棱上一点，且.(1)若平面，求实数的值；(2)若平面，求直线和平面所成角的正弦值.【解析】（1）因为底面，平面，所以BC，AB，又因为，所以两两垂直，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，因为，，，，，所以，设，故，解得：，故，，设平面的法向量为，则，令，解得：，故，由题意得：，即，解得：；（2）设平面的法向量为，则，令，则，，故，由于平面，所以，设，即，解得：，故，由（1）得：平面的法向量为，设直线和平面所成角的正弦值为，故，直线和平面所成角的正弦值为.16．（15分）小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．【解析】（1）记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件；射击一次获得一等奖为事件；射击一次获得一等奖为事件，所以有，所以，，所以.（2）获得三等奖的次数为，的可能取值为，，，，；记“获得三等奖”为事件，所以，所以，，，，，所以显然，.17．（15分）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，证明：.【解析】（1）由题意可知，当时，；当时，由得，，两式作差可得，，也适合该式，故；（2）证明：由题意知，故，由于，则，故，即.18．（17分）已知函数．(1)讨论的单调性．(2)已知是函数的两个零点．（ⅰ）求实数的取值范围．（ⅱ）是的导函数．证明：．【解析】（1）．①当时，在上单调递增．②当时，令得，即在上单调递增；同理，令得，即在上单调递减．（2）（ⅰ）由（1）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点．当时，在上单调递增，在上单调递减，若使有两个零