2024年新高考数学押题密卷（一）

2024年新高考数学押题密卷（一）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．2．已知两条不同的直线，表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A． B．与平行或相交C． D．3．已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，将剩下的数据与原数据相比，则（

）A．极差不变 B．平均数不变 C．方差不变 D．上四分位数不变4．设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离为，则实数（

）A．2 B．4 C．26 D．415．在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．108186．已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，P为C上一点，以为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点O的M，N两点.若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．8．定义，对于任意实数，则的值是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设，是关于的方程的两根，其中，.若为虚数单位，则（

）A． B． C． D．10．已知函数（），则下列说法正确的是（

）A．若，则是的图像的对称中心B．若恒成立，则的最小值为2C．若在上单调递增，则D．若在上恰有2个零点，则11．设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（

）A．都是的周期 B．曲线关于点对称C．曲线关于直线对称 D．都是偶函数第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在的展开式中，的系数为.13．向量满足，，，则的最大值为.14．球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为，体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已如曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，面，点是的中点．(1)证明：；(2)设的中点为，点在棱上（异于点），且，求直线与平面所成角的余弦值．17．（15分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额的统计表（金额（万元））.月份1月2月3月4月5月月份编号12345金额（万元）712131924(1)根据统计表，①求该公司带货金额的平均值；②求该公司带货金额与月份编号的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系（，则认为与的线性相关性较强；，则认为与的线性相关性较弱）；(2)该公司现有一个直播间销售甲、乙两种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两种产品中分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到甲产品的件数为，试求的分布列与期望.附：相关系数公式，参考数据：，，，.18．（17分）已知椭圆离心率为，椭圆上的点到焦点的最远距离是.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆上有四个动点，，，，且与相交于点.①若点的坐标为，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，求的斜率;②若直线与的斜率均为时，求直线的斜率.19．（17分）数列满足：是等比数列，，且．(1)求；(2)求集合中所有元素的和；(3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．2024年新高考数学押题密卷（一）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由韦恩图可知，阴影部分表示，，所以.故选：C.2．已知两条不同的直线，表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A． B．与平行或相交C． D．【答案】B【解析】对于A，若，则或异面，故A错误；对于B，若，则平行或相交，故B正确；对于C，若，则，所以，故C错误；对于D，若，则或相交，可参考直三棱柱的三个侧面，故D错误；故选：B.3．已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，将剩下的数据与原数据相比，则（

）A．极差不变 B．平均数不变 C．方差不变 D．上四分位数不变【答案】D【解析】在这组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45中去掉12和45后，得到16，22，24，25，31，33，35，显然极差由变成了，故A项错误；原平均数为，现平均数为，故B项错误；原方差为，现方差为，显然方差不同，故C项错误；对于D项，由，知原数据的上四分位数是第三个数据22，又由，知现数据的上四分位数是第二个数据22，即D项正确.故选：D.4．设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离为，则实数（

）A．2 B．4 C．26 D．41【答案】C【解析】因为圆的圆心为，半径，因为圆上恰有三点到直线的距离为，所以圆心到直线的距离，解得或，又直线不过第三象限，则，解得，所以.故选：C5．在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【答案】C【解析】设矩形场地的长为米，则宽为米，，当且仅当，即时，等号成立.所以平整这块场地所需的最少费用为元.故选：C6．已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，则，要使满足条件的三角形不唯一，则，即.故选：A.7．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，P为C上一点，以为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点O的M，N两点.若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，有，即，由题意可得、，渐近线方程为，故，又，故，则，即，解得或，则或，由，故，，即，则.故选：B.8．定义，对于任意实数，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，得，设，则，令，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，即，得，所以，得，即.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设，是关于的方程的两根，其中，.若为虚数单位，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因为，是关于的方程的两根，其中，且，所以，所以，所以，，所以，则，故A错误，B正确，C正确；，故D正确.故选：BCD10．已知函数（），则下列说法正确的是（

）A．若，则是的图像的对称中心B．若恒成立，则的最小值为2C．若在上单调递增，则D．若在上恰有2个零点，则【答案】ABC【解析】选项A：若，则，由正弦函数的图象可知是的图像的对称中心，A说法正确；选项B：若恒成立，则，解得，又，所以的最小值为2，B说法正确；选项C：令，显然在上单调递增，且，若在上单调递增，则，解得，所以，C说法正确；选项D：当时，，若在上恰有2个零点，则，解得，D说法错误；故选：ABC11．设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（

）A．都是的周期 B．曲线关于点对称C．曲线关于直线对称 D．都是偶函数【答案】BC【解析】由是奇函数，故有，即有，故，则，即，故关于对称，由，则，即，故关于中心对称，由，则，又，故，即有，则，故，即，故，故周期为.对A：当时，，故A错误；对B：由周期为，故，又，故，故，故曲线关于点对称，故B正确；对C：由周期为，故，又，故，故曲线关于直线对称，故C正确；对D：由B得，故，又周期为，故有，故，又，即都是奇函数，故D错误.故选：BC.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在的展开式中，的系数为.【答案】【解析】因为的展开通项公式为，的展开通项公式为，所以取，得的系数为.故答案为：.13．向量满足，，，则的最大值为.【答案】【解析】因为，，所以，则，则，所以，又因为，所以，则可设，则，又因为，所以，故又可设的坐标为，所以，因此，所以最大值为.故答案为：.14．球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为，体积为.

【答案】【解析】因为，所以，设圆的半径为，又，解得（负值舍去），过点作交于点，过点作交于点，则，，所以，同理可得，，将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中球缺的高，圆锥的高，底面半径，则其中一个球冠的表面积，球的表面积，圆锥的侧面积，所以几何体的表面积，又其中一个球缺的体积，圆锥的体积，球的体积，所以几何体的体积.故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已如曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由于的斜率为，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范围为16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，面，点是的中点．(1)证明：；(2)设的中点为，点在棱上（异于点），且，求直线与平面所成角的余弦值．【解析】（1）因为，点为中点，则因为面，面，所以面面，又底面为矩形，则，因为面面，面，所以面，所以，因为，面，所以面，又面，所以；（2）由已知得两两垂直，设，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，得又，设，即，所以，又，所以，解得或（舍去），所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的余弦值为.17．（15分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额的统计表（金额（万元））.月份1月2月3月4月5月月份编号12345金额（万元）712131924(1)根据统计表，①求该公司带货金额的平均值；②求该公司带货金额与月份编号的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系（，则认为与的线性相关性较强；，则认为与的线性相关性较弱）；(2)该公司现有一个直播间销售甲、乙两种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两种产品中分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到甲产品的件数为，试求的分布列与期望.附：相关系数公式，参考数据：，，，.【解析】（1）①由统计表数据可得：，②由于，，，所以相关系数，因此，两个变量具有很强的线性相关性.（2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，因为，，，，所以的分布列为：0123所以.18．（17分）已知椭圆离心率为，椭圆上的点到焦点的最远距离是.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆上有四