江苏省常州市2025届高一数学第二学期期末调研试题含解析

江苏省常州市2025届高一数学第二学期期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知点，则P在平面直角坐标系中位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A． B．或 C．或 D．3．设，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．设满足约束条件则的最大值为（）.A．10 B．8 C．3 D．25．已知数列满足，，则数列的前5项和（）A．15 B．28 C．45 D．666．在中，若°，°，．则=A． B． C． D．7．已知函数，其图像相邻的两个对称中心之间的距离为，且有一条对称轴为直线，则下列判断正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称C．函数在区间上单调递增D．函数的图像关于点对称8．已知向量满足.为坐标原点，.曲线，区域.若是两段分离的曲线，则()A． B． C． D．9．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知函数f：R+→R+满足：对任意三个正数x，y，z，均有f（）.设a，b，c是互不相等的三个正数，则下列结论正确的是（）A．若a，b，c是等差数列，则f（a），f（b），f（c）一定是等差数列B．若a，b，c是等差数列，则f（），f（），f（）一定是等差数列C．若a，b，c是等比数列，则f（a），f（b），f（c）一定是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则f（），f（），f（）一定是等比数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知点，点，则________．12．若则的最小值是__________．13．已知满足约束条件，则的最大值为__________．14．已知，，若，则______．15．在中，.以为圆心，2为半径作圆，线段为该圆的一条直径，则的最小值为_________.16．中，，，，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知.（1）若三点共线，求的关系；（2）若,求点的坐标.18．已知向量,满足,,.(1)求向量,所成的角的大小;(2)若,求实数的值.19．锐角的内角、、所对的边分别为、、，若.（1）求；（2）若，，求的周长.20．已知直线l经过点.（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若，两点到直线的距离相等，求直线的方程.21．请解决下列问题：（1）已知，求的值；（2）计算.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

利用特殊角的三角函数值的符号得到点的坐标，直接判断点所在象限即可．【详解】，．在平面直角坐标系中位于第二象限．故选B．【点睛】本题考查了三角函数值的符号，考查了三角函数的诱导公式的应用，是基础题．2、D【解析】

作出几何体的直观图，可知几何体为正方体切一角所得的组合体，计算出正方体的体积和所切去三棱锥的体积，相减可得答案．【详解】几何体的直观图如下图所示：可知几何体为正方体切一角所得的组合体，因此，该几何体的体积为.故选：D.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图作出几何体的直观图是解答的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.3、B【解析】

由同向不等式的可加性求解即可.【详解】解：因为，所以，又，，所以，故选：B.【点睛】本题考查了不等式的性质，属基础题.4、B【解析】

作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.【详解】作出可行域如图：化目标函数为，联立，解得.由图象可知，当直线过点A时，直线在y轴上截距最小，有最大值.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.5、C【解析】

根据可知数列为等差数列,再根据等差数列的求和性质求解即可.【详解】因为,故数列是以4为公差,首项的等差数列.故.故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的判定与等差数列求和的性质与计算,属于基础题.6、A【解析】∵在△ABC中,A=45∘,B=60∘，a=2，∴由正弦定理得：.本题选择A选项.7、C【解析】

本题首先可根据相邻的两个对称中心之间的距离为来确定的值，然后根据直线是对称轴以及即可确定的值，解出函数的解析式之后，通过三角函数的性质求出最小正周期、对称轴、单调递增区间以及对称中心，即可得出结果．【详解】图像相邻的两个对称中心之间的距离为，即函数的周期为，由得，所以，又是一条对称轴，所以，，得，又，得，所以.最小正周期，项错误；令，，得对称轴方程为，，选项错误；由，，得单调递增区间为，，项中的区间对应，故正确；由，，得对称中心的坐标为，，选项错误，综上所述，故选C．【点睛】本题考查根据三角函数图像性质来求三角函数解析式以及根据三角函数解析式得出三角函数的相关性质，考查对函数的相关性质的理解，考查推理能力，是中档题．8、A【解析】

不妨设，由得出点的坐标，根据题意得出曲线表示一个以为圆心，为半径的圆，区域表示以为圆心，内径为，外径为的圆环，再由是两段分离的曲线，结合圆与圆的位置关系得出的取值.【详解】不妨设则，所以，则曲线表示一个以为圆心，为半径的圆因为区域，所以区域表示以为圆心，内径为，外径为的圆环由于是两段分离的曲线，则该两段曲线分别为上图中的要使得是分离的曲线，则所在的圆与圆相交于不同的两点所以，即故选：A【点睛】本题主要考查了集合的应用以及由圆与圆的位置关系确定参数的范围，属于中档题.9、D【解析】

先求出AB的长，再求点P到直线AB的最小距离和最大距离，即得△ABP面积的最小值和最大值，即得解.【详解】由题得,由题得圆心到直线AB的距离为，所以点P到直线AB的最小距离为2-1=1，最大距离为2+1=3，所以△ABP的面积的最小值为，最大值为.所以△ABP的面积的取值范围为[1,3].故选D【点睛】本题主要考查点到直线的距离的计算，考查面积的最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10、B【解析】

令，，，若是等差数列，计算得，进而可得结论.【详解】由题意，，令，，，若是等差数列，则所以，即，故，，成等差数列.若是等比数列，，，与，，既不能成等差数列又不等成等比数列.故选：B.【点睛】本题考查抽象函数的解析式，等差数列的等差中项的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

直接利用两点间的距离公式求解即可．【详解】点A（2，1），B（5，﹣1），则|AB|．故答案为：．【点睛】本题考查两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．12、【解析】

根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.13、57【解析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴的截距取最大值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出目标函数的最大值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距取最大值，此时，取最大值，即，故答案为.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值时，找最优解求解，考查数形结合数学思想，属于中等题．14、【解析】

首先令，分别把解出来，再利用整体换元的思想即可解决．【详解】令所以令，所以所以【点睛】本题主要考查了整体换元的思想以及对数之间的运算和公式法解一元二次方程．整体换元的思想是高中的一个重点，也是高考常考的内容需重点掌握．15、-10【解析】

向量变形为，化简得，转化为讨论夹角问题求解.【详解】由题线段为该圆的一条直径，设夹角为，可得：，当夹角为时取得最小值-10.故答案为：-10【点睛】此题考查求平面向量数量积的最小值，关键在于根据平面向量的运算法则进行变形，结合线性运算化简求得，此题也可建立直角坐标系，三角换元设坐标利用函数关系求最值.16、【解析】

根据，得到的值，再由余弦定理，得到的值.【详解】因为，所以，在中，，，由余弦定理得.所以.故答案为：【点睛】本题考查二倍角的余弦公式，余弦定理解三角形，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）a+b=2；（2）(5,-3).【解析】

（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．【详解】由题意知，，．（1）∵三点共线，∴∥，∴，∴．(2)∵，∴，∴，解得，∴点的坐标为．【点睛】本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．18、（1）（2）【解析】

（1）化简即得向量,所成的角的大小；（2）由，可得，化简即得解.【详解】解：（1）由，可得．即，因为，所以，又因为，，代入上式，可得，即．（2）由，可得．即，则，得．【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的模的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理边角互化思想，结合两角和的正弦公式可计算出的值，结合为锐角，可得出角的值；（2）利用三角形的面积公式可求出，利用余弦定理得出，由此可得出的周长.【详解】（1）依据题设条件的特点，由正弦定理，得，有，从而，解得，为锐角，因此，；（2），故，由余弦定理，即，，，故的周长为．【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查余弦定理和三角形面积公式解三角形，要熟悉正弦定理和余弦定理解三角形所适用的基本类型，同时在解题时充分利用边角互化思想，可以简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.20、（2）或（2）或【解析】

（2）讨论直线是否过原点，利用截距相等进行求解即可．（2）根据点到直线的距离相等，分直线平行和直线过A，B的中点两种情况进行求解即可．【详解】（2）若直线过原点，则设为y＝kx，则k＝2，此时直线方程为y＝2x，当直线不过原点，设方程为2，即x+y＝a，此时a＝2+2＝2，则方程为x+y＝2，综上直线方程为y＝2x或x+y＝2．（2）若A，B两点在直线l同侧，则AB∥l，AB的斜率k2，即l的斜率为2，则l的方程为y﹣2＝x﹣2，即y＝x+2，若A，B两点在直