2024八年级数学下册第十七章勾股定理检测新版新人教版

Page1第十七章勾股定理得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，则AB的长为(C)A．2eq\r(3)B．3eq\r(2)C．2eq\r(5)D．2eq\r(6)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是(A)A．30，40，50B．7，12，13C．5，9，12D．3，4，63．如图所示的数轴上的四点E，F，G，H(画弧轨迹与数轴的交点)中，表示实数－eq\r(5)的点是(A)A．点EB．点FC．点GD．点H4．已知一三角形的三边长a，b，c满意(a－6)2＋|b－8|＋c2－20c＋100＝0，则该三角形(C)A．是以a为斜边的直角三角形B．是以b为斜边的直角三角形C．是以c为斜边的直角三角形D．不是直角三角形5．甲、乙两艘轮船同时从港口动身，甲以16海里/h的速度向北偏东75°的方向航行，它们动身1.5h后，两船相距30海里，若乙以12海里/h的速度航行，则它的航行方向为(C)A．北偏西15°B．南偏西75°C．南偏东15°或北偏西15°D．南偏西15°或北偏东15°6．国庆假期中，小华与同学去玩探宝嬉戏，根据探宝图(如图所示)，他们从门口A处动身先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是(D)A．20kmB．14kmC．11kmD．10km7．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，假如大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a和b，那么ab的值为(C)A．49B．25C．12D．10eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))8．如图，小明打算测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD＝1.5m，竹竿高出水面的部分AD长0.5m．假如把竹竿的顶端A拉向岸边的点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为(A)A．2mB．2.25mC．2.5mD．3m9．如图，Rt△ABC的两直角边长分别为6，8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积为(A)A．24B．8πC．24πD．25π10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝30°，点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，若DE＝eq\r(3)，BC＝1，CD＝eq\r(13)，则CE的长是(D)A．eq\r(17)B．eq\r(15)C．eq\r(14)D．eq\r(13)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))二、填空题(每小题3分，共24分)11．命题“假如x＝y，那么x2＝y2”的逆命题是__假__命题．(填“真”或“假”)12．在平面直角坐标系中，已知点A(－1，－3)和点B(1，－2)，则线段AB的长为__eq\r(5)__.13．若始终角三角形的两条直角边长的比是3∶4，斜边的长为15cm，则这个三角形的周长为__36__cm.14．如图，车高4m(AC＝4m)，货车卸货时后面的支架AB弯折落在地面上的点A1处，经过测量得到A1C＝2m，则弯折点B到地面的距离是__1.5__m.15．一株漂亮的勾股树如图所示，其中全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为4，7，2，3，则最大的正方形E的面积是__16__．16．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于点M，若CM＝5，则CE2＋CF2＝__100__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第16题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第17题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第18题图))17．在一个长为8dm，宽为5dm，高为7dm的长方体上截去一个长为6dm，宽为5dm，高为2dm的长方体后得到一个如图所示的几何体，一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处沿着几何体的表面爬到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，则它须要爬行的最短路径的长为__13__dm.18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是__15__．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的长．解：∵AC＝10，CD＝2，∴AD＝AC－CD＝10－2＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(102－82)＝6，在Rt△BDC中，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)20．(8分)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.(1)求△ABC的周长；(2)求证：∠ABC＝90°.解：(1)∵AB＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，AC＝eq\r(32＋42)＝5，BC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝2eq\r(5)＋5＋eq\r(5)＝3eq\r(5)＋5(2)证明：∵AB2＋BC2＝20＋5＝25＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°21．(8分)如图，有一个长方形的场院ABCD，其中AB＝9m，AD＝12m，在B处竖直立着一根电线杆，在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯，则点D到灯E的距离是多少？解：∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(92＋122)＝15(m).又∵在Rt△BDE中，∠EBD＝90°，∴ED＝eq\r(EB2＋BD2)＝eq\r(82＋152)＝17(m)，∴点D到灯E的距离是17m22．(10分)如图，点C在线段BD上，且AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段AC上，且CE＝CB，若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助这个图形证明勾股定理．证明：∵AC⊥BD，∴∠ECD＝∠ACB＝90°.又∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ECD≌△BCA(SAS)，∴AB＝ED＝c，∠BAC＝∠EDC，∴∠BAC＋∠AEF＝∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB.又∵S△ABD＝S△BCE＋S△ACD＋S△ABE，∴eq\f(1,2)BC·CE＋eq\f(1,2)AC·CD＋eq\f(1,2)AB·EF＝eq\f(1,2)AB·DF，∴eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)cEF＝eq\f(1,2)cDF＝eq\f(1,2)c·(EF＋DE)＝eq\f(1,2)c(EF＋c)＝eq\f(1,2)cEF＋eq\f(1,2)c2，∴a2＋b2＝c223．(10分)在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素新奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离AB的长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地的距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，求绳索OA的长．解：设绳索OA的长为x尺，则OA′＝OA＝x尺，OC＝x＋1－5＝(x－4)(尺).在Rt△OA′C中，∵A′C2＋OC2＝OA′2，∴102＋(x－4)2＝x2，解得x＝14.5，∴绳索OA的长为14.5尺24．(10分)如图①，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．(1)证明：AD2＋AE2＝AB2；(2)如图②，若AE＝4，AC＝eq\r(80)，点F是AD的中点，求CF的长．解：(1)证明：连接BD，在△ECA和△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝CD，,∠ECA＝∠DCB，,CA＝CB，))∴△ECA≌△DCB(SAS)，∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°，∴∠ADB＝∠CDB＋∠EDC＝90°，∴△ADB是直角三角形，∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD2＋AE2＝AB2(2)过点C作CH⊥DE于H，∵AC2＋BC2＝AB2，AE2＋AD2＝AB2，AE＝4，AC＝eq\r(80)，∴AD＝12，∴DE＝AE＋AD＝16，∵点F是AD的中点，∴AF＝DF＝6，∵△ECD是等腰直角三角形，CH⊥DE，DE＝16，∴CH＝DH＝EH＝8，∴HF＝DH－DF＝2，∴CF＝eq\r(CH2＋HF2)＝eq\r(64＋4)＝2eq\r(17)25．(12分)我们把对角线相互垂直的四边形叫做“垂美四边形”．(1)如图①，四边形ABCD是“垂美四边形”，摸索究两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC和AB为直角边向外作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形ABE，连接DE，若AC＝4，AB＝5，求DE的长．解：(1)AD2＋BC2＝AB2＋CD2，证明：设AC与BD相交于点E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，∴由勾股定理，得AD2＋BC2＝AE2＋DE2＋BE2＋CE2，AB2＋CD2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2，∴AD2＋BC2＝AB2＋CD2(2)连接CE，BD相交于点N，CE交AB于点M，∵∠CAD＝∠