函数的平均变化率 导学案

十堰市第二中学

SHIYANSHIDIERZHONGXUE

育人为笨和谐发展

导学案

数学

（选修2-2）

高中部数学组

2016年7月

§1.1.1函数的平均变化率

【学习目标】1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程.

2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数.

【学习重点】1.了解导数概念的实际背景

2瞬时变化率

［方法指导］

「‘注重抽象概念不同含义的转换

【自主学习】

1.平均变化率：：(七)一(为)=筮

2.设y=/(%),%是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点马，西与马的差记为以，即

或者%=，■就表示从占到马的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为与，，即

△y=；如果它们的比值色，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率.

3.所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.

【合作探究】

1已知函数_/U)=2f+3x-5.

Av

⑴求当©=4,且4x=l时，函数增量/y和平均变化率工；

Ay

(2)求当为=4,且4x=0.1时，函数t增量/y和平均变化率天；

(3)若设必=两十4尤分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.

2.求函数f(x)=f3+X图象从点41,2)到点B(l+Ax,2+Ay)的平均变化率.

3.求y=，在区间［%,©+垢］的平均变化率.

X

【拓展延伸】定义中的XI,X2是指其定义域内不同的两个数，记Ax=x2-X1,Ay=f(x2)—f(Xi),则当

△xWO时，'乂21X|=?称作函数丫=取)从X］到乂2的平均变化率,理解平均变化率应注意以下

X2X|AX

几点:

⑴函数f(x)在X”X2处有定义；

(2)X2是X1附近的任意一点，即△x=X2-X|W0,但Ax可正可负；

(3)注意变量的对应，若Ax=x2—x1(则Ay=f(x2)—f(x,),而不是Ay=f(xi)—f(x2);

(4)平均变化率可正可负，也可为零.

【当堂检测】

I.函数y=/(x)的自变量x由刖改变到xo+/x时，函数值的改变量/夕为()

A.y(xo+/x)B.火x())+/xC.j［xo)-AxD.式x()+/x)—“To)

2.已知函数—x~+x的图象上的一点A(—1,—2)及临近一点B(—l+Ax,—2+Ay),则

包一

Ax

3.过曲线)可㈤=d上两点P(1,1)和。(1+Ax,1+Ay)作曲线的割线，求出当

Ax=O.1时割线的斜率.

4.质点运动规律为§=产+3,则在时间(3,3+△/)中相应的平均速度为

A.3B.6C.9D.12()

5.己知函数/(x)=%2,分别计算/(x)在［1,3］区间上的平均变化率；/(X)在［1,2］区间上

的平均变化率.

6.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

7.已知函数f(x)=2x+l,g(x)=-2x,分别计算在区间［-3,-1］,［0,5］上f(x)及g(x)的平均变化

§1.1.2瞬时变化率与导数

【学习目标】

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵:

3.会求函数在某点的导数.

【学习重点】

1.导数的概念

2.会求函数在某点的导数.

【方法指导】1注重思想方法的渗透

2.对实际问题含义的理解

【自主学习】

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念是什么？

2.导数的概念是什么？

3.求函数/(x)在点4处的导数/'(%)的三个步骤是什么？

4.函数f(x)在xo处的导数f'(xo)与Ax有关吗?

5.某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含义是什么？

(1)lim曾存在，则称f(x)在x=x0处是否可导并且导数是什么？

△x-0

(2)lim前不存在，则称f(x)在x=x()处是否可导？

△x-4)

【合作探究】

1.求函数y=3/在x=l处的导数.

2.己知函数/(x)的导数为/'(X),且满足/(x)=3/+2xf(2),则/<5)=

11

3.求函数y=一在点X=7处的导数.

x2

【拓展延伸】

1.高台跳水运动中，fs时运动员相对于水面的高度是：〃⑺=<9『+6$+10(单位：111),求运动员在£=15时

的瞬时速度，并解释此时的运动状况.

2.理解求导数值的三个步骤：

⑴求函数值的增量：.=/(/+­)-/(匹,)；⑵求平均变化率：g="xo+神-"*。)并化简;

⑶直觉“包得导数/'(X。).

△x->oAx

、、~人,/口十口fX-fXn.-fXo+AX-fXn

注意：令x=x+Ax,得△xnx—Xo,于是fr(xo)=lim二-----与定义中的f,(x)=lim--------------

0X—X。0AX

Ax-0Ax-0

意义相同.

【课堂检测】

1.函数y=3x-(2xT)?的导数是()

(A)7-8x(B)7+8x(C)5-4x(D)5+4x

2.质点运动规律为5=*+3,求质点在，=3的瞬时速度.

3.数f(x)=-%2+%在％=—1处的导数.

4.已知f(x)=ax，+3x2+2,若尸(-1)=4,则a的值等于()

小19小16/小13仆10

(A)——(B)——(C)—⑻一

3333

5.求曲线y=f(x)=x3在x=1时的导数__.

6.数y=«在x=l处的导数.

7.求函数y=-yfx在点X=1处的导数.

1.1.3导数的几何意义

【学习目标】

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系，理解曲线的切线的概念；

3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。

【学习重点】

1.理解导数的几何意义.

2.会用导数的几何意义解题。

【自主学习】

1.当点勺(x“J(x,))5=l,2,3,4),沿着曲线/(x)趋近于点P(%J(x。))时，割线的变化趋是什么？

2.求曲线在某点处和过某点的切线方程的基本步骤是什么？

3.什么是导函数？函数/(%)在点/处的导数/'(%)、导函数/'(幻、导数之间的区别与联系是什么？

【合作探究】

1.求曲线y=x在点P(l,2)的切线方程；

X

2.求抛物线y=/过点P(1,6)的切线方程.

3.若曲线y=d—x+2上一点P处的切线恰好平行于直线y=llx-l,求P点坐标.

4.已知曲线C:y=x2-2x+3,直线/:x-y-4=0,在曲线C上求一点P,使P到直线L的距离最短,

并求出最短距离.

5.若曲线y=——2⑪2+加上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，求。的取值范围.

【当堂检测】

1.求曲线产f(x)=/+l在点尸(1,2)处的切线方程.

2.求函数尸3)在点(1,3)处的导数.

3.求函数产3/在点(1,3)处的导函数.

4.已知曲线y=gx3和点A(I,O),求过点八的切线方程()

A.x-j—1=0B.x—j+1=0C.x+j+1=0D.X+j-1=0

5.设P为曲线C：y=x?+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是［0,工］,则点P横坐标的

_4_

取值范围为.

6.已知函数/(x)的导函数为尸(x),且满足/您)=3/+2#'(2),则/15)=.

b

7.设函数/(x)=or-一，曲线y=/Xx)在点(2,/'(2))处的切线方程为7x—4)，—12=0.(I)求/(x)

x

的解析式；(H)证明：曲线y=/(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为

定值，并求此定值.

1.2.1几个常用函数的导数

【学习目标】

1.推导四种常见函数y=c、y=x、y=J、y的导数公式；

x

2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.

【学习重点】能运用常见函数的导数公式正确求函数的导数.

【自主学习】

1.求函数y=/(x)=c的导数.

2.y，=0表示函数y=c图象上每一点处的切线斜率为.若y=c表示路程关于时间的函数，则

>'=，可以解释为即一直处于静止状态.

3.求函数y=/(x)=x的导数

4.y'=l表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率为.若y=x表示路程关于时间的函数，则

y'=，可以解释为_______________________________

【合作探究】

1.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数.

(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？

(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

(3)函数y=fcv(ZwO)增(减)的快慢与什么有关？

2.求下列函数的导数.

⑴y=d+x2+1(2)y=x-4+—A:3+—JC2+x+2

32

⑶旷=二+丁+4(4»=3孤+2«——^

%-

3.已知曲线C:y=x3—3x42x,直线l:y=kx,且1与C切于点(xo,yo)(xoKO),求直线1的方程及切点坐标

【自堂检测】

1.⑴y=x5的导数;y=三在x=l处的导数；y=炉在（1,1）处的切线方程；

（2万=k3的导数;丁=r3在x=l处的导数；y=厂3在。处的切线方程；

（3）y=x+，的导数；y=x+1在x=l处的导数；y=x+4过（1,1）处的切线方程

XXX

2,已知函数“X）在R上满足y=-3X2+3X+1,则曲线y=/（x）在点（1"⑴）处的切线方程（）

A.3x—y—4=0B.3x—j+4=0C.3x+y+4=0O.3x+y-4=0

3.若点P在曲线y=x'-3x2+（3-行）x+h上移动，经过点P的切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是

4

4.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=V和y=泼+5—9都相切，则。等于—

5.物体的运动方程为s=r,则物体在f=l时的速度为,在r=4时的速度为.

5.已知曲线y=gx3+：

（1）求曲线在x=2处的切线方程；

（2）求曲线过点（2,4）的切线方程.

1.2.2导数的运算

【学习目标】

1.熟练掌握基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则；

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数

【学习重点】1.基本初等函数的导数公式

2.导数的四则运算法则

【方法指导】对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，

而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算

失误.

【自主学习】

1：常见函数的导数公式：

c=_；(xn)'=；(sinx)'=____；(cosx)'=_____；(a")=；(，)=______；

(log„x)={a>O.«H1)；(inx)=____

2：根据常见函数的导数公式计算下列导数

(1)y=x6(2)y=Vx(3)(4)y=

x2依

3两个函数的和(或差)积商的导数

[/(X)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)；"(x)g(x)]'=7'(x)g(x)+/(x)g'(x)；

C，=尸(x)g(x)-((x)g'(x)

g(x)[g(x)f

【合作探究】

1.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.

(1)y=%3-2x+3；⑵好念一马7

,、X

(3)y=sinx-lnx；(4)y；

4r

1-lnx

(5)(6)y=(2x2—5x+1)-ex；

y二

1+lnx

sinx-cosx/c、X?+1

(7)y=(8)y=—

cosx+sinx

2.日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净

化到纯净度为X%时所需费用(单位：元)为c(x)=华土(80v]<100).求净化到下列纯净度时，所需净

100-x

化费用的瞬时变化率：(1)90%；(2)98%.

【当堂检测】

_r4-1

1.设曲线—在点(3,2)处的切线与直线以+丁+1=0垂直，则。=_____

x-1

x21

2.己知曲线y=z--31nx的一条切线的斜率为,，则切点的横坐标为,

3.设曲线y=x"M(〃GN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x“，令a,,=lgx“，则

4+4++%的值为

2x2

4.函数y=,My的导数是()

(A)，=4《？+1)-8/4Mx2+1)一。

(1+1)3/3+1T

2

(C)y，=2«2+i)8/(D)y=44x+l)-4x

(x2+1)3(x2+l)3

5.若直线丁=-％+。为函数旷=,图象的切线,求b=和切点坐标为.

X

6.已知曲线C:y=3x"-2x3—9x2+4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程.

7.求过曲线y=cosx上点P4(生1,一)的切线的直线方程.

32

1.2.3复合函数的求导

【学习目标】

1.要掌握复合函数的求导法则.复合函数对自变量的导数，等于该函数对中间变量的导数乘以中间变量对

自变量的导数，即X=<

2.能综合运用函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，求一些初等函数的导数［形如人办+份型］.

【学习重点】

1.复合函数的求导法则

2.析清楚函数的复合关系，选好中间变量。

【自主学习】

1.复合函数的求导法则

问题：求(sin2x)'=?

解答：由于(sinx)，=cosx,故(sin2x)'=cos2x这个解答正确吗？

2.一般地，对于两个函数y=/(“)和〃=g(x),如果通过变量〃，y可以表示成x的函数，那么称这个函数

为函数y=/(〃)和"=g(x)的复合函数，记作：y=f(g(x))

3.复合函数的求导法则：

两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.

用公式表示为：％'=%'4'，其中u为中间变量.即：y对x的导数等于y对〃的导数与〃对x的导数的乘

积.

4.求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变

【合作探究】

1求下列函数的导数

(1)y=(2x+3)2；(2)y=

(3)y=sin(万x+夕)(其中4,°均为常数)；(4)y=cos(2x-y)

(5)y=sin~(2x+y)(6)y=ln(2x2+3x+l)

(7)y—­a=；(8)y=sin'x+coslx;

yjx1-2ax

2.对正整数"，设曲线y=x"(l-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为为,求数列的前〃项

和.

【拓展延伸】

1.复合函数求导的基本步骤是：分解一一求导一一相乘一一回代.

2.若函数/(x)=log,(x3-av)(a>0MRl)在区间(-：,0)内单调递增，则a的取值范围是()

1399

A.[-,1)B.[-,1)C.(-,+«))D.(1,-)

【当堂检测】

1.已知函数/(x)在R上满足/(X)=2/(2-X)-X2+8X-8,则曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方

程是()

A.y=2x-ly=xC.y=3x—2D.y=-2x+3

2.曲线y=e于在点(4,e?)处的切线的斜率为)

A.-e2B.4e2C.2e2D.-e2

22

3.已知直线y=x+l与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为

4.设曲线y=在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=.

5.曲线y=x(x+1)(2—x)有两条平行于直线y=/的切线，则此二切线之间的距离—

6.求在曲线丁=/+3/+6*一10的切线中斜率最小的切线方程.

7.设函数〃x)=cos(百x+e)(0<e<7)。若+是奇函数，求夕.

1.3.1函数的单调性与导数(一)

【学习目标】

1.理解可导函数的单调性与其导数的关系.

2.能够利用导数确定函数的单调性，以及函数的单调区间.

3.掌握函数单调性解决有关问题，如证明不等式、求参数范围等.

【学习重点】1.可导函数的单调性与其导数的关系.

2.函数单调性解决有关问题，如证明不等式、求参数范围等

【自主学习】

函数的导数与函数的单调性的关系：

1.我们知道，曲线)，=/(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.

从函数y=1-4x+3的图像来观察其关系：

y=/(x)=x2—4x+3切线的斜率f(X)

(2,+8)

(-8，2)

在区间(2,+8)内，切线的斜率为,函数)，=/(》)的值随着x的增大而,即了>0时，函

数y=/(x)在区间(2,+oo)内为_____函数；

在区间(一8,2)内，切线的斜率为,函数y=的值随着x的增大而,即y/<0时，

函数y=/(x)在区间(—8,2)内为_____函数.

2.一般地，设函数y=/(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y'>0,那么函数y=/(x)在这个区

间内的——；如果在这个区间内y'<0,那么函数y=/(x)在这个区间内的---------.

【合作探究】

1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间，最后画出函数的图像.

(1)f(x)=x3+3x；(2)f(x)—x2—2x—3

(3)/(x)=sinx-xxe(0,%)；(4)f(x)-2x3+3x2-24x+1

2.已知函数fCx)=ax+3Z-A+l在R上是减函数，求实数a的取值范围.

3.己知函数/(x)=x3+ZJd+ax+d的图象过点P(0,2),且在点M(—l,/'(-D)处的切线方程为

6x—y+7=0.

(I)求函数y=/(x)的解析式；(II)求函数y=/(x)的单调区间.

【当堂检测】

1.函数/(x)=(x—3)，的单调递增区间是()

A.(-oo,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+8)

2.函数/(x)=V-15d-33x+6的单调减区间为.

3.函数y=x-2sinx在(0,2万)内的单调增区间为.

4.若/(x)=d—2x-41nx,则/'(x)>0的解集为()

A.(0,+8)B.H,0)u(2,+oo)C.(2,-FW)D.(-1,0)

5.若函数/(可=阳?+1nx-2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是.

6.函数/(幻=%3+以2+%+1,qeR,7(x)在区间内是减函数，则a的取值范

围.

7.己知/*)=G？+匕V+℃在区间［0,1］上是增函数,在区间(—8,0),(1,+00)上是减函数，又(§)=!

求/(X)的解析式.

1.3.2函数的极值与导数(一)

【学习目标】

1.理解极大值、极小值的概念，掌握求可导函数的极值的步骤;

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值。

【学习重点】

1极大值、极小值的概念。

2.会求函数的极大值、极小值极值。

【自主学习】

1：如上图，函数y=/(x)在〃等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=/(x)在

这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=/(x)的导数的符号有什么规律？

可以看出，函数y=/W在点x=。的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都，/'(“)=；

且在点x=a附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0.

类似地，函数y=/(x)在点x=6的函数值/S)比它在点x=b附近其它点的函数值都,f'S)=_;

而且在点x=b附近的左侧f\x)0,右侧尸(x)—0.

2.我们把点a叫做函数y=/(x)的极小值点，/(/叫做函数y=/(x)的极小值；点b叫做函数y=/(x)

的极大值点，/3)叫做函数y=/(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称

为极值.极值反映了函数在某一点附近的，

刻画的是函数的.

3.函数的极值____(填是，不是)唯一的；(2)一个函数的极大值是否一定大于极小值._____；(3)函数

的极值点一定出现在区间的―(内，外)部，区间的端点(能，不能)成为极值点.

4o极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.

比如：函数/在x=0处的导数为,但它(是或不是)极值点.

即：导数为0是点为极值点的条件.

【合作探究】

例1.求/(x)=；d—4x+4的极值，然后画出函数的图像.

例2.已知/(x)=ax3+bx1+cx(a手0)在x=±1时取得极值，_B.1/(1)=-1.

(1)求常数a、b、曲)值；

(2)判断x=±l分别是极大值点还是极小值点？

例3.已知/'(X)=加+加+3在点七处取得极大值，其导函数f(x)的图像经过点(1,0),(2,0).

如图，求⑴X。的值；(2)a、b、由］值V*

例4.若/'(x)=x3+3/+3m+2)x+1既有极大值，又有极小值.

求a的取值范围.

当堂检测】

1.已知f(x)=ax,4-Z?x2-2x在x=-2,x=1处取得极值.贝犷(x)的解析式____________________；

/(x)的单调区间.

2.函数y=l+3x—/有()

A.极小值T,极大值1B.极小值-2,极大值3

C.极小值-2,极大值2D.极小值-1,极大值3

3.若x=2是函数/(x)=aV—3无2的极值点，贝仍为()

A.1B.2C.1.5D.3

4.函数/U)的定义域为开区间(a,b),导函数/'(X)在(a,b)内的图像产出如图所示，

则函数/Xx)在区间(a,b)内极小值点的个数是()|\/WV(

A.1个B.2个C.3个D.4个|'

5.函数/(x)=J+3x—9,已知/(x)在％=-3时取得极值，则a=.

6.函数/(x)=alnx+hx2+3x的极值点％=1,々=2，求人的值______.

7.已知函数/(x)=d+af+"c+c,且知当尤=—1时取得极大值7,当x=3时取得极小值，试求函数

的解析式及极值。

1.3.3函数的最值与导数(二)

【学习目标】

1.理解函数的最大值、最小值的概念;

2.了解函数的极值与最值的区别与联系;

3.会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.

【学习重点】

1.函数的最大值、最小值的概念

2.会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的

最大值、最小值.

【自主学习】

1.观察在闭区间鼠以上的函数/(X)的图象如上图，你能找出它的极大(小)值吗？最大值，最小值呢?

图1图2

2/在图1中，在闭区间,用上的最大值是,最小值是；

在图2中，在闭区间院”上的极大值是—，极小值是—；最大值是—，最小值是.

3.一般地，在闭区间上连续的函数/(幻在L,“上必有最大值与最小值.

4.上图的极大值点,为极小值点④:最大值为,最小值为.

【合作探究】

1.(1)求"X)=；X3—4X+4在［0,3］的最大值与最小值；

(2)求函数y=/-2/+5在区间［—2,2］上的最大值与最小值；

(3)求函数y=/+/—%在闭区间［-2J］上的最大值与最小值.

2

2.己知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=一—与x=l时都取得极值

3

(D求a、b的值与函数f(x)的单调区间；

(2)若对xe［—l,2］,不等式f(x)<c?恒成立，求c的取值范围.

【当堂检测】

1.下列说法正确的是()

A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M,最小值是m,若旧m,则f'(x)()

A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能

3.函数片在［-1,1］上的最小值为()

432

A.0B.-2C.-1D.—

12

4「设.“*)=013—60¥2+/7在［-1,2］上的最大值为3最小值为-29,且a>b,则()

A.a=—2,/?=—29B.a=2,Z?=3C.a=3,Z?=2D.a=-2,b=—3

5.若owx求/(x)=cosx-cos3x的最大值___________.

2

6.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在［-2,2］上有最大值3,求此函数在

［-2,2］上的最小值_________________.

7.求函数y=%4-2/+5在区间［—2,2］上的最大值与最小值，并画出函数的图像.

8.已知函数/(幻=一/+3/+9》+“，

(1)求/(x)的单调区间：

(2)若/(x)在区间［-2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

1.4生活中的优化问题举例

【学习目标】

1.使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用;

2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.

【学习重点】

导数在解决实际问题中的作用

【自主学习】

1.生活中经常遇到求、、等问题，这些问题通常称为优化问题.

2.利用导数解决优化问题的实质是.

【合作探究】

1.在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无

盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

2.班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面

积为128面？，上、下两边各空2d机，左、右两边各空1，加.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最

小？

变式：如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为anr,为使所用材料最省，底宽

应为多少？

3某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.81产分，其中「是瓶子的半径，单位是厘

米.已知每出售1mL的饮料•，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6on.问（1）瓶

子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

【课堂检测】

1.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为（）

A枭1取B.^R和芈RC.*R和'D.以上都不对

J4JJJJ

2.酒杯的现状为倒立的圆锥，杯深8cm,上口宽6cm,水以200//5的流量倒入杯中，当水深为4cm时,

则水升高的瞬时速度是

3.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高h与底与半径R应选取，才能使所用的材料最省。

44、5两村距输电线(直线)分别为1公〃和1.5旧〃，CD长3Am.现两村合用一台变压器供电.问变

压器设在处，输电线总长AE+BE最小

5.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在A,£D断面ABCD

的面积为定值S时，使得湿周FAB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透B'c60°少，则此时

的高h=一下底边长b=.

6.在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x),出售x单位产品的收益称为收益函数，

记为R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为P(x).

(1)如果(：6)=10'/一ooo次2+5x+iooo,那么生产多少单位产品时，边际C'(x)最低？(边际成

本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)

(2)如果C(x)=50x+10000,产品的单价P=100—0.01x,那么怎样定价,可使利润最大？

1.5.3定积分的概念

【学习目标】

1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程了解定积分的背景;

2.能用定积分的定义求简单的定积分：

3.理解掌握定积分的几何意义.

【学习重点】

理解掌握定积分的几何意义

【自主学习】

1.曲边三角形面积的过程分割n近似代替=求和n取极限

2.定积分的定义：如果函数凡r)在区间力]上连续，用分点将区间工,刈等分成〃个小区间，在每个小

n

区间上任取一点"(i=l,2,…,〃)，作和式△》.当〃一8时，上述和式无限接近于某个常数，这个常

1=1

"h-a

数叫做函数兀v)在区间口，切上的定积分，记作欢x)dx,即J饮x)iv=limE丁解)，其中於)称为，

8j=l

x称为,y(x)dr称为,[a,6]为,a为,b为，"j”

称为积分号.

3.定积分的几何意义：_______________________

4.定积分的性质：

(1)kf[x}dx=k\'f(x)dx(&为常数)

J<iJa

fbfbrb

(2)j[f1(x)±f2(x)]dx=£f](x)dx±Jf2Mdx

(3)[f(x)dx=[f(x)dx4-ff{x}dx(其中

JaJaJc

5.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=f所围成的曲边梯形的面积.

【合作探究】

1.计算定积分

「2

(1)](%+1)公；

(2)]；|尤+明%；

pe+I|

(3)I---dx；

X-l

(4)[(4一/心.

J—2

2.求抛物线y=—/+4x-3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的图像面积.

3.已知/(尤)是一次函数，其图象过点(3,4),且f/(x)dx=l,求/(x)的解析式.

JO

【当堂检测】

1.下列积分的值等于1的是3.下列积分的值等于1的是()

r11,

A.fxdxB.f(x+l)dxC.fXdxD」尹

JoJoJo

2.£(2x-3x2)Jx=

3.若Q=J。尢2公力=，0/公《二J。此伙，则a,b,c的大小关系是

4.计算下列定积分

(1)£(2x-4)dx

「21

(2)(2x+—)小=.

x

K

(3)P(3x+sinx)dx=.

Jo-------

(4)若］：2xdx-］：dx<3,则t的取值范围.

⑸J

1.6微积分基本定理

【学习目标】

1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义.

2.能够正确地运用微积分基本定理计算简单的定积分

【学习重点】：

1微积分基本定理及其应用，

2.对微积分基本定理的理解.

【自主学习】

1.如果函数尸(x)是3,句上的连续函数，并且F(x)=/(x),那么1/(力公=尸3)-尸(a)

这个结论叫做微积分基本定理，也叫牛顿-莱布尼兹公式

为了方便起见，还常用E(x)匕表示Fg)-F(a),BP=F(x)|>F(b)-F(a)

2.计算

3计算定积分的关键是找到满足F'(x)=/(x)的函数F(x).通常我们可以运用基本初等函数的求

导公式的四则运算法则从反方向求出F(x)

【合作探究】

1.计算下列定积分

(1)

f31

(2)I(2x—丁)dx©

J1x

2.计算下列定积分：心in诏「飞n诏『sin妞.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯

形的面积表示所发现的结论.

【当堂检测】

1.由曲线y=/(x)(/(x)<0),xe[«,/?],%=a.,x=h{a<h)和x轴围成的曲边梯形的面积S二

()

Ajf(x)dxR-Jf(x)dxC.^[/(x)-a\dxD.^[f(x)-b]clx

2.计算下列定积分

(l)j*2—dx=_____;⑵J：Ixdx=____；⑶J：(--^)公=____；(4)J(：cosxdx=____;

1X1X

(5)jj(4-2x)(4-x2)dx=___;(6)jTdx=____；(7)j©-$公=；

3.由＞及x轴围成的介于。与2乃之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为,

4.由曲线y==/所围成图形的面积是.

5.计算「卜_#=.

6.在曲线y=%2(xN0)上的某点A处做一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为春.切点A的坐标

为,切线方程为.

7.计算下列定积分

]7U71

(1)Je2xcbc;(2)^cos2xdx\(3)j，(3x+sinx)dx.

6

1.7.1定积分的简单应用

【学习目标】

在理解定积分的概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法.掌握在平面直角坐标系下用定积分

计算简单的平面曲线围成图形的面积.

【学习重点】

计算简单的平面曲线围成图形的面积.，体验定积分的价值。

【自主学习】

1.当/(X)在团,切上有正有负时，则人=\"\fM\dx

2.平面图形是由两条曲线乂=/(x),y2=g(x),xG[a,b]及直线x==b所围成且f(x)>g(x).其面积都

可以用公式A=J："。)-g(x)]dx求之.

3.当介于两条曲线y=/(x),%=g(x)，工£[。,切和两条直线y=a,y=6之间的平面图形的面积公式为:

A=J“"(x)-g(x)心

【合作探究】

1.求两条曲线y=/与y=6围成的平面区域.

2.求正弦曲线尸sinx”[O,学和直线犬点及x轴所围成的平面图形的面积.

3.已知二次函数/(均=。/+Z?x+c,直线Z]:y=—产+&(其中0W/W2./为常数)；，2：%=2.若直线

八、八与函数f(x)的图象以及/“y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭

图形如阴影所示.

(1)求“、b、c的值；

(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式.

【当堂检测】

1.y=sinx(0Kx<2万)与x轴所围成图形的面积是;

3

2.曲线y=cosx(0<x<^7r)与两坐标轴所围成图形的面积为

3.求抛物线V=2x与直线y=4—x围成的平面图形的面积,

4.，弓(cos]一sin^)2dx=.

5.设M=/log〕AZZT,log{xdx,则MN.

a23

6.已知自由落体的运动速度v=gt(g=10m//