初中奥数 图形

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号：年级：初三课时数：3

学员姓名：唐开元辅导科目：数学学科教师：王兴帅

授课类型c三角形c平行四边形c梯形

授课日期及时段2014年5月2日

教学内容

三角形的全等及其应用

例1.如图2-2所示.AABC是等腰三角形，D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE,连接DE交底

BC于G.求证：GD=GE.

A

国2-21

例3如图2-5所示.在等边三角形ABC中，AE=CD,AD,BE交于P点，BQLAD于Q.求证：BP=2PQ.

A

B图2-5°C

例4如图2-6所示.ZA=90°,AB=AC,M是AC边的中点，AD_LBM交BC于D,交BM于E.求证：

A

图2—6

ZAMB=ZDMC.

例5如图2-8所示.正方形ABCD中，在边CD上任取一点Q,连AQ,过D作DPLAQ,交AQ于R,交BC于P,

正方形对角线交点为0,连OP,0Q.求证：0P±0Q.

例6如图2-9所示.已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且NBAE=2/DAM.求证：AE=BC+CE.

勾股定理与应用

定理在三角形中，锐角（或钝角）所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去（或加上）这两边中的一边与

另一边在这边（或其延长线）上的射影的乘积的2倍.

例1如图2-21所示.已知：在正方形ABCD中，ZBAC的平分线交BC于E,作EFXAC于F,作FGXAB于G.求

证：AB2=2FG2.

例2如图2-22所示.AM是4ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC=2(AM2+BM2).

推论4ABC的中线长公式:

=g42♦+2c2-a?;①'

/=_J2a*+2c2-g。;②1

222

mc=172a+26-c.③'

例3如图2-23所示.求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4

倍.

例4如图2-24所示.已知△ABC中,ZC=90°,D,E分别是BC,AC上的任意一点.求证：AD2+BE2=AB2+DE2.

例5求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍.

如图2-25所示.设直角三角形ABC中，ZC=90°,AM,BN分别是BC,AC边上的中线.求证:

4(AM2+BN2)=5AB2.

平行四边形

例1如图2-32所示.在£7ABCD中，AE±BC,CF±AD,DN=BM.求证：EF与MN互相平分.

图2—32

例2如图2-33所示.RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于D,BG平分/ABC,EF〃BC且交AC于F.求证:

AE=CF.

例3如图2-34所示.《7ABCD中，DE_LAB于E,BM=MC=DC.求证：ZEMC=3ZBEM.

图2—34

例4如图2-35所示.矩形ABCD中，CE_LBD于E,AF平分NBAD交EC延长线于F.求证：CA=CF.

例5设正方形ABCD的边CD的中点为E,F是CE的中点（图2-36）.求证:

ZDAE=^ZBAF.

2

例6如图2-37所示.正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E,F,使DE=AD,DF=BD,连接BF分别交CD,

CE于H,G.求证：是等腰三角形.

梯形

例1如图2-43所示.在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF〃EC交BC延长线

于F.求证：四边形EBFD是等腰梯形.

⑴求证：ADCF是等腰梯形;

(2)若AADC的周长为16厘米(cm),AF=3厘米，AC-FC=1厘米，求四边形ADCF的周长.

中位线及其应用

3

例1如图2-53所示.4BC中，A"C于D,E,F,G分别是©BD,AC的中点.若EG^EF,WEFM厘米，屋

ABC的面积.

例2如图2-54所示.ZkABC中，ZB,/C的平分线BE,CF相交于0,AG_LBE于G,AH_LCF于H.

(1)求证：GH/7BC；

(2)若AB=9厘米，AC=14厘米,BC=18厘米,求GH.

例3如图2-57所示.P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A',B',C',D'分别是AP,PB,

BQ,QA的中点.求证：A'C=B'D'.

CB

图2—57

例4如图2-58所示.在四边形ABCD中，CD>AB,E,F分别是AC,BD的中点.求证:

EF〉g（CD-AB）.

例5如图2-59所示.梯形ABCD中，AB〃CD,E为BC的中点，AD=DC+AB.求证：DEXAE.

例6如图2-60所示.AABC外一条直线1,D,E,F分别是三边的中点，AAi,FFi,DDi,EEi都垂直1于Ai,E,

Di,Ei.求证：

AAi+EEi=FFi+DDi.

AiF[0[DjEj

图2—6。

相似三角形（一）

例2如图2-65所示.OABCD的对角线交于0,0E交BC于E,交AB的延长线于F.若AB=a,BC=b,BF=c,

求BE.

GB

图2—65

例4如图2-67所示.U7ABCD中，AC与BD交于0点，E为AD延长线上一点，0E交CD于F,E0延长线交

AB于G.求证：

ABAD

DF-DE

例6如图2-69所示.P为4ABC内一点，过P点作线段DE,FG,HI分别平行于AB,BC和CA,且DE=FG=HI=d,

AB=510,BC=450,CA=425.求d.

第十六讲相似三角形（二）

例2如图2-77所示.在AABC中，AM是BC边上的中线，AE平分NBAC,BD_LAE的延长线于D,且交AM延长

线于F.求证：EF〃AB.

图2-27

例4如图2-79所示.P,Q分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点，且BP=BQ,BHLPC于H.求证：QH±DH.

图2-79

例5如图2-80所示.P,Q分别是Rt/XABC两直角边AB,