初中数学人教版九年级上册学案221

第二十二章二次函数

22.1.1二次函数

学习目标：1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.

2.会利用二次函数的概念解决问题.

3.能根据实际问题列二次函数关系式.

重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式.

难点：能根据实际问题列二次函数关系式.

自主学习

一、知识链接

L什么是函数?

2.什么是一次函数？正比例函数?

3.一元二次方程的一般形式是什么?

课堂探究

二、要点探究

探究点1：二次函数的相关概念

问题1正方体的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为尤，表面积为y,则y关于x的

关系式为.

问题2〃个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数，〃与球队数"有什

么关系？

问题3某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量

增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的尤的值而确定，y与x之间的关系

怎样表示？

想一想：问题1~3中函数关系式有什么共同点?

要点归纳：一般地，形如y=a^+bx+c{a,b,c是常数，存0)的函数叫做二次函数.其中x是

自变量，fl,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

温馨提示：

(1)a,b,c为常数，且存0；

（2）等号左边是变量y,右边是关于自变量尤的整式；

（3）等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.

典例精析

例1下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）

@y=aj<r+bx+c；②y=3—2/；③广昌

④y=[；⑤尸升了3+25；@_y=（x+3）2—%2；

方法总结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次

函数除了有一般形式产办之外，还有一些特殊形式，如y=ax1,y=ax2+bx,y=ax1+c

等.

例2若函数y=（7〃+1）彳"-"""+（*3）x+4是二次函数，求机的值.

归纳：本题易忽略二次项系数。加这一限制条件，从而得出根=-1的错误答案，需要引起

同学们的重视.

针对训练一个二次函数y=（k-1）/一次+4+一1.

⑴求上的值；

⑵当x=0.5时，y的值是多少？

探究点2：根据实际问题列二次函数关系式

问题矩形绿地的长为xm,面积为yn?.

（1）若该矩形绿地的长为宽的2倍,则宽为____与x之间的关系式为；

想一想自变量的取值范围是.

（2）若该矩形绿地的长比宽多6m,则宽为_____m,y与x之间的关系式为.

想一想自变量的取值范围是.

例3如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园

设AB边长为尤米，求菜园的面积y（单位：平方米）与x（单位：米）的函数关系式.

墙

A1-----------------'B

注意：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.

例4某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产

95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若生

产第尤档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1装10）,求出y关于x的函数

关系式.

三、课堂小结

形如yuad+bx+cm，%,。是常数,际0)的函数叫做二次函数.其中x是

二次函数的定义自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常

数项

二次函数的一般形式y=ax1+bx+c（a^0,a,b,c是常数）

y=aj3；

二次函数的特殊形式y=ax^+bx^

y=a^+c（a^0,a,b,c是常数）.

当堂检测

1.下列函数是二次函数的是()

2

A.y=2x~\-1B.y=—

x

C.y=3/+lD.y=±+l

X

2.函数y=(m—n)x2,+nvc+n是二次函数的条件是()

A.m,〃是常数，且用0B.7",“是常数，且存0

C.m,〃是常数，且机制D.祖，w为任何实数

3.把y=(2—3x)(6+x)变成y=ax2+bx+c的形式，二次项为,一次项系数为,常

数项为.

4.已知函数产3/底1-5.

①当机=时，y是关于尤的一次函数；

②当m=时，y是关于x的二次函数.

5.若函数y=(a-4)/-3。-2+。是二次函数，

(1)求。的值.

(2)求函数关系式.

(3)当广一2时，y的值是多少？

6.写出下列各函数关系式：

(1)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式；

(2)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数

关系式.

7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售,

一个月能售出500kg,销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种商品的销售情

况，请解答下列问题：

(1)当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与尤的函数关系式.(不必写出自变

量x的取值范围)

8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x(cm),面积为y(cm2).

(1)写出y与尤之间的函数解析式及自变量尤的取值范围；

(2)当户3时，求矩形的面积.

参考答案

自主学习

知识链接

1.一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y

都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说尤是自变量，y是无的函数.

2.一般地，形如尸fcc+b(£6是常数，上0)的函数叫做一次函数.当6=0时，一次函数产履

就叫做正比例函数.

3.ax2+bx+c=Q(存0)

课堂探究

二、要点探究

探究点1：二次函数的相关概念

问题1y=6^

问题2m=-n2-—n

22

问题3y=20(1+尤)2=20砂+40彳+20

想一想函数都是用自变量的二次整式表示的.

典例精析

例1解：②③是二次函数；①不一定是，缺少a,b,c是常数，且存0的条件.④不是,

等式右边是分式；⑤不是,x的最高次数是3；⑥不是，等式右边化简后，等式变形为y=6x+9,

是一次函数.

例2解：由题意得上二2：T=2,...根=3.

［加+1/0,

针对训练

解：(1)由题意的卜一"+4=2,2.

⑵由⑴得，y=x2+2x-1,将x=0.5代入函数关系式y=%2+2%-1,得

y=0.52+2?0.51=025.

探究点2：根据实际问题列二次函数关系式

问题(1)0.5xy=0.5N想一想x>0

(2)(x-6)y=x(x-6)想一想x>6

,12

例3解：边长为尤米，边长为;(30-x)?|e..,.y=-(30-x)x=-yx+15(0<x<30).

例4解：由题意得，第尤档次，提高了(x—1)档，利润增加了2(x—1)元，产量减少了

5(x—1)件..".y=[6+2(^—1)][95—5(x—1)],即y=—10炉+180尤+400(其中x是正整数，

且l<x<10).

当堂检测

3

l.C2.C3.-3N-16124.1-

2

5解：(1)由题意，得['解得。=-1.

[a-4w0,

(2)当斫-1时，函数关系式为y=(-l-4口2-1=-5/-1.

(3)将广-2代入函数关系