九年级下学期第一次月考数学试卷 解析版

九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1.如图，A,B,C,D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数n的

点是（）

-2-101234

A.点AB.点BC.点CD.点D

2.下列计算正确的是（）

A.a2,a3=a6B.a84-a2=a''

C.a2+a2=2a2D.（a+3）2=a2+9

3.如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若Nl=35°,则N

2的度数是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

4.不等式组（2x>-4的解集,在数轴上表示正确的是（）

_____lx-l<l

A.oB.^202>

C.-202^

5.若一次函数y=（k-2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（

A.k<2B.k>2C.k>0D.k<0

6.下列整数中，与10-万最接近的是（）

A.4B.5C.6D.7

7.对于y=2（x-3）2+2的图象，下列叙述正确的是（）

A.顶点坐标为（-3,2）

B.开口向下

C.当x23时，y随x的增大而增大

D.对称轴是直线y=-3

8.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置

在与教学楼水平距离为18标的地面上，若测角仪的高度是1.5m.测

得教学楼的顶部A处的仰角为30°.则教学楼的高度是（）

A.55.5mB.54mC.19.5mD.18m

9.如图所示，直线li：y=lx+6与直线1：y=-i.x-2交于点P(-2,

222

3),不等式3X+6>-lx-2的解集是()

A.x>-2B.x2-2C.x<-2D.x<-2

10.一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角

形,俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

ZEZS

A.nB.2HC.3JTD.（V3+I）Jt

11.如图，半径为3的。A经过原点0和点C（0,2）,B是y轴左侧。A

优弧上一点，则tanNOBC为（）

12.如图，正方形ABCD中，AB=6,E为AB的中点，将4ADE沿DE翻折

得到△FDE,延长EF交BC于G,FH1BC,垂足为H,连接BF、DG.以

下结论：①BF〃ED；②4DFG也ZXDCG；③△FHBs^EAD；④tanNGEB

=2.6；其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空题（共6小题18分）

13.使得式子一有意义的x的取值范围是

14.把多项式a3-6a2b+9ab?分解因式的结果是.

15.已知实数m,n是方程x2-7x+2=0的两不等实根，则工二=

mn

16.如图，在正六边形ABCDEF中，AC=2我，则它的边长是.

17.如图，PA,PB是。0的切线，A,B为切点，ZOAB=38°,则NP

18.如图，菱形ABCD中，AB=2,NA=120°,点E、F分别在边AB、AD

上且AE=DF,则4AEF面积的最大值为.

三.解答题(共66分)

19.计算：-l4+Qs)-2+3tan30。2~\[z*

20.先化简，再求值：(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=-

1

2,

21.湖南师大附中组织集团校内七、八、九年级学生参加“12KM”作文比

赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2

两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题.

各年级参赛作文篇数条形统计图

图1

(1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是度.八

年级参赛作文篇数对应的百分比是.

(2)请补全条形统计图.

(3)经过评审，全集团校内有4篇作文荣获特等奖，其中一篇来自九

年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校报上，请利用画树状

图或列表的方法求出九年级特等奖作文被选登在校报上的概率.

22.如图，四边形ABCD内接于。0,AC为。。的直径，D为众的中点，过

点D作DE〃AC,交BC的延长线于点E.

(1)判断DE与。0的位置关系，并说明理由；

(2)若。。的半径为5,AB=8,求CE的长.

23.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔

小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已

知某种土特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x(元)与该土

特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：

x（元）152030

y（袋）252010

若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：

(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式；

(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销

售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多

少元？

24.如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE,过顶点B

作BFLDE,垂足为F,BF交边DC于点G.

(1)求证：DG・BC=DF・BG；

(2)连接CF,求NCFB的大小；

(3)作点C关于直线DE的对称点H,连接CH,FH.猜想线段DF,BF,

CH之间的数量关系并加以证明.

AD

25.已知抛物线y=ax?-2ax-3a(a>0)与x轴交于A、B两点(A在B

的左侧)，与y轴交于点C,过点A的直线y=kx+b与y轴交于点D,

与抛物线交于点E.

(1)若k=F且点C与点D关于x轴对称，求a的值；

(2)若@=g，ZDAB=A/CBA,求直线y=kx+b的解析式；

32

(3)若点E在第一象限，问：是否存在直线y=kx+b,使得

ABC相似？若存在，请求出直线y=kx+b的解析式，若不存在，请说明

理由.

26.我们规定：只有一组对角为直角的四边形称之为“伪矩形”

(1)如图1,已知四边形ABCD为“伪矩形”，且NABC=90°,证明:

A,B,C,D四点在同一个圆上；

(2)在(1)问情况下，分别延长AD至E,CD至F使得ED=AD,FD=

CD,连接AF,EF,CE,得到四边形ACEF.如图2,当BD平分NABC时，

判断四边形ACEF为何种特殊四边形？请说明理由，若AB=3&,BD=7,

求BC的长；

(3)已知四边形ABCD为“伪矩形”，且NABC=90°,ACLBD于0,以

。为坐标原点，直线AC作x轴，直线BD作y轴，建立如图3平面直角

坐标系，已知二次函数y=ax?+bx+c经过A,B,C三点，P为二次函数

图象上A,B之间的一个动点，记AAOB的面积为S”△(：(»的面积为

S2,4ABP的面积为S3,且满足以下两个条件：①Si=4Sz,②S3的最大

值为4,求此二次函数的解析式.

-湖南师大附中博才中学九年级（下）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

1.如图，A,B,C,D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数五的

点是（）

A.点AB.点BC.点CD.点D

【分析】能够估算无理数冗的范围，结合数轴找到点即可.

【解答】解：因为无理数正大于3,在数轴上表示大于3的点为点D；

故选：D.

2.下列计算正确的是（）

A.a,a=aP)a8—•a2_=__a4

C.a2+a2—2a2D.(a+3)2=a2+9

【分析】直接利用同底数幕的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同

类项法则分别化简得出答案.

【解答】解：A、a2-a3=a5,故此选项错误；

B、a84-a2=a6,故此选项错误；

C、a+a=2a,正确；

D、（a+3）2=a2+6a+9,故此选项错误；

故选：C.

3.如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若Nl=35°,则N

2的度数是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【分析】求出N3即可解决问题；

【解答】解：

W

VZ1+Z3=9O°,Zl=35°,

.\Z3=55°,

.\N2=N3=55°,

故选：C.

4.不等式组12x>-4的解集，在数轴上表示正确的是（）

_____lx-l<l______

A.3o卜B.462y

C.46如D.oP

【分析】根据解一元一次不等式的方法可以解答本题.

【解答】解：俨>-4①，

lx-l<l②

由不等式①，得

x>-2,

由不等式②，得

xW2,

故原不等式组的解集是-2VxW2,

故选：B.

5.若一次函数y=（k-2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（）

A.k<2B.k>2C.k>0D.k<0

【分析】根据一次函数的性质，可得答案.

【解答】解：由题意，得

k-2>0,

解得k>2,

故选：B.

6.下列整数中，与10-万最接近的是（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】解法一：由于9V13V16,可判断后与4最接近，从而可判

断与10-万最接近的整数为6.

解法二：计算3.5的平方与13作比较，再得10-任V6.5,可作判断.

【解答】解:解法一：•.•9V13V16,

•••3<万<4,

•••3.62=12.96,3.72=13.69,

A3.6<-/13<3.7,

-3.7<--3.6,

AlO-3.7<10-万<10-3.6,

.\6.3<10-任<6.4,

.,.与10-J石最接近的是6.

解法二：：3〈任<4,

.,.6<10-Vi3<7,

•.•3.52=12.25,且12.25V13,

/.5,

10-^/13<6.5,

•••与10-万最接近的是6.

故选：C.

7.对于y=2（x-3）2+2的图象，下列叙述正确的是（）

A.顶点坐标为（-3,2）

B.开口向下

C.当x23时，y随x的增大而增大

D.对称轴是直线y=-3

【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断.

【解答】解：A.y=2（x-3）2+2的顶点坐标为（3,2）,此选项错误；

B.由a=2>0知开口向上，此选项错误；

C.当x23时，y随x的增大而增大，此选项正确；

D.对称轴是直线x=3,此选项错误；

故选：C.

8.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置

在与教学楼水平距离为18ym的地面上，若测角仪的高度是1.5m.测

得教学楼的顶部A处的仰角为30°.则教学楼的高度是（)

A.55.5mB.54mC.19.5mD.18m

【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：过D作DE_LAB,

•••在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30°,

.*.ZADE=30°,

•.•BC=DE=18同，

.*.AE=DE,tan30°=18m,

AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5m,

故选：C.

9.如图所示，直线L：y=3x+6与直线k：y=-$x-2交于点P（-2,

22

3）,不等式3X+6>-lx-2的解集是（）

22

A.x>-2B.xN-2C.xV-2D.x<一2

【分析】利用函数图象写出直线1,：y=3x+6与在直线L：y=-lx

22

-2上方所对应的自变量的范围即可.

【解答】解：当x>-2时，lx+6>-Ax-2,

22

所以不等式3x+6>-lx-2的解集是x>-2.

22

故选：A.

10.一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角

形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为()

■©

A.nB.2nC.3nD.(V3+I)n

【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为正

的正三角形.可计算边长为2,据此即可得出表面积.

【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高

为遍的正三角形.

正三角形的边长==纹-=2.

sin60

圆锥的底面圆半径是1,母线长是2,

底面周长为2n

...侧面积为/x2nX2=2”’..・底面积为“二%

，全面积是3n.

故选：C.

11.如图，半径为3的。A经过原点。和点C(0,2),B是y轴左侧。A

优弧上一点，则tanNOBC为()

一

【分析】设。A交x轴于D,连接CD,则CD是直径，根据勾股定理求

出0D,根据正切的定义求出tanNCDO,根据圆周角定理得到N0BC=N

CDO,等量代换即可.

【解答】解：设。A交x轴于D,连接CD,则CD是直径,

在RtaOCD中，CD=6,0C=2,

则°D=[CD2-0C2=4小

tanNCDO=_Q£=返，

0D4

由圆周角定理得，ZOBC=ZCDO,

则tanN0BC=^,

4

故选：D.

*

B

C

D\~_*

12.如图，正方形ABCD中，AB=6,E为AB的中点，将AADE沿DE翻折

得到△FDE,延长EF交BC于G,FH±BC,垂足为H,连接BF、DG.以

下结论：①BF〃ED；②丝z^DCG；③△FHBs^EAD；©tanZGEB

=&⑤SMFG=2.6；其中正确的个数是（）

3

AD

a

BHGC

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即

可.

【解答】解：•••正方形ABCD中，AB=6,E为AB的中点

.\AD=DC=BC=AB=6,AE=BE=3,ZA=ZC=ZABC=90°

VAADE沿DE翻折得到^FDE

AZAED=ZFED,AD=FD=6,AE=EF=3,ZA=ZDFE=90°

二.BE=EF=3,NDFG=NC=90°

，ZEBF=ZEFB

,/ZAED+ZFED=ZEBF+ZEFB

.,.ZDEF=ZEFB

ABF//ED

故结论①正确；

VAD=DF=DC=6,ZDFG=ZC=90°,DG=DG

.,.RtADFG^RtADCG

...结论②正确；

VFH±BC,ZABC=90°

.,.AB/7FH,ZFHB=ZA=90°

VZEBF=ZBFH=ZAED

.,.△FHB^AEAD

结论③正确；

VRtADFG^RtADCG

.\FG=CG

设FG=CG=x,则BG=6-x,EG=3+x

在RtZ\BEG中，由勾股定理得：3?+(6-x)2=(3+x)

解得：x=2

.•.BG=4

.,.tanZGEB=^_=A

BE3

故结论④正确；

VAFHB^AEAD,且岖」

AD2

.*.BH=2FH

设FH=a,则HG=4-2a

在RtZXFHG中，由勾股定理得：a2+(4-2a)2=22

解得：a=2(舍去)或a=2

5

:.SABFG——X4XA—2.4

25

故结论⑤错误；

故选：C.

二.填空题(共6小题)

13.使得式子上有意义的x的取值范围是x<4.

V4-x

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：4-x>0,

：.x<4,

故答案为：x<4.

14.把多项式a3-6a?b+9ab2分解因式的结果是a(a-3b)?.

【分析】首先提公因式a,再利用完全平方进行二次分解即可.

【解答】解：a3-6a2b+9ab2

—a(a2-6ab+9b2)

=a(a-3b)2.

故答案为：a(a-3b)2.

15.已知实数m,n是方程x2-7x+2=0的两不等实根，则工二=_工_.

mn2

【分析】利用根与系数的关系得到m+n=7,mn=2,再通分得到工二=

mn

皿，然后利用整体代入的方法计算.

mn

【解答】解：根据题意得m+n=7,mn=2,

所以工4=三也=工.

mninn2

故答案为工.

2

16.如图，在正六边形ABCDEF中，AC=2爪，则它的边长是2

【分析】过点B作BGLAC于点G.,正六边形ABCDEF中，每个内角为

(6-2)X18O04-6=120°，即NABC=120°,ZBAC=ZBCA=30°,

于是AG=-1AC=M，AB=2,

2

【解答】解：如图，过点B作BGLAC于点G.

正六边形ABCDEF中，每个内角为(6-2)X18004-6=120°,

AZABC=120°,NBAC=NBCA=30°,

AG=AAC=5/3，

2

.\GB=1,AB=2,

即边长为2.

故答案为2.

17.如图，PA,PB是。。的切线，A,B为切点，Z0AB=38°,则NP=

76

【分析】由切线的性质得出PA=PB,PA±OA,得出NPAB=NPBA,Z

0AP=90°,由已知得出NPBA=NPAB=90。-NOAB=52°,再由三角

形内角和定理即可得出结果.

【解答】解：:PA,PB是。。的切线，

.•.PA=PB,PA±OA,

.\ZPAB=ZPBA,Z0AP=90°,

.,.ZPBA=ZPAB=90°-Z0AB=90°-38°=52°,

.,.ZP=180°-52°-52°=76°；

故答案为：76.

18.如图，菱形ABCD中，AB=2,NA=120°,点E、F分别在边AB、AD

上且AE=DF,则AAEF面积的最大值为—返

【分析】过点E作EM±AD交DA的延长线于点M,设AE=x,则DF=,

则4AEF面积的可表示出来，利用二次函数的性质即可求解.

【解答】解：过点E作EMJ_AD交DA的延长线于点M,设AE=x,则AE

=DF=x,

•.•四边形ABCD是菱形，ZA=120°,

.•.AB=AD=2,ZMAE=60°,

.•.AF=2-x,

EM=AE*sin60°=返乂，

2_

.'.SAAEF—工AF・EM=A(2-x)X返x=-返(x-1)'+返，

22244

.,.△AEF面积的最大值为返，

_4

故答案为：返.

4

三.解答题

19.计算：―14+(-3)-2+3tan30。/号.

【分析】根据整数指数基、负整数指数塞、特殊角的三角函数以及分母

有理化分别进行计算即可得出答案.

【解答】解：-14+(-3)-2+3tan30°丁％=-1+J+3X除-(2+技=

-1」+«-2-+V3=-至+2«.

99

20.先化简，再求值：(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=-

2

2"

【分析】注意到(a+3)2可以利用完全平方公式进行展开，(a+1)(a

-1)利润平方差公式可化为(a2-1),则将各项合并即可化简，最后

代入a=」进行计算.

2

【解答】解：

原式=a?+6a+9-(a2-1)-4a-8

=2a+2

将a=-工代入原式=2X(-A)+2=1

22

21.湖南师大附中组织集团校内七、八、九年级学生参加“12KM”作文比

赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2

两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题.

各年级参赛作文篇数条形统计图各年级参赛作文篇数扇形统计图

图1图2

(1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是」^度.八

年级参赛作文篇数对应的百分比是45%.

(2)请补全条形统计图.

(3)经过评审，全集团校内有4篇作文荣获特等奖，其中一篇来自九

年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校报上，请利用画树状

图或列表的方法求出九年级特等奖作文被选登在校报上的概率.

【分析】（1）求出总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的

圆心角的度数；求出八年级的作文篇数，再用3600乘以对应比例可得;

（2）补全条形统计图即可：；

（3）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D,其中A代表九年

级获奖的特等奖作文.列表求解即可得出答案.

【解答】解：⑴•.•参赛作文的总数量为20・20%=100（篇）,

九年级参赛作文篇数对应的圆心角是360°义里=126°,八年级的

100

参赛数量为100-（20+35）=45（篇），

则八年级参赛作文篇数对应的百分比是至X100%=45%；

100

七年级八年QL年级年级

各年级参赛作文篇数条形统计图各年级参赛作文篇数扇形统计图

图1图2

（3）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D,

列表如下：

ABCD

AABACAD

BABBCBD

CACBCCD

DADBDCD

由表格可知，共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中九

年级特等奖作文被选登在校刊上的可能性有6种，

所以九年级特等奖作文被选登在校报上的概率为&=」.

122

22.如图，四边形ABCD内接于。0,AC为。。的直径，D为众的中点，过

点D作DE〃AC,交BC的延长线于点E.

(1)判断DE与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若。。的半径为5,AB=8,求CE的长.

【分析】(1)连接0D,由AC为。。的直径，得到NADC=90°,根据加

=而，得到AD=CD,根据平行线的性质得到NCDE=NDCA=45°,求

得N0DE=90°,于是得到结论；

(2)根据勾股定理得到AD=CD=5«,由圆周角定理得到NABC=90°,

求得BC=6,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：（1）DE与。0相切,

理由：连接0D,

〈AC为。0的直径，

AZADC=90°,

•••D为宜的中点，

•*-AD=庙，

.\AD=CD,

.\ZACD=45°,

•.•0是AC的中点，

.\Z0DC=45°,

VDE//AC,

.\ZCDE=ZDCA=45°,

.,.Z0DE=90°,

二.DE与。0相切；

(2)7。。的半径为5,

.•.AC=10,

AD=CD=5«,

,「AC为。。的直径，

AZABC=90°,

VAB=8,

，BC=6,

ZBAD=ZDCE,

VZABD=ZCDE=45°，

.,.△ABD^ACDE,

23.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔

小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已

知某种土特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该土

特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：

x（元）152030…

y（袋）252010…

若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：

（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销

售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多

少元？

【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）

与销售价x（元）的函数关系式即可

（2）利用每件利润X总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可.

【解答】解：

（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）

的函数关系式为丫=1«+1）得

J25=15k+b,解得［k=-l

l20=20k+bIb=40

故日销售量y（袋）与销售价X（元）的函数关系式为：y=-x+40

（2）依题意，设利润为w元，得

w=（x-10）（-x+40）=-X2+50X-400

整理得w=-（x-25）2+225

：-KO

.•.当x=25时，w取得最大值,最大值为225

故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，

每日销售的最大利润是225元.

24.如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE,过顶点B

作BFJ_DE,垂足为F,BF交边DC于点G.

（1）求证:DG-BC=DF・BG；

（2）连接CF,求NCFB的大小;

（3）作点C关于直线DE的对称点H,连接CH,FH.猜想线段DF,BF,

CH之间的数量关系并加以证明.

AD

【分析】(1)根据正方形的性质得到NBCD=90°,证明NBGC=NFGD,

得到△BGCs^DGF,根据相似三角形的性质证明结论；

(2)连接BD,证明△BGCs/iDGF,根据相似三角形的性质得到NBDG

=NCFG,根据正方形的性质解答；

(3)在线段FB上截取FM,使得FM=FD,连接DM,证明△BDMs/\CDF,

得到BM=&CF,根据等腰直角三角形的性质得到CH=&CF,证明结论.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是正方形，

AZBCD=90°,

VBF±DE,

.*.ZGFD=90°,

ZBCD=ZGFD,

ZBGC=ZFGD,

.,.△BGC^ADGF,

•••-B-G--=--B-C-,

DGDF

.\DG・BC=DF・BG；

(2)解：如图1,连接BD,

,.,△BGC^ADGF,

BGCG,

**DG=FG，

・•.班捶,

CGFG

VZBGD=ZCGF,

.,.△BGD^ACGF,

.,.ZBDG=ZCFG,

•••四边形ABCD是正方形，BD是对角线，

AZBDG=1ZADC=45°,

2

.,.ZCFB=45°；

(3)解：BF=CH+DF,

理由如下：如图2,在线段FB上截取FM,使得FM=FD,连接DM,

VZBFD=90°,

：.ZMDF=ZDMF=45°,DM=V^DF,

VZBDG=45°,

.*.ZBDM=ZCDF,

ABGD^ACGF,

.\ZGBD=ZDCF,

.,.△BDM^ACDF,

•BMDM

••乐而Sr'

.,.BM=V2CF,

VZCFB=45°,BF±DE,

点C关于直线DE的对称点H,

.\ZEFG=ZEFC=45O,

.\ZCFG=90°,

VCF=FG,

.\CH=V2CF,

，BF=BM+FM=CH+DF.

25.已知抛物线y=ax'-2ax-3a(a>0)与x轴交于A、B两点(A在B

的左侧)，与y轴交于点C,过点A的直线y=kx+b与y轴交于点D,

与抛物线交于点E.

(1)若k=«且点C与点D关于x轴对称，求a的值；

(2)若a=2,NDAB=L/CBA,求直线y=kx+b的解析式；

32

(3)若点E在第一象限，问：是否存在直线y=kx+b,使得

ABC相似？若存在，请求出直线y=kx+b的解析式，若不存在，请说明

理由.

【分析】(1)当y=0时一，ax2-2ax-3a=0,解方程，得出点A和点B

的坐标，用含a的式子表示出点C和点D的坐标，用含a的式子表示出

直线AD的解析式，再结合k=«,可解得a的值；

(2)作NCBA的平分线BF交y轴于点F,过点F作FGJ_BC于点G,判

定Rt^BFG/Rt^BFO(HL),则可得BG=BO=3,分两种情况讨论：①

当点D在y轴正半轴时，②当点D'与点D关于x轴对称时，分别求解

即可；

(3)存在.分两种情况，分别画出图形并求解：①当△ABEs/SBCA时，

②当△AEBs/SABC时，分别判定△AODs^BOC或AAOD0△AOC,得出

比例式，将点D的坐标用含a的式子表示出来，从而表示出直线AE的

解析式，再将其与抛物线的解析式联立，则可解得点E的坐标，再根据

相似三角形的性质得关于a的方程，解得a的值，则可得要求的直线的

解析式.

【解答】解：(1)在丫=a*2-22*-3a(a>0)中，

当y=0时，ax'-2ax-3a=0,

Va>0,

.,.X”-2x-3=0,

••Xi=-1,X2=3,

当x=0时、y=-3a,

Z.A(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),

•••点C与点D关于X轴对称，

AD(0,3a),

/.0A=L0D=3a,

Vk=P2=^-=3a,且1<=心

OA1

••3a--y3?

(2)作NCBA的平分线BF交y轴于点F,过点F作FG_LBC于点G,

则NBGF=NB0F=90°,FG=FO,

又•.，BF=BF,

.,.RtABFG^RtABFO(HL),

.\BG=B0=3,

①当点D在y轴正半轴时，

,.,a=2时，y=Ax2--§.x-4,

333

AC(0,-4),

.\0C=4,

.\BC=5,

.•.CG=5-3=2,

设FO=m,贝！JFG=m,CF=4-m,

在Rtz^CFG中，FG2+CG2=CF2,

m2+22=(4-m)",m=&,

2

.,.F0=2,

2

VZOBF=1ZCBA,ZOAD=1ZCBA,

22

.\ZOBF=ZOAD,

又,:ZAOD=ZBOF,

，AAOD^ABOF,

AOD：OF=OA：OB,

AOD：1=1：3,

2

.\OD=1,

2

AD(0,1),

2

.*.b=A,

2

将A(-1,0),b=L代入直线y=kx+b,

2

0=-k+A,

2

/.k=A,

2

.*.y=ix+A；

22

②当点D'与点D关于x轴对称时，D'(0,

0=-k--1.,

2

/.k=-A,

2

/.y=-Ax-A；

22

综上，直线的解析式为y=」x+」或y=-lx-A；

①当aABEs^BCA时，NEAB=NABC,

，AE〃BC,

二.AAOD^ABOC,

/.OD：Oc=OA：OB,

AOD：3a=l：3,

0D=a,

.*.D(0,a),

将A(-1,0),D(0,a)分别代入丫=1«+13,得:

jf-bk=+ab=O'

k=a

b=a，

.*.y=ax+a,

联立［尸ax：,得:

y=ax"-2ax-3a

ax-2ax-3a=ax+a,

Va>0,

.*.x2-2x-3=x+L

解得xi=-l(舍去)，X2=4,

•.y=4a+a=5a,

AE(4,5a),

二•AE=也4+1)2+(52)2

=y/25a2+25f

VAABE^ABCA,

•BCAB

AB=AE，

•49a2+9=4

4425a2+25

.*.15(a2+l)=16,

Va>0,

,*.a=2/IE,

15_

/,y=VlEx+2/Il.；

1515

②当△AEBs/XABC时，NEAB=NBAC,

又•.•NA0D=NA0C=90°,AO=AO,

AAOD^AAOC(ASA),

OD=OC=3a,

.*.D(0,3a),

将A(-1,0),D(0,3a)分别代入丫=1«+1),得:

f-k+b=O,

lb=3a

.•Jk=3a,

1b=3a

•.y=3ax+3a,

联立,=3a;+3a,得：

y=ax"-2ax-3a

ax'-2ax-3a=3ax+3a,

Va>0,

/.x2-2x-3=3x+3,

解得X1=-1（舍去），X2=6,

.,.y=3aX6+3a=21a,

AE(6,21a),

AE=V(6+l)2+(21a)2

=7y/^，

,ZAAEB^AABC,

•••AC2---A,B

ABAE

•{(-3a)2+(-1)'4

4749a2+1

.,.9a2+l=JA,

7

.*.a2=:A,

7

Va>0,

.*.a=2ZZ,

7

综上一=鲁+唔或丫=事＜+乎

26.我们规定：只有一组对角为直角的四边形称之为“伪矩形”

(1)如图1,已知四边形ABCD为“伪矩形”，且NABC=90°,证明：

A,B,C,D四点在同一个圆上；

(2)在(1)问情况下，分别延长AD至E,CD至F使得ED=AD,FD=

CD,连接AF,EF,CE,得到四边形ACEF.如图2,当BD平分NABC时，

判断四边形ACEF为何种特殊四边形？请说明理由，若AB=3&,BD=7,

求BC的长；

(3)已知四边形ABCD为“伪矩形”，且NABC=90°,AC_LBD于0,以

0为坐标原点，直线AC作x轴，直线BD作y轴，建立如图3平面直角

坐标系，已知二次函数y=ax?+bx+c经过A,B,C三点，P为二次函数

图象上A,B之间的一个动点，记AAOB的面积为Si,ZkCOD的面积为

S2,AABP的面积为S3,且满足以下两个条件：①Si=4Sz,②S3的最大

值为4,求此二次函数的解析式.

【分析】(1)取AC的中点M,连接BM、DM,根据伪矩形的概念即可解

决问题