概率论与数理统计复习提纲

概率论与数理统计复习提纲

概率论与数理统计复习提纲

一，事件的运算

如果A，B，C为三事件，则A+B+C为至少一次发生,为至少一次不发生,AB+BC+AC和BCACABABC都是至少两次发生,BCACAB为恰有两次发生.ABC为恰有一次发生,等等,要善于将语言翻译成事件运算公式以及将公式翻译成语言..

二,加法法则与乘法法则

如A与B互不相容,则P(A+B)=P(A)+P(B)

P(AB)=P(A)P(B|A)

而对于任给的A与B有

P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)(1)

因此,P(A+B),P(A),P(B),P(AB)这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来.而P(AB)=P(A)P(B|A),因此P(A+B),P(A),P(B),P(B|A)只要知道三个,剩下的一个就能够求出来.

P(A)P(A)P(AB)也是常用式子

三,全概率公式和贝叶斯公式

及P(Am|B)P(Am)P(B|Am),(m1,2,...)(贝叶斯公式)P(Ai)P(B|Ai)

i设A1,A2,…,构成完备事件组,则任给事件B有P(B)P(Ai)P(B|Ai)(全概率公式),i

其中,最常用的完备事件组,就是一个事件A与它的逆,即任给事件A,B有

P(B)P(A)P(B|A)P()P(B|)P(A|B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P()P(B|)通常是将试验想象为分为两步做,第一步的结果将导致A或者之一发生,而这将影响到第二步的结果的事件B是否发生的概率.如果是已知第一步的各事件概率及第一步各1

事件发生条件下第二步事件B发生的概率,并要求B发生的概率,就用全概率公式.而如果是要求在第二步事件B已经发生条件下第一步各事件的概率,就用贝叶斯公式.四,随机变量及分布

1.离散型随机变量

一元:P(ξ=xk)=pk(k=1,2,…),性质:pk1

k

二元:P{ξ=xk,η=yj)=pij(i,j=1,2,…)

边缘分布与联合分布的关系:

P{xi)pijpi(1)

j

P{yj)pijp

i(2)j

2.连续型随机变量

b

~(x),P(ab)(x)dx,性质:(x)dx1

a

x

分布函数为F(x)P(x)(t)dt,且有F(x)(x)

如ξ~φ(x),η=f(ξ),则求η的概率密度函数的办法,是先求η的分布函数Fη(x),

F(x)P(x)P(f()x),

然后对Fη(x)求导即得η的概率密度函数.

五,随机变量的数字特征

数学期望:离散型:Exkpk

k1

连续型:Ex(x)dx性质:E(+)=E+,E()=EE方差:2离散型:先计算Exkpk,则DE2(E)22

k1

连续型:先计算E2

222x(x)dx,DE(E)则

2

性质:如,相互独立,则D(+)=D+D,D()=D+D协方差和相关系数:计算两个随机变量和的协方差cov(,)和相关系数的关键是计算(,离散型:E()xiyjpijij则cov(,)=E(E()E()cov(,)

DD

六,几种常用的分布

二项分布kkξ~B(n,p)是指P{k}Cnp(1p)nk.它描述了贝努里独立试验概型中,事件A发生k次的概率.试验可以同时进行,也可以依次进行.

超几何分布将N个元素分为N1个和N2个两类,N1+N2=N,从中任取n个,其中N1个元素的个数是一随机变量,服从超几何分布,且有P(k)knkCNCN12

nCN

普阿松分布

服从普阿松分布,是指其概率函数为

P(k)

正态分布kk!e,k0,1,2,服从正态分布,即~(x)服从标准正态分布~N(,)12e(x)222,记作~N(,2).性质:如果~N(,),则a+b~N(b,a2)

指数分布

1xe服从指数分布,即~(x)0

x0x03

0它的分布函数为F(x)x1e

七,统计量

x0x0假设是总体,E=,D=2,而(X1,…,Xn)是取自总体的样本,则EXi=,DXi=2(i=1,…,n)1n1n22样本均值Xi,样本方差S(X)ini1n1i1

样本标准差S1n

(Xi)2n1i1

E,D2

n

八、典型例题

习题一

1．为了防止意外，在矿内同时设有两种警报系统

，

为

，在

失灵条件下，

和

，每种系统单独使用时，其有效概率

，求：为

有效的概率为

⑴发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率？⑵

失灵条件下，

有效的概率？

[解答]⑴由题意可得

即

得

则

⑵由题意可得

2．三个箱子，第一个箱子中有

个黑球

个白球，第二个箱子中有

个黑球

个白球，第三个箱子有

个黑球

个白球，现在随机的取一个箱子，在从这个箱子中取一个球，问；⑴这个球是白球的概率？

4

⑵已知取出的球为白球，此球属于第二个箱子的概率？

[解答]设

﹛从第

个箱子中取到白球﹜

﹛取到白球﹜

⑴由全概率公式可得

⑵由贝叶斯公式可得

3．假使有两箱同种零件：第一箱内装

件，第二箱内装

件，其中

件一等品，现在从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取回的零件不放回），求：⑴先取的零件是一等品的概率

？

？⑵在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的条件概率

[解答]设﹛被挑出的是第

箱﹜

﹛第次取出的零件是一等品﹜

则

，

,

⑴

⑵由全概率公式可得

5

4．袋中有

个球，其中有

个是新的，第一次比赛时从中任取

第二次比赛再从袋中任取

个，求：

⑴第二次取出的球都是新球的概率？

⑵又已知第二次取出的球都是新球，第一次取到的都是新球的概率？

[解答]设

﹛第次取到新球﹜

﹛第二次取到新球﹜个用，比赛结束后仍放回袋中，

⑴

⑵

5．设甲乙两袋，甲袋中装有个白球，个红球，乙袋中装有

个白球，

袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问取到白球的概率？

﹛从甲袋中取到白球﹜个红球，现在从甲[解答]设

﹛从甲袋中取到红球﹜﹛从乙袋中取到白球﹜

6

则

6．设有来自三个地区的各

名，

名和

名考生的报名表，其中女生的报名表分别为

份，

份和

份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，

⑴求先抽到的一份中是女生表的概率

？

⑵已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率

？

[解答]设﹛报名表是

区考生的﹜

﹛第次取到的报名表是男生的﹜

则

；

,

,

⑴

⑵由全概率公式可得

7

于是

7．

架长机和

架僚机一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地，非有无线电导航不可，而只有长机具有此项设备，一旦到达目的地，各机将独立的进行轰炸，且炸毁目的地的概率均为

，在到达目的地之前，必须经过高射炮阵地上空，此时任一机被击落的概率为

，求目标被炸毁的概率.

[解答]

｛目标被炸｝

｛长机到达目的地｝

｛长机与一架僚机到达目的地｝

｛长机与两架僚机到达目的地｝

表示长机到达

8

表示一架僚机到达

表示另一架僚机到达

习题二

一．填空题

1．设随机变量

～

，

～

，若

，可得

，则

＿[解答

]

则

9

2．已知随机变量

＿只能取

四个数，其相应的概率依次为

，则

[解答]由，可得

，解得

4．设

在

上服从均匀分布，则方程

有实根的概率为＿

[解答

]{方程有实根}

6．已知

联合密度为

，则＿，

的边缘概率密

度

＿

[解答]由

，可得

，得

7．设平面区域

由曲线

及直线

关于

的边缘密度在

所围成，二维随机变量

处的值为＿在

上服从均匀分布，则

10

[解答]区域

的面积为

，由题意可得

的概率密度为

则关于

的边缘密度在

处的值为

三．证明题

2．设

从参数为

是相互独立的随机变量，他们分别服从参数为

的泊松分布.的泊松分布，证明：

服

证明：因为

，

于是

=

即

服从参数为

的泊松分布.

3．设

是分布函数，证明：对于任意

，函数

也是分布函数.

证明：作积分变换，则

11

⑴

是分布函数，于是

即

⑵

是分布函数，对于任意

，有

所以

是递增函数.

⑶

是分布函数，所以对

，当

时，

，于是

由

任意性可知

，即

右连续.

⑷因为

所以对

，当

时，

，当

时，

于是当

时

由

任意性可知

12，

当

时

由

任意性可知

综上所述，

四．计算题也是分布函数.

2．某射手有

发子弹，射击一次命中率为

，如果他命中目标就停止射击，命不中就一直射击到用完

发子弹，求所用子弹数

的分布密度.

[解答]由题意可得

的分布率为

即的分布率为

6．随机变量

的分布密度为

求：⑴常数.⑵

⑶分布函数

.

[解答]⑴由

的性质可得

即

⑵

13

⑶

当时，

当时，

当

时，

的分布函数为所以

7．设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差

具有分布密度函数

求：⑴测量误差的绝对值不超过

的概率.

的概率.⑵接连测量三次，每次测量是相互独立进行的，则至少有一次误差的绝对值不超过

[解答]⑴由题意可得

～

，则

⑵

～

则

14

8．设电子元件的寿命

具有密度为

问在

小时内，⑴三只元件中没有一只损坏的概率是多少？⑵三只元件中全损坏的概率是多少？⑶只有一只元件损坏的概率是多少？

[解答]以表示第

只电子元件的寿命，以

表示事件“在使用

小时内，第

只电子元件损坏”，则

⑴

⑵

⑶

9．对圆片直径进行测量，其值在

上均匀分布，求圆片面积的概率分布.

[解答]设圆片直径的测得值为

，面积为

，则

，又

的分布密度为

由

，有

，在

为单调函数，则

，则

15

故

11．设

示服从参数为

的

分布，在

下，关于

的条件分布为表

，表

所

求

的联合概率分布，以及在

时，关于

的条件分布.

[解答]由题意可知

，

，所以

又

所以的联合概率分布为在

时，关于

的条件分布为

12．设随机变量

[解答]由题意可得相互独立，并在

上服从均匀分布，求随机变量

的分布密度.16

由于

相互独立，故

的联合分布密度函数为

⑴当

时，

，所以

⑵当

时，

，所以

⑶当

所以时，

，所以

13．设

相互独立，分布密度分别为

求随机变量

[解答]由于

的分布密度.相互独立，故

的联合分布密度函数为

17

则

的分布函数为

当时，

当

时，

所以

的分布密度为

，即

14．设

相互独立，且在上均匀分布，求使方程

[解答]在上均匀分布，则的分布密度为

又相互独立，所以

～

方程

有实根条件是

即

18有实根的概率.

所以

15．设

的密度为

求：⑴

;⑵

[解答]⑴

⑵

16．假设随机变量

服从参数为

的指数分布，随机变量

19

⑴求

和

联合概率分布；⑵求

服从参数为

[解答]随机变量

的指数分布，则由题意可得

⑵

习题3

＿5．设

～

，

(为正整数)，则

[解答]由题意有

(奇函数)

所以

故

6．设随机变量

在区间

上服从均匀分布，随机变量

，则方差

＿

[解答]由题意可得

20

则

，所以

7．若随机变量

布，

＿，

相互独立，且服从相同的两点分布

＿.，则

服从＿分

[解答]设

为事件发生的概率，则由题意可得

所以

一．选择题

1．设随机变量

与

独立同分布，记

独立

，则随机变量

与

必然

不独立

相关系数为零

相关系数为零

[解答]

所以

与

互不相关，故选择

，但

与

互不相关却不能推断出

与

相互独立.

2．设

，则

不存在

21

[解答]由于

4．已知

与

与

为非收敛数列，所以

不存在,故应该选

.的联合分布如下表所示，则有

不独立

与

独立

与

[解答

]与

不相关

与

彼此独立且相关的边缘分布律分别为

～

～

则可计算得

，所以

与

相关，又

所以

与

不独立，故应该选

.

9．随机变量

与

不相关的充分必要条件为

[解答

]不相关的充要条件是

，则

即

，于是

22，所以选

.

10．人的体重

确的是

～

，

，

，

个人的平均体重为

，则下列结论正

[解答]由题意可知

，则

所以应该选

三．证明题.

1．设

是随机变量，是常数，证明：

，其中

.证明：

和

2．设

为相互独立的随机变量，其分布密度为

，

证明：他们的卷积，即随机变量

证明：由题意可知

和

服从

的分布密度也服从正态分布.分布，则

23

令

，得

即

也服从

分布.

3．设

证明：因为

相互独立，证明：

相互独立，所以

于是

又

从而

4．设

和为随机变量的任意两个可取值，

24分别为其数学期望与方差，则

证明：

四．计算题

1．设

的分布律为

，求

.

[解答]

2．设随机变量

具有概率密度为

，求

.

25

[解答

]

3．设随机变量

和

的联合分布为

求

[解答]的概率分布为

则

4．一汽车沿一街道行使需要通过三个设有红绿信号灯路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以

表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求：⑴

的概率分布；⑵

[解答]⑴

的取值应该为

，且

以

表示事件“汽车在第

相互独立，则个路口首次遇到红灯”，则

26

⑵

5．设

的分布密度

求

.

[解答

]

6．设

服从区域

上的均匀分布，求相关系数

.

[解答]因为

的面积为

，故

和

的联合密度函数为

于是

即

27

则

又

则

7．在长为

[解答]设

的线段上任选两点，求两点间距离的数学期望与方差.分别表示两点的坐标，

服从区域

上的均匀分布，其联合密度函数为

令

，则

的分布密度为28

当时，

当

时，

于是

当

时，区域

包含整个正方形区域，则

即