人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：5. 5 . 2 简单的三角恒等变换

5.5.2简单的三角恒等变换

【学习目标】1.能用二倍角公式导出半角公式2了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三

角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒

等式，并能进行一些简单的应用.

知识梳理梳理教材夯实基础

知识点一半角公式

a/1+cosa

哼=±\

a_/1—cosasina1—cosa

tan21+cosoc1+cosotsince'

知识点二辅助角公式

a/1十cosa

1.cos2=x\/--7-----(X)

ot1、

2.对任意a£R,sin'=］cosa都不成立.(X)

3.若cosa=g,且。£(0,7i),则8$卷=半.(V)

4.对任意Q都有sina+小cosa=2sin(a+0.(V)

题型探究探究重点素养提升

--------------------N--------------------

一、三角恒等式的证明

..tl+sin———coseLl+siii1+cose2

"T1+sine+cos。l+sing—cos。sin夕

「4〜ee-〃〜夕e

2sm5十2sHi5cos52cos弓十zsinzcosT

证明方法一左边=

c用〜ee「4〜ee

2cos［十zsinTcosT2sin］十ZSIBTCOST

乙乙乙乙NN

,ee

sin/cos]]2

―3+—e=—e3=sine=右边•

cos'sin]cos5smi

所以原式成立.

、—,.(]+sin。-cos。)2+(]+sin9+cosgp

万,一工J(l+sin9+cose)(l+sin8—cos。)

2(1+sin。)2+2cos2。4+4sine_____2

(l+sin0*2—cos202sin^+2sin2^sin。

所以原式成立.

反思感悟三角恒等式证明的常用方法

⑴执因索果法：证明的形式一般是化繁为简；

⑵左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；

(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之,

即化异求同；

(4)比较法：设法证明“左边一右边=0"或“左边/右边=1"；

⑸分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事

实为止，就可以断定原等式成立.

跟踪训练1求证：

_________2sinxcosx___________1+cosx

(sinx+cosx-l)(sinx-cosx+1)siiix'

2sinxcosx

证明左边=

____2siaxcosx_______sinx

).H亡•®

4sin2dcos2^—sin弓I2sin2T

%c/

cos}2cost1I

221+cosx

———:—右边.

.x.xxsinx

sin/2smicos/

所以原等式成立.

二、三角恒等变换的综合问题

例2已知函数yU)=4cos0x-sin(ox+3(o>O)的最小正周期为兀.

⑴求。的值；

冗

⑵讨论以X)在区间[o,m上的单调性.

角星(1)J(x)=4cos①》sin(①x+§

=2r\f2sincDX-coscox-\-2\f2cos2cox

=y[2(sin2cox+cos2s:)

=2sin(2①x+3+也.

因为y(x)的最小正周期为兀，且口＞0,

2兀

从而有京=兀，故8=1.

(2)由(1)知，五x)=2sin(2x+2+，I

若OWx若，则;W2x+g系.

当芍，即044,於）单调递增；

当京2x+：W苧，即引3W冷时，式的单调递减.

综上可知，/（X）在区间［o,幻|上单调递增，在区间《，5」上单调递减.

反思感悟研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当

的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质.在这个过程中通常利

用辅助角公式，将y=〃siiu:+Z?cosx转化为》=①111（%+夕）或y=Acos（x+g）的形式，以便研究

函数的性质.

跟踪训练2已知函数/jXtMsinZx—sinzQ—专），x£R.

（1）求加）的最小正周期；

⑵求段）在区间［一?"上的最大值和最小值.

q士1—cos2x—cos（2x—2

解（1）由已知，有fix）=2—2

=1^cos2x+坐sin2,-1cos2x

=^in2x-|cos2x4in^-§.

所以於）的最小正周期7=号771=兀

⑵因为小）在区间［兰，一,上是减函数，在区间［一/田上是增函数，

且/W4司=一玄巧邛,

所以犬x）在区间一1，:上的最大值为坐，最小值为一：

三、三角函数的实际应用

例3如图，有一块以点。为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD

开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点3,C落在半圆的圆周上.已知半圆

的半径长为20m,如何选择关于点。对称的点A,。的位置，可以使矩形ABC。的面积最大，

最大值是多少？

DOA

解连接OB（图略），设/&。8=a

贝AB=OBsin0=2OsinO,OA=OBcos3=2Ocos0,且6d（0,百）.

因为A,关于原点对称，

所以AD=20A—4Ocos0.

设矩形ABC。的面积为S,则

S=AZ>A3=40cos820sin9=400sin2夕

因为所以当sin28=l,

7T

即时，Smax=400（m2）.

此时40=00=1至（01）.

故当A,。距离圆心。为lS「m时，矩形ABC。的面积最大，其最大面积是400m2.

反思感悟（1）三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借

助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角恒等变换

的方法解决实际的优化问题.

（2）解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式.

跟踪训练3如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△042

的周长最大？

0B

TF

解设NA05=a,则0<冰亍△Q45的周长为/,

0B

则AB=Rsina,OB=Rcosa,

.'.l—OA+AB+OB—R+Rsina+Rcosa

=R(sina+cosa)+E

=梃Z?sin(a+J+R.

・.八兀.兀,7i3K

.0<a<2，

；•/的最大值为陋R+R=(陋+1)R,

IIM।1兀兀口H兀

此时，a+a=5，即Q=W，

即当a=彳时，△04B的周长最大.

随堂演练基础巩固学以致用

1.已知cosa=g,aG岸，2兀），则si球等于（）

A.辞乎普D.芈

『答案』A

『解析』V«e（y,2K）,

2.若函数兀0=-si/x+aCrGR）,则八尤）是（）

A.最小正周期为方的奇函数

B.最小正周期为兀的奇函数

C.最小正周期为2兀的偶函数

D.最小正周期为兀的偶函数

『答案』D

1—X11

『解析』4%）=-----2------+]=]cos2x.故选D.

3.下列各式与tanoc相等的是()

/1-cos2asina

A'/1+cos2a^l+cosoc

since1—cos2a

01—cos2aDsin2a

『答案』D

l—cos2a2sin2asina

『解析』sin2a2sin(zcosotcosatana.

4.函数y=—d5sinx+cosx在［一茅看上的值域是

『答案』『0,3』

『解析』y=—'45sinx+cosx=2sin《一，

又・・・-卜%吟

・••。日尤奇.

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5.已知Isin]—cos2=—j1,