六年级奥数：扇形的周长与面积和弓形面积

六年级奥数:扁彬的周衣与面积我学杉面积

圆规和直尺

圆规和直尺一块儿住进了文具盒。

圆规说：“我能画圆，你行吗？”

“我横竖都会画，你行吗？”直尺很不服气。

文具盒听了，说：“别争了，谁能画一面扇形,谁就最行。”

圆规和直尺都为难了。文具盒又说：“你俩一块儿合作,不就行了吗？”

圆规和直尺同心协力，很快画好了扇形。从此,它们成了好朋友。

编后语：

圆规和直尺各有自己的长处，也各有自己的不足，两者是不应互相瞧不起的。后来，由于双

方的真诚合作,充分发挥了各自的优势,创造了许多新的事物。这则寓言告诉我们这样一个道理:

一个人的智慧和力量是有限的,众人合作就会创造出新事物,新生活。

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圆的知识：

I.当一条线段绕着它的一个端点o在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲

线叫做圆，点0叫做这个圆的圆心.

2.连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.

3.连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心的弦叫做圆的直径.

4.圆的周长与直径的比叫做圆周率.圆周上任意两点间的部分叫做弧.

5.圆周长=直径＞＜兀.=半径X2兀圆面积=兀义半径2.

扇形的知识：

1.扇形是圆的一部分,它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆

心的角叫做圆心角.

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2.我们经常说的《圆、J圆、J圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个

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扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是忌.

360

3.扇形中的弧长=怒.扇形的周长=黑+2r.扇形的面积==

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弓形的知识：

【例1】弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形.【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面

积.（除了半圆）】

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重点:圆与扇形的面积和周长计算公式；弓形的面积公式。

难点:计算周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些,再正确计算。

计算面积时，首先要根据图形组合的形式用会求的图形的面积去求的题目所要求的图形面积。

筋

【例1】将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图放置（小圆过大圆圆心），那么阴影部分

的周长是多少厘米？

法1:阴影部分的周长=大半圆弧长+小半圆弧长+两条线段的长。

=大半圆弧长+小半圆弧长+（小圆直径一大圆半径）+大圆半径

法2:阴影同分的周长=大半圆周长+小半圆周长-2x大半圆半径

【答案】阴影部分的周长=2Trx2x9+2nx3x：+(3-2)+3=5n+4=19.7(厘米)

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【巩固】如图所求，圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周

长是厘米.（%=3.14）

2

【解析】设圆的半径为r,则圆面积即长方形面积为"，故长方彩的长为°C=汁.

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阴影部分周长=0C+BC+BA+AD=+r+（^r-r）+-x2jrr=-x2jrr=2sx16.4=20.5（厘米）.

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【答案】20.5厘米

【例2】在一个大圆内有许多个小圆，其直径的和等于大圆的直径。请问:大圆周长与所有小圆

周长之和哪一个更长？

【解析】设五个圆的直径分别为d「d2,d3,d4,d5)则ds=d]+d2+d3+d4

所有小圆周长的和=rrdi+ndz+nd3+nd4=7T(di4-d24-d3+di)mds=大圆周长

【巩固】已知AB=50厘米，求图中各圆的周长总和。

【解析】各圆周长的和=直径为50厘米的大圆的周长。

【答案】各圆周长的和=50TT=157cm

［例3］夏天到了，爸爸从商店买了4瓶啤酒，售货员将4瓶啤酒捆扎在一起，如图7所示，捆4圈

至少用绳子多少厘米？（接头处忽略不计）

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【解析】捆每一圈的绳长可分解为四段相等的弧长与四段相等的线段长.

捆每一圈的四段弧长可以拼成一个整圆，每条线段的长度都等于直径的长度。

总绳长=（7x4+7兀）x4（厘米）=（28兀+112）（厘米）=199.92（厘米）

【巩固】有7根直径5厘米的塑料管用一根橡皮筋把它们捆成一捆（如下图），此时橡皮筋的

长度是多少？

捆每一圈的绳长可分解为6段相等的弧长与6段相等的或段长。

捆每一圈的6段弧长可以拼成一个整圆，每条线段的长度都等于直径的长度。

总绳长=5'6+5£（厘米）

【答案】总绳长=5x6+5^（厘米）=45.7（厘米）

【例4】三个半径为100厘米且圆心角为60。的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是

________厘米.（兀取3.14）

【解析】三个扇彩的弧长相当于半径100厘米，圆心角为180度得扇形弧长，2X3.14X理=314厘米

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【巩固】分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到

右图；那么，阴影图形的周长是_______厘米.（万取3.14）

【解析】每段弧长为六分之一圆弧，

因此阴影的周长=六个六分之一圆弧的长度和=一个圆的周长=2x2X3.14=12.56厘米

［例5］求下列各个阴影部分的面积；（答案用口表示即可）

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(1)阴影面积二扇形面积三角形面积=n62x三一6X3+2=9TT—9

4

(2)阴影面积=扇形面积一三角形面积542X--4x4-i-2=4n—8

4

(3)阴影面积=(扇形面积一三角形面积)X2

或者阴影面积二扇形面积X2—正方形面积=n42X-X2—4X4=8n—16

4

(4)阴影面积=扇形面积一半圆面积=TT22x--irl2x-=-n

422

(5)阴影面积=正方形面积扇形面积=4X4—TT42x三=16—4it

4

【巩固】下列图形中的正方形的边长为4,求各个阴影部分面积的大小；(答案用口表示即可)

(1)阴影面积=4倍叶子的面积=4x(2x2-TC22+4)=16-4n

(2)阴影面积=正方形面积1个圆面积=4X4—TT22=16—4TT

【例6］在直角三角形中，已知三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，以三角形的顶点为

圆心的三个圆，半径长都是1厘米，求图中阴影部分的面积。()

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阴影面积=直角三角彩面积减去三个扇形面积之和

三个扇形面积之和=半径为1的圆的面积

【答案】阴影面积=3*4+2-冗％12=6-71（厘米）=3（厘米）

【巩固】图中三个圆的周长都是25.12厘米，不用测量，计算出图中阴影部分的总面积。

【解析】先求出扇形的半径

三个小扇形和在一起是一个角度为3祉90=270度的扇影

【答案】阴影部分的面积=（25.12+3.14+2）2X随a=37.68（平方厘米）

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【例7］两个圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分面积相等，求长方形ABOO"的面积。（71

取3）

【解析】直接去求，设阴影部分的面积为a,

则长方形ABOCF的面积2x-rrxl2+-x-rrxl2-a+a=-ir=0.5平方厘米

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【巩固】下图中，正方形的边长是5cm，图形的总面积是多少？（兀取3）

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【解析】一个圆的面积+四分之三圆的面积+（正方形面积-四分之一圆的面积）

=一又二分之一圆面积+正方形面积=37.5兀+25=137.5平方厘米

【例8】如下图所示,AB是半圆的直径,0是圆心,,M是的中点,H是弦CD的中点.若N是03上

一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是_______•平方厘米.

由于C、D是半圆的两个三等分点，M是丽的中点，H是弦CD的中点，所以这个图形是对称的，由对称

性可知CD与AB平行，所以，三角形CHN和三角形CHO的面积相等.所以阴影部分的面积等于扇形

COD的面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的三分之一，所以阴影部分的面积等于半圆的六

分之一，为12+6=2平方厘米

【巩固】如图,C、D是以AB为直径的半圆的三等分点,0是圆心，且半径为6.求图中阴影部分

的面积.

连接OC、OD.CD

由于由于C、D是半圆的两个三等分点，所以三角形AOC和三角形COD都是正三角形，那么CD与AB

平行，所以三角形AOC和三角形COD的面积相等，那么所以阴影部分的面积等于扇形COD的面积。为

nX62x==6Tt=18.84

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［例9］图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，角ABC等于30°,

求阴影部分的面积O

连接CO,,则阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积一扇形AOC面积一三角形COB面积

阴影部分的面积=7—工X7tX22-ix7=---7t=3.25平方厘米

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或者是阴影部分的面积上—f-X7ix22-=——171=3.25平方厘米

2\624/43

【巩固】三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC=6CM,BD:DC=3:1,求阴影部分的面

积。

B

【解析】三角形ADC的面积=四分之一三角形ABC的面积=3124=7.8

三角形AOD的面积=二分之一三角形ADC的面积=3.9

阴影面积=三分之一圆-3.9=3兀-3.9=5.52平方厘米

【例10］每个小圆的半径都是1,求阴影部分的周长和面积

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【解析】由小圆的半径可以推出大圆的半径为3.

阴影部分的面积=大圆的面积减去7个小圆的面积

=ir32—TTX12X7=2TT=6.28

阴影部分的周长=大圆的周长加上7个小圆的周长

=2nx3+2irxlx7=2On-62.8

【巩固】正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以ABCD为圆心，以ADBECFDG为半径画出

扇形，得到下图，的阴影部分，求阴影部分的面积和周长。

G

【解析】阴影部分的面积为四个扇形的面积和。

阴影部分的周长为四个四分之一圆弧的和+一个正方形的边长。

阴影部分的面积々X3.14X(I2+22+324-42)=23.55平方厘米

阴影部分的周长2X2X3.14X(1+2+3+4)+1X4=19.7厘米

4

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1、下图是三个半圆(单位:cm),其阴影部分的周长是多少?

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【解析】阴影部分的周长=三个半圆的周长相加

【答案】阴影部分的周长=（10兀+3兀+13兀）+2=13兀

2、一个人要从A地到B地（如图），有两条路可走，是按哪一号箭头所走的路线近一些?为什么?

两条路线相等。

设五个圆的直径分别为d2,d3,d4,则d4=di+d2+d3

2号路线=(irdi+nd2+nd?)-e-2=n(dx4-d2+d3)+2=nd4+2=1号路线

【答案】一样近。

3、如下图所示，平行四边形ABCD的面积是40求图中阴影部分的面积。

【解析】连接BD三角形BDC面积=20

因为O为DC中点，三角形BOC面积为三角形BDC面积的一半等于10cm?

4、图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是多少平方厘米？

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6cm

从圆中可以看出，阴影部分的面积是两个半圆的面积与三角形面积之差，即3.14x（6+2）2--x62=10.26

在解决圆与扇形的周长和面积时,首先要找到所求图形的周长（或面积）是由哪几部

分组成的，再利用公式去解决问题。

1、AB是圆的直径,C、D是AB上两点且AC=CD=DB=3厘米.求阴影部分的周长。

【解析】阴影部分的周长=2个直径为6的半圆的弧长+2个直径为3的半圆的弧长

【答案】阴影部分的周长=6n+3n=9n=28.26（厘米）

2、如图所示，连接六个半径为3厘米的小圆的圆心组成一个六边形，求六边形内阴影部分面积。

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【解析】利用六边形的内角和为720度。相当于两个小圆的面积。

阴影部分面积=nx3?x昼=18n（平方厘米）