2024年山东省泰安市第六中学新校区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

2024年山东省泰安市第六中学新校区中考二模数学试题一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案选出来，每小题选对得4分，选错、不选、或选出的答案超过一个均记零分）1.下列四个数：，，，，其中最小的数是（）A. B. C. D.2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.3.2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（）A B.C. D.4.生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.一块含有30°的直角三角板和直尺如图放置，若，则∠2的度数是（）A.35° B.45° C.55° D.65°6.下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩线计表．成绩（分）30252015人数（人）21若成绩的平均数为23，中位数是，众数是，则的值是（）A.﹣5 B.﹣2.5 C.2.5 D.57.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC、BC.若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为()A.3 B.4 C.5 D.68.如图，二次函数的图象开口向下，且经过第二象限的点P．若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致如（）A. B. C. D.9.如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（）A. B.C. D.10.已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（）．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11.如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（）A.①② B.②③④ C.①③④ D.①③12.如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，OB=5，OA=2，点C是y轴上一动点，连接，将绕点A顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（）A B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____________________．14.图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点处，手柄长与墙壁的夹角，喷出的水流与形成的夹角，现在住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体的处，且使．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(结果精确到，参考数据：)15.若不等式组的解集为，则m的取值范围是______．16.如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为_______．17.如图，已知扇形的半径，，将扇形绕点A顺时针旋转得到扇形，则图中阴影部分的面积是______．18.在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则点的坐标为___________________．三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答应写出必要的文字、证明过程或推演步骤）19.（1）化简：；（2）解不等式组．20.随着新课程标准的颁布，为落实立德树人根本任务，东营市各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A．“青少年科技馆”，B．“黄河入海口湿地公园”，C．“孙子文化园”，D．“白鹭湖营地”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）在本次调查中，一共抽取了____名学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为____；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学生人数；（4）学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生的概率．21.如图，矩形边在平面直角坐标系中的轴上，矩形对角线交于点，过点M的反比例函数与矩形的边交于点，，直线交x轴于点F．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）若点P为x轴上一点，当最小时，求出点P的坐标；（3）若点Q为平面内任意一点，若以点B，E，F，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．22.在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？23.如图，在正方形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点（）．连接AM，过点M作交BC于点N．（1）如图1，求证：；（2）如图2，过点N作于H，当时，求面积．24.如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）连接OP，BP，若，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25.如图，点E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：DG•BC＝DF•BG；（2）连接CF，求∠CFB的大小；（3）作点C关于直线DE的对称点H，连接CH，FH．猜想线段DF，BF，CH之间的数量关系并加以证明．

2024年山东省泰安市第六中学新校区中考二模数学试题一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案选出来，每小题选对得4分，选错、不选、或选出的答案超过一个均记零分）1.下列四个数：，，，，其中最小的数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．根据负实数绝对值大的反而小即可比较．【详解】解：∵，∴最小，故选：B．2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了同底数幂乘法，合并同类项，完全平方公式和平方差公式，根据同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式和平方差公式求解即可．【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D符合题意；故选：D．3.2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】解：，故选：B【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，故选：D；【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．5.一块含有30°的直角三角板和直尺如图放置，若，则∠2的度数是（）A.35° B.45° C.55° D.65°【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，即可求解．【详解】解：如图∵∠1＝35°，∴∠3=180°-（60°+∠1）=180°-（60°+35°）=85°，根据平行线的性质∴∠4=180°-∠3=95°，∴∠2=180°-30°-∠4=180°-30°-95°=55°．故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．6.下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩线计表．成绩（分）30252015人数（人）21若成绩的平均数为23，中位数是，众数是，则的值是（）A.﹣5 B.﹣2.5 C.2.5 D.5【答案】C【解析】【分析】根据平均数得，结合求出x,y,再求中位数和众数.【详解】∵平均数为23，∴，∴，即：，∵，∴，∴中位数，，∴，故选C．【点睛】考核知识点：众数，中位数.从平均数入手，求x,y是关键.7.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC、BC.若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【详解】试题分析：先证明△OAC为等边三角形，可得∠AOC=60°，再根据切线的性质可求得∠OAP=90°，然后根据正切的定义求得PA=.故选A8.如图，二次函数的图象开口向下，且经过第二象限的点P．若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致如（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限即可．【详解】解：由二次函数的图象可知，，，当时，，∴的图象在第一、三、四象限，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．9.如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．【详解】解：由题意得，，平分，∵在中，，，∴∵平分，∴，故A正确；∵平分，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故B正确；∵，∴，∴，设，则，∴，∴，解得，∴，∴，故C错误；过点E作于G，于H，∵平分，，，∴∴，故D正确；故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．10.已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（）．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确．【详解】①∵抛物线开口向下，

∴．

∵抛物线的对称轴为直线，

∴，

由图象可得时，，

即，

而，∴．故①错误；②∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线．故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，∵，，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，故，故②正确；③由图象可知：二次函数与直线有两个不同的交点，

即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；④∵函数图象经过，对称轴为直线，

∴二次函数必然经过点，

∴时，的取值范围，故④正确；综上，②④正确，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11.如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（）A.①② B.②③④ C.①③④ D.①③【答案】D【解析】【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明推出，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出和长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出的最小值，从而证明②不对.【详解】解：为正方形，，，，，.,,，，.平分，.，.，，垂直平分，故①正确.由①可知，，，，，，由①可知，.故③正确.为正方形，且边长为4，，在中，.由①可知，，，.由图可知，和等高，设高为，，，，.故④不正确.由①可知，，，关于线段的对称点为，过点作，交于，交于，最小即为，如图所示，由④可知的高即为图中的，.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D.【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.12.如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，OB=5，OA=2，点C是y轴上一动点，连接，将绕点A顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造等边三角形OAE，过点E作AE⊥EF，垂足为E，交x轴于点F，截取ED=OC,证明△AOC≌△AED，得到AC=AD，且∠CAD=60°，从而得到点D在直线EF上，过点B作BD⊥EF，此时BD最小．【详解】构造等边三角形OAE，过点E作AE⊥EF，垂足为E，交x轴于点F，截取ED=OC,∵等边三角形OAE，∴AO=AE，∠OAE=∠AOE=60°，∵ED=OC,∠AED=∠AOC=90°，∴△AOC≌△AED，∴AC=AD，且∠CAD=60°，∴点D在直线EF上，过点B作BD⊥EF，此时BD最小，∵OB=5，OA=2，∴AE∥BD，∠OEF=∠OFE=30°，∴OF=OE=OA=AE=2，AB=3，∴FA=4，FB=7，，∴，解得BD=，故选A．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形相似的判定，垂线段最短原理是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____________________．【答案】且【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式．利用一元二次方程的定义及根的判别式建立关于k的不等式组，解之即可得出答案．【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根，∴，解得，且．故答案为：且．14.图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点处，手柄长与墙壁的夹角，喷出的水流与形成的夹角，现在住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体的处，且使．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(结果精确到，参考数据：)【答案】【解析】【分析】过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，在中，利用含30°角的直角三角形性质解得GB、AG的长，在中，由正切定义解得CF的长，最后根据线段的和差解题．【详解】解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为点在中，在中，答：安装师傅应将支架固定在离地面高的位置．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及正切、余弦、含30°角的直角三角形性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15.若不等式组的解集为，则m的取值范围是______．【答案】##【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式组的解集为：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．16.如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为_______．【答案】12【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理等，由平行四边形的性质可得，由折叠可得，由勾股定理求出，得出，最后用勾股定理解即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形∴，∴，∴，∵将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，∴，∴，∴，∵，∴，∴故答案为：12．17.如图，已知扇形的半径，，将扇形绕点A顺时针旋转得到扇形，则图中阴影部分的面积是______．【答案】【解析】【分析】连接，设交扇形的弧于点C，连接，交于点D，易得阴影部分面积=扇形面积-面积，从而问题求解．【详解】解：如图，连接，设交扇形的弧于点C，连接，交于点D，∵，，∴，∵旋转角为，∴与共线，即点在线段上，由旋转性质知：，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，，∴，；在中，，∴，，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了图形的旋转，30度角直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆的性质，求扇形面积等知识，把阴影部分面积转化为扇形面积与三角形面积之差是本题的关键与难点．18.在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则点的坐标为___________________．【答案】【解析】【分析】本题考查点的坐标变化规律，旋转的性质，能通过变换方式发现点位置及边长的变化规律是解题的关键．首先得到每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现，然后由余1，得到第2023次变换后点A的对应点与点在一条方向线上，即在一条方向线上，然后求出的边长为，进而求解即可．【详解】解：因为，所以每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现．又因为余1，所以第2023次变换后点A的对应点与点在一条方向线上，即在一条方向线上，因为，所以的边长为1，则根据变换方式可知，的边长为2，的边长为，的边长为，…，的边长为．所以的边长为，，所以点的坐标为．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答应写出必要的文字、证明过程或推演步骤）19.（1）化简：；（2）解不等式组．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题分别考查了分式的混合运算及解一元一次不等式组，对于分式的混合运算要注意运算顺序不要出错，最后要化成最简分式；对于解一元一次不等式组，在使用不等式的基本性质3时，不等号的方向要改变，切记．（1）按照分式混合运算顺序进行，先算括号里的运算，再算除法运算；（2）分别求出每个不等式的解集，再求两个不等式解集的公共部分即得不等式组的解集．【详解】解：（1）；（2），由①得，，由②得，，故不等式组的解集为：．20.随着新课程标准的颁布，为落实立德树人根本任务，东营市各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A．“青少年科技馆”，B．“黄河入海口湿地公园”，C．“孙子文化园”，D．“白鹭湖营地”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）在本次调查中，一共抽取了____名学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为____；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学生人数；（4）学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生的概率．【答案】（1）24，（2）见解析；（3）120名；（4）．【解析】【分析】（1）用选择研学基地B的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生人数；用A的学生人数除以本次被调查的学生人数再乘以可得选择研学基地A所对应的圆心角的度数．（2）求出选择研学基地C、D的学生人数，补全条形统计图即可．（3）用选择研学基地C所占百分比乘以480即可．（4）画树状图得出所有等可能的结果数和所选的两人恰好都是男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【小问1详解】解：样本容量为(名)，即一共抽取了24名学生；A所对应圆心角的度数为；故答案为：24，；【小问2详解】解：选择研学基地C的学生人数(名)，选择研学基地D的学生人数(名)，补全图形如图所示：；【小问3详解】解：(名)，答：该校选择研学基地C的学生人数是120名．【小问4详解】解：选择研学基地D的学生有2名男生和2名女生，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所选2人都是男生的结果有2种，∴P（所选2人都是男生）．【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．21.如图，矩形的边在平面直角坐标系中的轴上，矩形对角线交于点，过点M的反比例函数与矩形的边交于点，，直线交x轴于点F．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）若点P为x轴上一点，当最小时，求出点P的坐标；（3）若点Q为平面内任意一点，若以点B，E，F，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1），（2）（3）或或．【解析】【分析】（1）反比例函数过，利用待定系数法可得解析式，再求解E的坐标，结合，可得B的坐标；（2）如图，作D关于x轴的对称点T，连接交x轴于P，则此时最短，先求解，可得，设为，可得为，从而可得答案；（3）先求解的解析式为：，可得，而，分三种情况讨论：当为对角线时，则由平移的性质可得：，当为对角线时，则由平移的性质可得：，当为对角线时，则由平移的性质可得：．【小问1详解】解：∵反比例函数过，∴，∴反比例函数；∵在反比例函数图象上，∴，即，∵，∴，∴．【小问2详解】如图，作D关于x轴的对称点T，连接交x轴于P，则此时最短，∵矩形，∴，∵，，∴，∴，设为，∴，解得：，∴为，当时，，解得：，∴．【小问3详解】∵，，同理可得的解析式为：，当时，，∴，而，当为对角线时，则由平移的性质可得：，当为对角线时，则由平移的性质可得：，当为对角线时，则由平移的性质可得：．综上：或或．【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，平移的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．22.在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？【答案】（1）甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻（2）最多安排甲收割4小时【解析】【分析】（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数；（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【小问1详解】解：设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得：0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．【小问2详解】设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，依题意得：3%×10y＋2%×6×≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.如图，在正方形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点（）．连接AM，过点M作交BC于点N．（1）如图1，求证：；（2）如图2，过点N作于H，当时，求的面积．【答案】（1）见解析（2）3【解析】【分析】（1）过点M作于F，作于G，根据正方形的性质可得，进而证明，即可证明；（2）过点A作于F，可得，证明，根据等腰直角三角形的性质可得，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式计算即可求解．【小问1详解】证明：过点M作于F，作于G，如图1所示：∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，，，∵，，∴，∵，∴四边形FBGM正方形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴；【小问2详解】解：过点A作于F，如图2所示：∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，在等腰直角中∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的面积为3．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．24.如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）连接OP，BP，若，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）（3）存在，Q的坐标为（，）或(，）【解析】【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入，即可求解；（2）由题意可得×4×｜｜＝12，再由P点在x轴下方，则＝﹣6，即可求P点坐标；（3）将射线BA绕点B逆时针旋转60°，交直线于点D，连接AD，延长线段ED到Q，使得DQ＝BD，连接BQ，再证明点Q满足要求，并利用轴对称找到另外一个满足要求的点即可．【小问1详解】解：将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入，∴，∴，∴；【小问2详解】解：对于，当x＝0，则y＝4，∴C（0，4），∴S△AOC＝×3×4＝6，S△BOP＝4×|yP|，∵S△BOP＝2S△AOC，∴×4×｜｜＝12，，∴|yP|＝6，∵＝﹣（x﹣）2+，∴P点在x轴下方，∴＝﹣6，∴＝﹣6，解得x＝﹣5或x＝6，∴P点坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）,；如图1所示，【小问3详解】解：存在，Q的坐标为（，）或(，）．理由如下：∵＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线，设直线与轴交点为点E（，0），将射线BA绕点B逆时针旋转60°，交直