2024年中考数学压轴题型（江苏专用）专题05 几何中的尺规作图（解答压轴题）（教师版）

PAGE1PAGE专题05几何中的尺规作图（解答压轴题）通用的解题思路：尺规作图的解题思路主要包括以下几个步骤：1.理解题目要求：首先，你需要清楚理解题目要求你做什么。这可能涉及到绘制特定的图形，如等边三角形、正方形或圆，或者可能涉及到构造特定的线段或角度。2.分析已知条件：接下来，你需要分析题目给出的已知条件。这可能包括特定的线段长度、角度大小或其他几何信息。这些信息将是你进行作图的基础。3.确定作图步骤：基于题目要求和已知条件，你需要确定作图的步骤。这可能涉及到使用直尺和圆规来绘制线段、作角、作垂线等。4.执行作图步骤：在确定了作图步骤后，你需要按照步骤来执行。在执行过程中，你需要保持精确，确保每一步都符合题目要求和几何原理。5.检查答案：最后，你需要检查你的答案。这可能涉及到验证你的作图是否满足题目要求，或者验证你的作图是否符合几何原理。1．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，．

(1)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）作的角平分线交于点，过点作，交于点，以为圆心，为半径作，即可；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设交于点，连接，可得是等边三角形，进而根据与重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：∵，是的切线，∴，∴，则，解得：，如图所示，设交于点，连接，

∵，∴是等边三角形，如图所示，过点作于点，

∴∴在中，,∴,∴，则，∴与重叠部分的面积为．【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键．2．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，．

(1)求出对角线的长；(2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】(1)(2)作图见解析【分析】（1）连接，过作于，如图所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，；（2）连接，根据轴对称性质，过点尺规作图作线段的垂直平分线即可得到答案．【详解】（1）解：连接，过作于，如图所示：

在中，，，，，，在中，，，，则；（2）解：如图所示：

【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键．3．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，已知，点M是上的一个定点．

(1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；(2)在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件；（2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用的劣弧与所围成图形的面积进行计算．【详解】（1）解：如图，为所作；

；（2）解：∵和为的切线，∴，，，∴，∴，在中，，∴，∴的劣弧与所围成图形的面积．故答案为：．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．4．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，，，．(1)求证：；(2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据边角边证明即可证明结论成立；（2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可．【详解】（1）证明：∵，，，∴，∴；（2）解：所作图形如图，．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键．5．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．

(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数．(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：）【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）在中，利用锐角三角函数求得结果；（2）以点O为圆心、的长为半径画弧，与以点F为圆心、的长为半径的弧交于点，连接得出门的位置；（3）当最大时，的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，最大，即当垂线段为OM即垂足为M时，最大，故的最大值为．【详解】（1）解：在中，，∴．∴．（2）门的位置如图1中或所示．（画出其中一条即可）

（3）如图2，连接，过点O作，交的延长线于点H．

∵在门的开合过程中，在不断变化，∴当最大时，的值最大．由图2可知，当与重合时，取得最大值，此时最大，∴的最大值为．故答案为：【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键．6．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，∴它们的面积之比为；故答案为；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可

由作图可知满足比例关系为的关系；②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：

【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．7．（2022·江苏扬州·中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求；【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆,与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求．【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆,与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法．1．综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．(1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2）问题1：重叠部分的的形状______（是、不是）等腰三角形．问题2：若，，则重叠部分的面积为______(2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．(3)折纸3：如图4，矩形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长．【答案】(1)是；(2)见解析(3)或15【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理；（1）①设纸片右下角的点为点M，根据平行线的性质以及折叠的性质可得，即可；②过点C作于点H，则，根据勾股定理可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可；（2）以点B为圆心，以长度为半径作圆交于点F，作的角平分线，交于点E，即可；（3）分两种情况讨论：当点落在长方形纸片的外部时；当点落在长方形纸片的内部时结合锐角三角函数，即可求解．【详解】（1）问题1：如图②，设点M是纸片下边上的点，∵纸片为矩形，则，∴，由折叠的性质知，，∴，∴的形状为等腰三角形，故答案为：是；问题2：过点作于点，则，则，则的面积故答案为：；（2）以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，作图过程如下：（3）当点落在矩形内部时，如图，过点作于点，交由题意得：，点恰好落在的垂直平分线上，故，在中，，，，则，则，则，，，，在中，，解得：，．当点落在矩形外部时，如图，，，则，则，则，，，，在中，，解得：，则．故的长为或．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（保留作图痕迹）

(1)在图1中线段上确定一点，使得；(2)在图2中作出的边上的高；(3)在图3中作出的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）如图，设与网格交于点，利用三角形的中位线定理解决问题即可；（2）如图，延长交于点，连接即可；（3）如图，取格点，连接即可．【详解】（1）解：如图，线段即为所求；

（2）解：如图，线段即为所求；

（3）解：如图，直线即为所求．

【点睛】本题考查作图，三角形的中位线定理，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．

(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接．①试判断直线与的位置关系，并说明理由；②若，的半径为3，求的长．【答案】(1)见解析(2)①与相切，理由见解析；②6【分析】（1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点、点为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接点A与该点并延长交的延长线于点．（2）①根据垂直平分线性质求得，则与相切；②在中，由勾股定理可得即可得，在中，由即可求解．【详解】（1）如图，为所作垂线；

（2）①与相切，理由如下∶在中，是的垂线，，且是的垂直平分线，，，与相切于点，，即，与相切；②在中，根据勾股定理，得：在中，【点睛】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．4．如图，在中，，，．

(1)尺规作图：在上找一点P，作与，都相切，与的切点为Q；（保留作图痕迹）(2)在（1）所作的图中，连接，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）结合切线的判定与性质，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆即可．（2）由题意可得，则，可得为等边三角形，即，则，进而可得答案．【详解】（1）解：如图，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，则即为所求．

（2）解：由（1）可得，，，，，，，，为等边三角形，，，．【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．5．如图，在四边形中，相交于点O．(1)给出下列信息：①；②；③．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是______，结论是_________．(填序号)(2)在（1）的条件下，已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边上(保留作图痕迹，不要求写作法)．【答案】(1)①②，③（答案不唯一）；见解析(2)见解析【分析】（1）条件①②，结论③；或条件②③，结论①；都是真命题，证明全等三角形，推出四边形是平行四边形，即可证明结论成立；（2）作线段的垂直平分线分别交边于点E，F，则四边形为所作的菱形．【详解】（1）解：条件①②，结论③；或条件②③，结论①；都是真命题，选择：条件①②，结论③；∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴；选择：条件②③，结论①；∵，，，∴，∴，∵，∴，四边形是平行四边形，∴；故答案为：①②，③（答案不唯一）；（2）解：菱形如图所示：．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，作线段的垂直平分线．掌握平行四边形的判定是解题的关键．6．阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．

(1)如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点O，使得过点C且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）(2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且．①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点C且与相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）②若此网格中每个小正方形边长为1，则的半径为________．（可利用图2备用图计算）【答案】(1)见详解(2)①见详解②【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，圆的切线判定，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；（1）作出的平分线交于，即可求解；（2）①连接，作的垂直平分线，过作的垂线，交的垂直平分线于，即可求解；②由可判定，由全等三角形的性质得，，由可判定，由相似三角形的性质得，求出，由勾股定理得，即可求解；掌握作法，能利用判定方法及性质进行求解是解题的关键．【详解】（1）解：如图，是所求作的点；（2）解：①如图，是所求作的点；②如图，由图得：，，，由作图过程得：，，在和中，，()，，，，，，，，，解得：，，；故答案：．7．问题探究：（1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可）（2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：；问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程；②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线的解析式为【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）根据网格和梯形的面积公式求解即可；（2）根据，，即可求解；（3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N，量出的中点Q，连接，由，可得，从而可得，可证，再由平分梯形的面积，即可求解；②由题意可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再根据一次函数平移的规律可设直线的解析式为，再把代入求得直线的解析式为，从而可得，再利用待定系数法求解即可．【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一），理由如下：如图，直线l分别交、于点E、F，∵，，∵；（2）设、之间的距离为h，∵，，，．（3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N，量出的中点Q，连接，的位置如图所示．∵，∴，又∵，∴，，∵平分梯形的面积，∴平分五边形的面积，②由题意得，，，，，，．设直线的解析式为，将，，代入得，解得，∴直线的解析式为，故可设直线的解析式为，将代入，得，∴直线的解析式为．当时，，解得．．，设直线的解析式为，将，，代入得，解得，∴直线的解析式为．8．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作（，顺，）；若逆时针旋转，记作（，逆，）．例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作（，逆，）．(1)如图②，经过（，顺，2）得到，用尺规作出．（保留作图痕迹）(2)如图③，经过（，逆，）得到，经过（，顺，）得到，连接，．求证：四边形是平行四边形．(3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形．Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；Ⅱ．直接写出的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①见解析；②【分析】（1）旋转，可作等边和，从而得出点和点对应点，，进而作出图形；（2）根据和位似，与位似得出对应角相等及对应边成比例，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形；（3）要使是正方形，应使，，得出的度数，得出的度数，从而求出，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法．【详解】（1）解：如图，1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，2．延长至，使，延长至，使，连接，则就是求作的三角形；（2）证明：和位似，与位似，，，，，，，，，同理可得：，四边形是平行四边形；（3）解：如图，1．以为边在上方作等边，2．作等边的外接圆，作直径，连接，3．作，，延长，交于，连接，，则四边形是正方形，证明：由上知：，，，，，，，要使是正方形，应使，，，，，，，作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法；，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，平行四边形的判定，尺规作图等知识，解决问题的关键是掌握并灵活运用相关知识．9．如图1，在中，点D在边上，若满足，则称点P是点D的“和谐点”．​(1)如图2，．①求证：点P是点D的“和谐点”；②在边上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用没有刻度的直尺和圆规作图，并写出证明过程．（保留作图痕迹）(2)如图3，以点A为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，C，点P在线段上，且点P是点D的“和谐点”．①若，求出点P的坐标；②若满足条件的点P恰有2个，直接写出长的取值范围是．【答案】(1)①详见解析；②详见解析(2)①点P的坐标为或；②．【分析】（1）①由考虑平角，只要证明即可；②分别做线段、的中垂线，两条中垂线交于点O，则O为的外心，以O为圆心，为半径作圆交于点Q，点Q即为所求．用同弧所对的圆周角相等证明；（2）①通过求出的长度，然后求出直线AC的表达式为：，设点P的坐标为，利用B、P两点间的距离公式解方程求出点P；②求出两个临界状态时的：一是当点P与点C重合时；二是的外接圆与线段恰有一个交点时,即可求解．【详解】（1）①证明：，，，，，∴点P是点D的“和谐点”；②解：如图，分别做线段、的中垂线，交于点O，则O为的外心，为半径作圆交于点Q．∵，，，，∴Q也是点D的“和谐点”；（2）解：①，，，∴，，，，直线的表达式为：，设点P的坐标为，，，，，，∴点P的坐标为或；②当点P与点C重合时，的外接圆与线段恰有两个交点，如图：，，由①知，∴，即，，；当的外接圆与线段恰有一个交点时，如图：此时的外接圆与线段相切，则，，，，，，，，，，，，即，，；综上，若满足条件的点P恰有2个，长的取值范围是；故答案为：．【点睛】本题在新定义下考查了三角形相似，解直角三角形，圆的性质，直线与圆的位置关系等知识，理解定义，紧扣,找出两个临界状态时的：一是当点P与点C重合时；二是的外接圆与线段恰有一个交点时，用方程思想和数形结合的思想是解题的关键.10．尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．

(1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点P是其中一个切点；(2)点P是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件：①圆心O在上；②经过点P；③与边相切；(3)【不可及点的作图】如图3，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据尺规作图角平分线、垂直平分线作出结果；（2）根据尺规作图角平分线、垂直平分线、已知线段作出结果，有多种不同做法．（3）根据尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线作出结果，有多种不