广东省清远市高二（上）期末数学试卷（理科）

广东省清远市高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（5分）“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01,02,-133.一位彩民用随机数表

法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从

左向右读数，则依次选出来的第3个红色球的编号为（）

4954435482173793237887352096438426349164

5724550688770474476721763350258392120676

A.21B.32C.09D.20

2.（5分）-1WXW3是？-2xW0成立的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

3.（5分）命题“若ACBW0,则AWQ或BW0"的逆否命题是（）

A.若AUB=0,则A=0或8=0B.若ACB=0,则A=0且8=0

C.若A=0或B=0,则4ABWAD.若4=0且8=0,则AAB=0

4.（5分）如图是甲、乙两位学生在高一至高二七次重大考试中，数学学科的考试成绩（单位：分）的茎

叶图，若8,x,6的平均数是x,乙的众数是81,设甲7次数学成绩的中位数是a,则2的值为（）

y

5.（5分）三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“弦图”，给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证

明.如图所示的“弦图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,

若直角三角形中较小的锐角a=J现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内

O

的概率是（）

A.1-fV34—V3V3

B.一C.-----D.一

244

1111

6.（5分）如图,给出的是计算5+Z+Z+…+值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（）

2016

A.Z>2015?B.Z>2017?C.K2017?D.iW2015?

7.（5分）命题“如果一个四边形是正方形,那么这个四边形一定是矩形”及其逆命题、否命题、逆否命

题，这四个命题中假命题的个数（）

A.0B.2C.3D.4

%—y>0

Ko'-2,若满足条件的点P（x,y）表示的平面区域为一个三角

8.（5分）设变量X,y满足约束条件

x4-y<a

形，则。的取值范围是（）

4

A.弓,+8)B.(0,1]

44

C.[1,3]D.(0,1]U[-,+8)

9.（5分）若Fi(-2,0),尸2(2,0),|PF||+|PF2l=〃+：（常数。>0）,则点尸的轨迹是（）

A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.椭圆或直线

10.（5分）已知直线/力仁平面a,直线〃u平面a,且点AC直线加，点AW平面a,则直线加，〃的位置关

系不可能是（）

A.垂直B.相交C.异面D.平行

11.（5分）若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的渐近线与抛物线1相切，则双曲线C的离

心率为（）

5后，5

A.5B.-C.V5D.—

42

12.（5分）在△ABC中，。为AB的中点，点/在线段CO（不含端点）上，且满足G亩+），晶，若

12

不等式一+->a2+az对/€[-2,2]恒成立，则a的最小值为（）

xy

A.-4B.-2C.2D.4

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.（5分）某单位有员工300人，其中女员工有160人，为做某项调查，拟采用分层抽样抽取容量为15

的样本，则男员工应选取的人数是.

x2v2

14.（5分）已知抛物线丁=2px（p>0）的焦点与椭圆h+=1的右焦点重合，则P的值为_______.

62

15.（5分）先后抛掷质地均匀的硬币三次，则恰好出现一次正面朝上的概率是.

x—y+140

16.（5分）已知实数满足％+y-3N0,存在修），使得成立,则实数a的取值范围是.

y-4<0

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）现有某高新技术企业年研发费用投入x（百万元）与企业年利润y（百万元）之间具有线性相

关关系，近5年的年科研费用和年利润具体数据如表:

年科研费用M百12345

万元）

企业所获利润y23447

（百万元）

（1）画出散点图;

（2）求），对x的回归直线方程；

（3）如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为多少？

18.（12分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人.为了解全校学生本学期开学以来的课外阅读

时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高

中学生”,按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：[0,10）,[10,20）,[20,30）,[30,40）,

[40,50],得其频率分布直方图如图所示.

初中生组高中生组

(1)估计全校学生中课外阅读时间在［30,40)小时内的总人数约是多少

(2)从全校课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求抽出的3人中至少有1个高中

生的概率.

19.(12分)在如图所示的几何体中，正方形ABEF所在的平面与正三角形ABC所在的平面互相垂直，CD

//BE,且8E=2C£),M是ED的中点.

(1)求证：A。〃平面3FM

(2)求面EOF与面4OB所成锐二面角的大小.

20.(12分)设命题曲关于x的不等式2'+1〈〃的解集为0；命题q：函数y=/g(/-x+a)的定义域是

R

(1)若命题"p/\q”是真命题，求实数4的取值范围；

(2)设命题相：函数的图象与x轴有公共点，若是「，"的充分不必要条件，求实数匕

的取值范围.

久2y2-y3

21.(12分)已知椭圆C：—+—=1(a>b>0)的离心率为一，直线/：x-y+2=0与以原点为圆心、

a2b22

椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线与椭圆C交于A,8两点，交y轴于点“(0,〃?)，使|。4+2。8|=|。4一20引成立？

若存在，求出实数机的取值范围；若不存在，请说明理由.

1

22.(12分)已知/(x)±+Q

(1)若〃>0,对任意在(0,+8),不等式/(%)20恒成立，求。的取值范围;

(2)若0〈。式可，证明：函数y=f(x)在(-m+°°)有唯一的零点.

广东省清远市高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（5分）（2017秋•清远期末）“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01,02,-133.一

位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6

列的数3开始，从左向右读数，则依次选出来的第3个红色球的编号为（）

4954435482173793237887352096438426349164

5724550688770474476721763350258392120676

A.21B.32C.09D.20

【考点】B2：简单随机抽样.

【专题】31：数形结合；40：定义法；51：概率与统计；66：数据分析.

【分析】根据随机数表法，依次进行选择即可得到结论.

【解答】解：从随机数表第1行的第6列的数字3开始，

按两位数连续向右读编号小于等于33的号码依次为

21,32,09,16,17,02；

所以第3个红球的编号为09.

故选：C.

【点评】本题主要考查了简单随机抽样的应用问题，正确理解随机数法是解题的关键.

2.（5分）（2017秋•清远期末）-1WXW3是7-2xW0成立的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】49：综合法；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑.

【分析】由7-2xW0,解得0&W2.即可判断出结论.

【解答】解：由，-2xW0,解得0WxW2.

/.-1WxW3是/-2xW0成立的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.（5分）（2017秋•清远期末）命题“若ACBW0,则AWQ或BW0”的逆否命题是（)

A.若AUB=0,则A=0或8=0B.若AC8=0,则A=0且8=0

C.若A=0或B=0,贝ijAClBWAD.若A=0且B=0,则ACB=0

【考点】25：四种命题间的逆否关系.

【专题】38：对应思想；40：定义法；5L：简易逻辑.

【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可.

【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若A=0且8=0,则AAB=0,

故选：D.

【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，结合逆否命题的定义是解决本题的关键.比较基础.

4.（5分）（2017秋•清远期末）如图是甲、乙两位学生在高一至高二七次重大考试中，数学学科的考试成

绩（单位：分）的茎叶图，若8,x,6的平均数是x,乙的众数是81,设甲7次数学成绩的中位数是“，

则士的值为（）

【考点】BA：茎叶图.

【专题】11：计算题；27：图表型；51：概率与统计.

【分析】分别求出x,y的值，从而读出甲和乙的数据，求出。的值即可得解.

【解答】解：若8,x,6的平均数是x,乙的众数是81,

则x=7,y=1,

甲数据是：78,79,80,85,87,92,96；

故中位数a=85,

则士的值为85.

y

故选：C.

【点评】本题考查了考查茎叶图的读法，考查平均数，众数和中位数的定义，是一道基础题.

5.（5分）（2017秋•清远期末）三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“弦图”，给出了迄今为止对勾股

定理最早、最简洁的证明.如图所示的“弦图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个

边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角a=O现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，

K镖落在小正方形内的概率是（）

V34—^3

B.一C.-----D.亚

244

【考点】CF：几何概型.

【专题】31：数形结合；40：定义法；51：概率与统计.

【分析】根据几何概率的求法，计算中间小正方形区域的面积与大正方形面积的比即可.

【解答】解：观察图形知，大正方形的边长为2,面积为4,

阴影区域的边长为b-1,面积为4-2次；

所以飞镖落在阴影区域的概率为

„4—2百,73

P=-4-=l-T-'

故选：A.

【点评】本题考查了几何概率的计算问题，关键是得到两个正方形的边长，是基础题.

1111

6.（5分）（2017秋•清远期末）如图,给出的是计算广1+%+•••+丽值的程序框图,其中判断框

内可填入的条件是（）

A.i>2015?B./>2017?C.iW2017?D.1W2015?

【考点】EF：程序框图.

【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图.

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并

输出S的值.

【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：

第一次循环：i=2,S=0+1,

第二循环：=4,S=|+1,

第三次循环：i=6,S=鼻鼻之

依此类推，第1008次循环：i=2016,S=义+<+\+…+OoiA,

1-2018,不满足条件，退出循环，输出s的值，

所以以2017或，<2017.

故选：C.

【点评】本题考查了循直到型循环结构的应用问题，区别当型和直到型的关键在于是满足条件执行循环

还是不满足条件执行循环，满足条件执行循环的是当型结构，不满足条件执行循环的是直到型结构，是

基础题.

7.（5分）（2017秋•清远期末）命题“如果一个四边形是正方形，那么这个四边形一定是矩形”及其逆命

题、否命题、逆否命题，这四个命题中假命题的个数（）

A.0B.2C.3D.4

【考点】25：四种命题间的逆否关系；2K：命题的真假判断与应用.

【专题】11：计算题；49：综合法；5L：简易逻辑.

【分析】根据互为逆否命题的两个命题为真假命题，分别判断原命题，和逆命题的真假即可.

【解答】解：命题“如果一个四边形是正方形，那么这个四边形一定是矩形"，所以原命题正确，同时

逆否命题也正确.

命题的逆命题为：“如果一个四边形是矩形，那么这个四边形一定是正方形”.显然逆命题为假命题，同

时否命题也为假命题.

所以四种命题中假命题的个数为2个.

故选：B.

【点评】本题主要考查四种命题的真假关系的判断，利用互为逆否命题的命题是等价命题，只需证明两

个命题即可.

rx-y>0

8.（5分）（2017秋•清远期末）设变量x,y满足约束条件•2,若满足条件的点P（x,y）表示

<%+y<a

的平面区域为一个三角形，则。的取值范围是（）

4

A.[-,+8）B.（0,1]

44

C.[1,-]D.（0,1]U[-,+o°）

【考点】7C：简单线性规划.

【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5T：不等式.

【分析】先画出满足条件的平面区域，由图象可直接读出。的范围;

【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，

显然当0<aWl时，不等式组表示的区域为三角形；

直线x+y=a经过可行域的B时，可行域是三角形，

由松fX—+y、=2可得:B(-2«2

则a-g,

满足条件的点尸（x,y）表示的平面区域为一个三角形，

4

则。的取值范围是：（0,1]U],+8）.

故选：D.

【点评】本题考察了解得的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题.

9.（5分）（2017秋•清远期末）若乃（-2,0）,F2（2,0）,\PFi\+\PF2\=a+^（常数a>0）,则点尸的

轨迹是（）

A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.椭圆或直线

【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题.

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】根据基本不等式推出的范围，然后结合椭圆的定义，判断选项即可.

【解答】解：«＞0,a+：N2ja[=4,当且仅当。=2时取等号；

当。=2时，若Fi（-2,0）,Fi（2,0）,|PFI|+|PF2|=4,则点尸的轨迹是线段,

当a#2,。＞0时，F\（-2,0）,尸2（2,0）,|PQ|+|PF2|=a+（（常数。＞0），则点P的轨迹是椭圆；

故选：C.

【点评】本题考查轨迹的判断，椭圆的定义以及基本不等式的应用，属于基本知识的考查.

10.（5分）（2017秋•清远期末）已知直线小心平面a,直线"U平面a,且点直线修，点Ae平面a,则

直线m,n的位置关系不可能是（）

A.垂直B.相交C.异面D.平行

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系.

【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离.

【分析】推导出直线〃u平面a,从而直线〃?，〃的位置关系不可能是平行直线.

【解答】解：•••直线平面a,直线〃u平面a,且点AC直线”，点AC平面a,

.'.mC\a=A,

直线孙〃的位置关系不可能是平行直线.

故选：D.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算

求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

11.（5分）（2017秋•清远期末）若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的渐近线与抛物线f=x-1相

切，则双曲线C的离心率为（）

5L通

A.5B.-C.V5D.—

42

【考点】KI：圆锥曲线的综合.

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】利用双曲线的渐近线与抛物线相切，联立方程组，通过判别式为0,求出a,6关系然后求解

离心率即可.

【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的一条渐近线：y=：x,

可得：卜一2"，消去y可得：b2x^-c^x+a2—0,

（y2=x-1

双曲线C的渐近线与抛物线y2=x-1相切，△=/-4廿廿=0,可得tz2=4/?2=4c2-4a2,

故选：D.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.

12.（5分）（2018♦北京模拟）在AABC中，D为AB的中点，点F在线段CD（不含端点）上，且满足

TTT］2c

AF=xAB4-ji4C,若不等式一+一工〃2+”对怎［-2,2］恒成立，则a的最小值为（）

*xy

A.-4B.-2C.2D.4

【考点】6P：不等式恒成立的问题.

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用.

【分析】根据C，F,。三点共线可得x,y的关系，再利用基本不等式解出乙+2的最小值.然后求解

xy

。的范围，得到a的最小值.

【解答】解：AF=xAB+yAC=2xAD+）成，

因为点尸在线段CO（不含端点）上，所以C,F,。三点共线，

所以2x+y=l且x>0,y>0,

则%+-=（-+-）（2x+y）=4+^+—>4+2fe--=8,

xyxyxyy

当且仅当r=即py=/时，上式取等号，

故工+马有最小值8,

xy

12

不等式一+->a2+at对/£［-2,2］恒成立，

xy

就是82次+成对他［-2,2］恒成立,即J+m-gWO对曰-2,2］恒成立,

可得：卜:二。一学?，解得㈣-2,2］.

则a的最小值为-2.

故选:B.

【点评】本题考查了向量共线定理和基本不等式的性质，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.（5分）（2017秋•清远期末）某单位有员工300人，其中女员工有160人，为做某项调查，拟采用分

层抽样抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是7.

【考点】B3：分层抽样方法.

【专题】38：对应思想；40：定义法；51：概率与统计.

【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

【解答】解：由分层抽样的定义知女员工应选取的人数为罢x15-8,

则抽取的男员工为15-8=7人，

故答案为：7

【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键.比较基础.

12y2

14.（5分）（2017秋•清远期末）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点与椭圆•7+—•=1的右焦点重合，

则p的值为4.

【考点】K1：圆锥曲线的综合.

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】求得双曲线的a，b,c,可得右焦点，求出抛物线的焦点，解方程可得p=8.

尤2y2____

【解答】解：椭圆一+—=1,a=V6,b-V2,c=V6—2=2,

62

可得右焦点为（2,0）,

抛物线/=2内（p>0）的焦点为g,0）,

由题意可得日=2,

2

解得p=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，注意运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属

于基础题.

15.（5分）（2017秋•清远期末）先后抛掷质地均匀的硬币三次，则恰好出现一次正面朝上的概率是:

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式.

【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：概率与统计.

【分析】根据题意，用树状图表示将一枚质地均匀的硬币先后抛三次的情况，分析可得全部的情况数目

以及恰好出现一次正面向上的情况数目，由古典概型公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，用树状图表示将一枚质地均匀的硬币先后抛三次的情况，共8种情况；

如图所示：

八

正反正反

分析可得恰好出现一次正面向上的有3种情况,

3

则其概率为：-，

8

故答案为：

【点评】本题考查古典概率的计算，注意用列举法或树状图列举全部的可能情况并进行分析.

x—y+140

16.（5分）（2017秋•清远期末）已知实数x,y满足x+y—320,存在x,y使得2x+yWa成立，则实

y-4<0

数a的取值范围是⑵+8）.

【考点】7C：简单线性规划.

【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；49：综合法；5T：不等式.

【分析】画出实数x,），满足k+丫-320的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法,

（y-4W0

求出目标函数的最小值，即可得到。的取值范围.

x—y+140

【解答】解：令z=2x+y,画出约束条件实数x,y满足x+y-320的可行域，

.y-4<0

由可行域知：目标函数过点8时取最小值，由/二:二:一4可得x=-l，y=4,可得B（-l,4）

时，

z的最小值为:2.

所以要使存在x，y使得2x+）Wa成立，只需使目标函数的最小值小于等于。即可，所以〃的取值范围

为心2.

故答案为：［2,+°°）.

X—y+1W0

【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出实数X,y满足x+y-3N0的平面区域，利用

y—4<0

图象分析目标函数的取值是解答本题的关键.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）（2017秋•清远期末）现有某高新技术企业年研发费用投入x（百万元）与企业年利润y（百万

元）之间具有线性相关关系，近5年的年科研费用和年利润具体数据如表:

年科研费用x（百12345

万元）

企业所获利润23447

（百万元）

（1）画出散点图；

（2）求y对x的回归直线方程；

（3）如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为多少？

【考点】BK：线性回归方程.

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：概率与统计.

【分析】（1）根据数据画出散点图；

（2）求得样本中心点（亍，歹），利用最小二乘法即可求得），对x的回归直线方程;

（3）令x=8,代入线性回归方程，即可预测该企业获得年利润.

【解答】解：（1）散点图：

（2）由题意可知，元=1+2+萱4+5=3,

—2+3+4+4+7.

y=­§—=4,

，乙Xiyi=1X2+2X3+3X4+4X4+5X7=71,

"4+9+16+25=55,

根据公式，可求得,=卑平£字=1」，

%1xf-5xx

八_A_

a=y—bx=0.7,

故所求回归直线的方程为，=l.lx+0.7；

（3）令x=8,得到预测值y=1.1X8+O.7=9.5（百万元）

答：如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为9.5百万元.

（百万元）

【点评】本题考查利用最小二乘法求线性回归方程，考查散点图的画法，考查转化思想，属于基础题.

18.（12分）（2017秋•清远期末）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人.为了解全校学生本学期

开学以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的

“初中学生”和“高中学生”,按学生的课外阅读时间（单位:小时）各分为5组：[0,10）,[10,20）,

[20,30）,[30,40）,[40,50],得其频率分布直方图如图所示.

初中生组高中生组

（1）估计全校学生中课外阅读时间在[30,40）小时内的总人数约是多少

（2）从全校课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求抽出的3人中至少有1个高中

生的概率.

【考点】B8：频率分布直方图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；51：概率与统计.

【分析】（1）由直方图求出初中生中课外阅读时间在[30,40）小时内的学生人数的频率为0.2,则学生

人数为360,高中生中课外阅读时间在[30,40）小时内的学生人数的频率为0.3,则学生人数为360,

由此能估计全校学生中课外阅读时间在[30,40）小时内的总人数.

（2）抽样比例为"二。1“=三，则初中生应抽取60人,高中生应抽取40人，所以在课外阅读时

间不足10小时的样本学生中，初中生有3人，记为a,b,c,高中生有2人，记为d,e.从这5人中

任取3人，利用列举法能求出至少有1个高中生的概率.

【解答】解：(1)由直方图可知，初中生中课外阅读时间在［30,40)小时内的学生人数的频率为:

1-(0.005X2+0.03+0.04)X10=0.2,

则学生人数为1800X0.2=360,

高中生中课外阅读时间在［30,40)小时内的学生人数的频率为:

1-(0.005X2+0.025+0.035)X10=0.3,

则学生人数为1200X0.3=360,

估计全校学生中课外阅读时间在［30,40)小时内的总人数约是720人.

1001

(2)因为抽样比例为

1800+120030,

则初中生应抽取60人，高中生应抽取40人,

所以在课外阅读时间不足10小时的样本学生中，初中生有0.005X10X60=3人，记为a,b,c,

高中生有0.005X10X40=2人，记为d,e.

从这5人中任取3人的所有可能结果为：

(a,b,c)9(小b,d),(a,b,e),(/?,c,d),(b,c,e),(b,d,e),(a,c,d),(a,c,e),(a,

d,e),(c,d,e)共10个.

其中至少有1个高中生的结果有：(a,b,d),(a,b,e),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,e),(〃，c,

d),(a,c,e),(a,d,e),(c,d,e),共9个.

所以至少有1个高中生的概率p=^.

【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、概率、列举法等基

础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

19.(12分)(2017秋•清远期末)在如图所示的凡何体中，正方形ABEF所在的平面与正三角形ABC所在

的平面互相垂直，CD//BE,且BE=2CO,M是匹的中点.

(1)求证：AO〃平面BFM

(2)求面EQF与面AQB所成锐二面角的大小.

【考点】MJ：二面角的平面角及求法.

【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角.

【分析】(1)连接AE交8F于点N,连接MN,可得MN//AD,再由线面平行的判定可得平面

BFM；

(2)取8c的中点0,连接0M,可得平面ABC,又△ABC是正三角形，则以。为

坐标原点，OA、OB、0M所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系：设8=1,分别求

出A,B,E,D,F的坐标，然后求出平面EOF与平面AZJB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦

值可得面/与面ADB所成锐二面角的大小.

【解答】(1)证明：连接AE交BF于点N,连接MM

是正方形，是AE的中点，

又M是的中点，.•.MN〃AD,

「AOC平面BFM,MM=平面MM,

AO〃平面BFM；

(2)解：YABEF是正方形，C.BEVAB,

•.•平面ABE/U平面ABC,平面ABEFC平面ABC=AB,

.•.8E_L平面ABC,XCD//BE,

.•.取BC的中点0,连接。何，则平面ABC,

△ABC是正三角形，：.OA±BC,

以。为坐标原点，OA、OB、0M所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系：

设C£>=1,则A(V3,0,0),B(1,0,1),E(0,1,2),D(0,-1,1),F(V3,0,2),

DE=(0,2,1),EF=(V3,-1,0),DA=(V3,1,-1),通=(0,2,-1),

设面ED尸的法向量为蔡=(x,y,z),

„,(n-EF-V3x-y-0.,V31八

则；-，令z=l,得n=(一不，一千1),

n-DE=2y+z=0

设面A£)8的法向量为？n=(%「ylfzQ,

产.=氏+%—z】=0,令幻=_],得3T，7,

.m-DB=2yl—z1=0

j、n-m

cos<n,m>=—=

\n\-\n

求面EDF与面ADB所成锐二面角,

.•.平面EDF与平面408所成二面角的平面角为60°.

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二

面角的平面角，是中档题.

20.（12分）（2017秋•清远期末）设命题p：关于x的不等式》+1<。的解集为0；命题q：函数y=/g&tf2

-x+a）的定义域是R

（1）若命题"p/\q”是真命题，求实数。的取值范围；

（2）设命题相：函数），=/+笈+〃的图象与x轴有公共点，若是「小的充分不必要条件，求实数匕

的取值范围.

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；2E：复合命题及其真假.

【专题】51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑.

【分析】（1）由题意得p和q均是真命题，由不等式不等式2、+1<”的解集为0；利用指数函数的单调

性可得a的取值范围.函数y=/g（ax2-x+a）的定义域是R,得：x6R时，ar2-x+a>0恒成立，可得

fa>°,，解得a范围.由题意得命题p和命题g均正确，即可得出.

（2）由命题加得：△》（），解得“W3，，由「°是「机的充分不必要条件，得机是。的充分非必要条

件，即可得出.

【解答】解：（1）由题意得p和q均是真命题，

由不等式不等式2、+1〈。的解集为0；得

函数y=/g（ax2-x+a）的定义域是R,得：x€R时，ax2-x+a>0恒成立，

故片>°,解得a*.

由题意得命题p和命题q均正确，

综上，a的取值范围是1].

(2)由命题〃?得：△=y-4aN0,解得aS%2,

由「p是「机的充分不必要条件，得，n是p的充分非必要条件，

1

.•.(一8,A/,2]C(-8,1],

：.-b2<1,

4

:.be(-2,2).

【点评】本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

%2V2

21.(12