2024年高中数学专题1-7重难点题型培优精讲空间向量及其运算的坐标表示学生版新人教A版选择性必修第一册

专题1.7空间向量及其运算的坐标表示1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.②相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，假如中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间随意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．3．空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．4．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b35．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).6．空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中随意两点，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【题型1求空间点的坐标】【方法点拨】(1)求某点M的坐标的方法：作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．(2)空间点对称问题的解题策略：①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要驾驭对称点的改变规律，才能精确求解．②对称点的问题经常采纳“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．【例1】平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC→=(1，2A．（0，4，7） B．（﹣2，0，1） C．（2，0，﹣1） D．（2，0，1）【变式1-1】设点M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若OM→=ABA．（1，0，﹣2） B．（3，2，0） C．（1，0，2） D．（3，﹣2，0）【变式1-2】空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（）A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）【变式1-3】如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则点A1的坐标为（）A．(-1，3，1) B．(【题型2空间向量运算的坐标表示】【方法点拨】空间向量坐标运算的规律及留意点:(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；(2)干脆计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．【例2】已知a→=（1，2，3），b→=（0，﹣1，4），则2A．（﹣4，6，14） B．（﹣4，0，6） C．（﹣4，3，6） D．（2，1，18）【变式2-1】在空间直角坐标系中，向量a→=(2，-3A．（0，1，10） B．（﹣4，7，0） C．（4，﹣7，0） D．（﹣4，﹣12，25）【变式2-2】已知向量a→=（2，3，﹣4），b→=（﹣4，﹣3，﹣2），b→A．（0，3，﹣6） B．（0，6，﹣20） C．（0，6，﹣6） D．（6，6，﹣6）【变式2-3】已知a→=（2，﹣3，1），b=（2，0，3），c→=（0，1，﹣2），则aA．（4，﹣4，6） B．（﹣6，﹣6，﹣5） C．（10，0，7） D．（10，﹣6，19）【题型3空间向量数量积运算的坐标表示】【例3】已知a→=(-1，A．﹣5 B．﹣7 C．3 D．1【变式3-1】若A（2，﹣4，﹣1），B（﹣1，5，1），C（3，﹣4，1），则CA→A．﹣11 B．3 C．4 D．15【变式3-2】已知a→=(1，3，5)，A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，10） C．（﹣4，+∞） D．（10，+∞）【变式3-3】（理科）若向量a→、b→的坐标满意a→+b→=(A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7【题型4空间向量的模与两点间的距离】【方法点拨】求空间中两点间的距离的步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标A()，B()；(2)利用公式|AB|=||==求A、B间的距离.【例4】若AB→=（﹣1，2，3），BC→=（1，﹣1，﹣A．5 B．10 C．5 D．10【变式4-1】在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，1）关于y轴的对称点为B，则|AB|＝（）A．22 B．26 C．25 D．6【变式4-2】已知向量a→=（0，﹣1，1），b→（4，1，0），|λa→+b→|=A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【变式4-3】在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'，若点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝（）A．2 B．6 C．14 D．30【题型5空间向量夹角问题】【方法点拨】建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出相关向量的坐标表示，利用空间向量的夹角的余弦值公式进行求解即可.【例5】已知a→=(2，-2A．48585 B．-48585【变式5-1】已知向量a→=(3，0，1)，b→=（k，2，0A．-2 B．2 C．﹣1 D．【变式5-2】已知a→=(1，0，1)，b→A．5π6 B．2π3 C．π3【变式5-3】已知向量a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，A．（﹣∞，﹣6） B．(-C．(103，【题型6空间向量的平行与垂直】【方法点拨】(1)利用空间向量证明两直线平行的步骤①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量；③证明两向量共线；④说明其中一个向量所在直线上的点不在另一个向量所在直线上，即表示方向向量的有向线段不共线，即可得证.(2)利用空间向量证明两直线垂直的步骤①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量的坐标；③计算两向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.【例6】已知向量a→=(λ，-2，0)，A．1 B．1或﹣2 C