高二数学下学期开学考2月检测模拟试卷教师版新人教A版选择性必修第二册

高二下学期开学考（2月）模拟试卷(时间：120分钟，分值：150分，范围：选择性必修一+选择性必修二第一章)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知平面对量，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，设与的夹角为，由求解即可.【详解】解：因为，，所以，设与的夹角为，则，又因为，所以.故选：A2．已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】先依据垂直关系设切线方程，再依据圆心到切线距离等于半径列式解得结果.【详解】因为切线与直线平行，所以切线方程可设为因为切线过点P(2，2)，所以因为与圆相切，所以故选：C3．坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用斜率公式求出，再利用三角函数求出的范围，利用斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围.【详解】因为点，是相异两点，，且，设直线的倾斜角为，则当，倾斜角的范围为．当，倾斜角的范围为．故选：B【点睛】易错点睛：本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，解题时要细致审题，留意是相异的两个点，利用求出斜率的范围，再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角的范围，属于易错题.4．已知实数，，，满意，，，则的最大值是（

）A．6 B．8 C． D．12【答案】D【分析】接受数形结合法，将所求问题转化为两点到直线的距离和的倍，结合梯形中位线性质和三角形三边关系可求.【详解】由，，，可知，点在圆上，由，即为等腰直角三角形，结合点到直线距离公式可理解为点到直线的距离，变形得，即所求问题可转化为两点到直线的距离和的倍，作于于，中点为，中点为，由梯形中位线性质可得，，作于，于，连接，则，当且仅当与重合，三点共线时，有最大值，由点到直线距离公式可得，由几何性质可得，，此时，故的最大值为.故选：D5．已知数列满意，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据题目信息以及数列的递推关系式，将表示成的表达式，即可求出的取值范围.【详解】由题意可知，当为奇数时，，此时为偶数，则，所以，即，所以，即，即.故选：B.6．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（

）A．平面平面B．点为正方形内一点，当平面时，的最小值为C．过点的平面截正方体所得的截面周长为D．当三棱锥的全部顶点都在球的表面上时，球的表面积为【答案】B【分析】依据面面平行无交线可推断A；由面面平行的性质得出DP所在的平面，即可分析最小值P点的位置，求解即可；用向量法依据平行的坐标表示，求出过点的平面截正方体所得的截面，即可计算周长；依据三棱锥的外接球半径公式和球体的表面积公式求解即可.【详解】解：对于A，延长，，，，有两个交点I，J，代表平面平面，两平面不平行，A选项错误对于B，分别取，的中点，，连接，则，，且，，平面，平面，所以平面平面，已知点为正方形内一点，当P在上时，平面，满意平面，在中，，，则为等腰三角形，点P在的中点时，有最小值，在中，，，B选项正确；对于C，如图建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，，，，则，解得，截面周长为，C选项错误；对于D，当三棱锥的全部顶点都在球的表面上时，，D选项错误；故选：B.7．已知点，圆，若在圆上存在唯一的点使得，则可以为（

）A． B．68 C．2或或或 D．或或54【答案】C【分析】若在圆上存在唯一的点使得，存在几种状况：（1）圆内切于以为直径的圆；（2）以为直径的圆内切于圆时；（3）当点A在圆上；（4）点在圆上，每种状况分别求出的值即可.【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径若在圆上存在唯一的点使得，当以为直径的圆和圆相切时，以为直径的圆的圆心，半径为，两圆的圆心距，①当圆内切于圆时，圆的半径，解得，②当圆内切于圆时，圆的半径，解得，当以为直径的圆和圆相交时，①当点A在圆上时，将代入中，解得：.②当点在圆上时，将代入中，解得.综上可得或或或，故选：C.8．设拋物线的焦点是，直线与抛物线相交于两点，且，线段的中点到拋物线的准线的距离为，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】设出线段的长度，用余弦定理求得的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而转化为的关系式，再结合不等式即可求得其最小值.【详解】设，，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如下所示：则，，因为点为线段的中点，依据梯形中位线定理可得，点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时，等号成立，（明显存在），所以，则的最小值为.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要留意到不等式的应用。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（

）A．当或时，曲线是双曲线B．当时，曲线是椭圆C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则【答案】AD【分析】依据双曲线、椭圆标准方程的特征，依次构造不等式求得每种曲线对应的的范围即可.【详解】对于A，若曲线为双曲线，则，解得：或，A正确；对于B，若曲线为椭圆，则，解得：或，B错误；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，C错误；对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，D正确.故选：AD.10．给出下列命题，其中正确的命题是（

）A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线B．若对空间中随意一点，有，则四点共面C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D．已知向量，，则在上的投影向量为【答案】CD【分析】选项A，因为，直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行；选项B，依据空间向量四点共面条件即可推断B；选项C，依据平面对量基底的定义可推断C；选项D，依据投影向量的公式即可推断D.【详解】选项A，由已知直线的方向向量为，平面的法向量为，所以，所以，所以直线或，故A错误；选项B，因为，，依据空间向量四点共面条件可知，四点不共面，故B错误；选项C，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故C正确；选项D，由，，在上的投影向量为，故D正确.故选：CD.11．已知数列的前项和为，下列说法正确的（）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，且，则【答案】BC【分析】对于A，求出，,即可推断；对于B，利用求出通项公式，再验证是否满意2，即可推断；对于C，依据等差数列的求和公式即可推断；对于D，当时，可得，即可推断．【详解】解：对于A，若，则，，，则不是等差数列，A错误；对于B，若，则，当时，，满意2，所以，则是等比数列，B正确；对于C，是等差数列，则，C正确；对于D，若是等比数列，当时，则，D错误.故选：BC．12．如图，经过坐标原点且相互垂直的两条直线和与圆相交于四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（

）A．线段长度的最大值为；B．弦长度的最小值为；C．点的轨迹是一个圆；D．四边形面积的取值范围为.【答案】BCD【分析】依据方程写出已知圆的圆心和半径，由长度表示圆上点到原点的距离即可推断A；由圆的性质推断B；若分别是的中点，圆心到直线和的距离且，易证为矩形且其中心对角线长度恒定，即可确定的轨迹推断C；依据得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范围推断D.【详解】由题设圆的方程为，设圆心为，则，半径，由三角形两边之和大于第三边可知，且，所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时错误；由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时长度的最小，此时圆心与直线距离为，故正确；若分别是的中点，则且且，又，易知：为矩形，而，若圆心到直线的距离且，所以，则，故，所以在以为直径，交点为圆心的圆上，C正确；由上分析：，而，所以，令，则，当，即时，；当或5，即或时，；所以，D正确；故选：BCD【点睛】难点在于CD选项，选项C：证明分别是的中点所形成的四边形为矩形且对角线长度及中心恒定，推断轨迹形态；选项D：利用得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再依据的范围，求出的取值范围．【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则，，，，．，，．点在线段上运动，，且．，，∵，∴，即，故答案为：．14．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线斜率的取值范围是___________【答案】【分析】由圆的方程可求得其圆心和半径，当圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，只须要找出临界位置使圆心到直线距离为即可求出斜率的取值范围.【详解】将圆化成标准方程为，则圆心坐标为,半径；若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为，则需满意圆心到直线的距离为，即，解得.此时直线如下图中两条虚线所示，当直线被夹在第一象限的两虚线之间时，有四个不同的点到直线的距离为，所以，当圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，需满意，即直线斜率的取值范围是.故答案为：15．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P是双曲线右支上的一点，与y轴交于点A，的内切圆在边上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是______.【答案】3【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由求得双曲线的半焦距长，进而求得双曲线的离心率【详解】设的内切圆在边上的切点分别为，则，又由，可得，则，则，又，则，即，由，可得，即，则双曲线的离心率，故答案为：316．记为数列的前项和，已知对随意的，，且存在，，则的取值集合为______（用列举法表示）【答案】【分析】先计算得到，再依据等差数列的求和公式计算求解即可．【详解】解：为偶数时，，∴，或19，当时，，∴；当时，，∴．综上：的取值集合．故答案为：．【点睛】本题的关键是理解：假如一个数列成等差，则相同间隔构造的新数列也成等差数列．譬如成等差，则也成等差数列．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知直线与圆交于A，B两点．(1)若圆心C到直线l的距离为，求k的值.(2)是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线与直线l的交点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)或(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由题意可知圆心坐标，利用点到直线距离公式即可求得k的值；（2）假设存在直线，依据垂直平分线方程和的位置即可得出冲突，即不存在过点D的直线.【详解】（1）由圆可知，圆心，半径圆心C到直线l的距离，化简得，解得或．（2）解法一：直线过定点．因为直线l与圆C交于A，B两点，所以，解得．若存在直线垂直平分弦，则直线必过圆心C．因为直线的斜率，所以直线的斜率．因为，所以不存在过点D的直线垂直平分弦．解法二：直线过定点．若存在直线垂直平分弦，则直线必过圆心C．因为直线的斜率，所以直线的方程为，即．因为直线垂直于直线l，所以直线l的斜率为3，直线l的方程为．联立解得所以直线与直线l的交点为．而，所以点不在圆C内，即不存在过点D的直线垂直平分弦．18．（12分）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(1)证明：l⊥平面PAC；(2)直线l上是否存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明过程见解析(2)存在，且【分析】（1）先作出帮助线，找到平面AEF与平面ABC的交线，再由AB为直径，得到AC⊥AS，结合面面垂直得到线面垂直，证明出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角，列出方程，求出的值.【详解】（1）连接CO并延长，交圆O于点S，连接AS，SB，SF，则，四边形为矩形，BCAS，因为EFBC，所以EFAS，故平面AEF与平面ABC的交线为AS所在直线，即AS所在直线为直线l，因为CS为直径，所以AC⊥AS，因为平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，AS平面ABC，所以AS⊥平面PAC，即l⊥平面PAC；（2）在AS上取点Q，连接PQ，以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，垂直CA，CB的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA=PC=AC=2，BC=4，所以，设平面AEF的法向量为，则，解得：，令，则，故，，故，解得：，故，即直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成的角的正弦值为，且.19．．（12分）已知正项等比数列前项和为，当时，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合与的关系式即可求得与，从而得解；（2）结合（1）中结论，求得的通项公式，再利用裂项相消法即可求得.【详解】（1）设正项等比数列的公比为，，由得，解得，当时，，，则，即，，.（2）由（1）得，，，，.20．．（12分）已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程；（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数.【详解】（1）由题意得，，，，，，椭圆的标准方程为．（2）依题意，知，设，．联立消去，可得．，即，，，．，．，，整理，得，解得或（舍去）．直线的方程为．21．（12分）记数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取