新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题六解析几何第一讲直线和圆-小题备考微专题2圆的方程直线与圆圆与圆

微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆常考常用结论1．圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特殊地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．2．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如表．方法几何法代数法位置关系依据d＝与r的大小关系推断消元得一元二次方程，依据判别式Δ的符号推断相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<0切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝(其中C为圆心)．弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2(其中d为弦心距)．3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝(r1>0)，圆2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝(r2>0)．(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程；(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简洁易求．1.[2023·安徽蚌埠三模]直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法确定2．[2023·河北唐山二模]已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则C1与C2的位置关系是()A．外切B．内切C．相交D．外离3．[2023·河南郑州三模]曲线y＝x2－4x＋1与坐标轴交于A，B，C三点，则过A，B，C三点的圆的方程为________．4．[2023·广东深圳二模]过点(1，1)且被圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0所截得的弦长为2的直线的方程为________．1.(1)[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()A．1B．C．D．(2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为()A．2ax＋by－1＝0B．2ax＋by－3＝0C．2ax＋2by－1＝0D．2ax＋2by－3＝02.[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．技法领悟1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种状况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．(2)过圆外一点的切线方程：这种状况可以先设直线的方程，然后联立方程求出它们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，假如不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不肯定是两圆的公共弦所在的直线方程．[巩固训练1](1)[2023·黑龙江大庆三模]已知直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，并且点B(3，4)到直线l的距离是2，这样的直线l有()A．1条B．2条C．3条D．4条(2)[2023·安徽蚌埠二模]若直线y＝kx＋4＋2k与曲线y＝有两个不同的交点，则实数k的取值范围是A．[1，＋∞)B．[－1，－)C．(，1]D．(－∞，－1](3)[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1．解析：已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1，1)，将点(－1，1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1，1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．故选A.答案：A2．解析：圆C1的圆心为(1，0),r1＝1，圆C2的圆心为(3，1),r2＝2，所以r2－r1<|C1C2|＝＝<r2＋r1，所以圆C1与C2的位置关系是相交．故选C.答案：C3．解析：令y＝0，则x2－4x＋1＝0，解得x1＝2－，x2＝2＋，即A(2－，0)，B(2＋，0)；令x＝0，得y＝1，即C(0，1)，设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，所以，解得.所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝44．解析：圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，圆心为(2，2)，半径r＝2，若弦长l＝2，则圆心到直线的距离d＝＝，明显直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0，所以d＝＝，解得k＝－1，所以直线方程为x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝0提分题[例1](1)解析：如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin＝＝＝，所以cos＝，所以sinα＝2sincos＝2×＝.故选B.(2)解析：将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by－a2－b2＝0，因为圆C1的圆心为(0，0)，半径为1，且公共弦AB的长为1，则C1(0，0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为，所以＝，解得a2＋b2＝3，所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0.故选D.答案：B答案：D[例2]解析：因为kAB＝，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线方程为(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.答案：[][巩固训练1](1)解析：由已知可得，圆心C(2，1)，半径r1＝1.由点B(3，4)到直线l的距离是2，所以直线l是以B(3，4)为圆心，r2＝2为半径的圆的切线，又直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，所以，直线l是圆C与圆B的公切线．因为＝＝>3＝r1＋r2，所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满意条件的直线l有4条．故选D.(2)解析：∵y＝kx＋4＋2k＝k(x＋2)＋4，所以直线过定点(－2，4)，曲线y＝变形为x2＋y2＝4(y≥0)，表示圆的上半部分，当直线与半圆相切时直线斜率为k＝－，当直线过点(2，0)时斜率为－1，结合图象可知实数k的取值范围是[－1，－)．故选B.(3)解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y)．由O1A＝O1O2，得A()．因为＝，所以切线l1的斜率k1＝－，所以l1：y－＝－(x－)，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为