专题三 数列-2022年高考数学二轮复核心速学解答题专题突破（艺体生适用）

核心速学专题三数列【核心考点整合】【思维导引】1.数列通项公式的求法①观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，归纳出的通项公式，再用数学归纳法证明.②累加法：对于可转化为形式数列的通项公式问题，化为，通过累加得==，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数③累积法：对于可转化为形式数列的通项公式问题，化为，通过累积得==，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数④构造法：对于化为（其中是常数）型，常用待定系数法将其化为，由等比数列定义知{}是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式先求出通项公式，再求出的通项公式.⑤利用前项和与第项关系求通项对递推公式为与的关系式(或)，利用进行求解.注意=成立的条件是≥2，求时不要漏掉=1即=的情况，当=适合=时，=；当=不适合=时，用分段函数表示.2.数列求和的方法(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为eq\f(1,anan＋1)的数列的前n项和，其中{an}若为等差数列，则eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1))).常见的拆项公式：①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；②eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋k))；③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))；④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))．【真题领航】1.（2021·全国新高考Ⅰ卷）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式.（2）求的前20项和.【解析】（1）由题设可得，又，，，故，即，即，所以为等差数列，故.（2）设的前项和为，则，因为，所以.2.（2020·全国新高考Ⅱ卷）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式.（2）求.【解析】(1)设等比数列的公比为q(q>1)，则，整理可得，，数列的通项公式为.由于，故.【核心考能聚焦】核心考点一数列的通项公式【例1】已知各项都为正数的数列满足，.（I）求；（=2\*ROMANII）求的通项公式.【解析】（Ⅰ）由题意得.（Ⅱ）由得.因为的各项都为正数，所以，故是首项为，公比为的等比数列，因此.【对点练】1.在数列中，其前项和满足：，(n≥2).求数列{an}的通项公式.2.已知是公差为3的等差数列,数列满足,.（=1\*ROMANI）求的通项公式；（=2\*ROMANII）求的前n项和.【解析】（I）由已知,得得,所以数列是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为.（II）由（I）和,得,因此是首项为1,公比为的等比数列.记的前项和为,则核心考点二数列的求和【例2】在等差数列中，,且.（1）求数列的通项公式；（2）若成等比数列，求数列的前项和.【例3】已知是等差数列，是等差数列，且，，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.（II）由（I）知，，．因此．从而数列的前项和．【例4】已知数列的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列的前n项和Tn.【解析】（Ⅰ）由题意知当时，，当时，，所以.设数列的公差为，由，即，可解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，得，，两式作差，得所以【对点练】1.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝bn＋an－n，n∈N*.(1)证明：{an－n}为等比数列；(2)数列{cn}满足cn＝eq\f(an－n,（bn＋1）（bn＋1＋1）)，求证数列{cn}的前n项和Tn<eq\f(1,3).证明：(1)因为an＋1＝2an－n＋1，所以an＋1－(n＋1)＝2(an－n)．又a1＝3，所以a1－1＝2，所以数列{an－n}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，an－n＝2·2n－1＝2n.所以bn＋1＝bn＋an－n＝bn＋2n，即bn＋1－bn＝2n.b2－b1＝21，b3－b2＝22，b4－b3＝23，…bn－bn－1＝2n－1.以上式子相加，得bn＝2＋eq\f(2·（1－2n－1）,1－2)＝2n(n≥2)．当n＝1时，b1＝2，满足bn＝2n，所以bn＝2n.所以cn＝eq\f(an－n,（bn＋1）（bn＋1＋1）)＝eq\f(2n,（2n＋1）（2n＋1＋1）)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋1＋1).所以Tn＝eq\f(1,2＋1)－eq\f(1,22＋1)＋eq\f(1,22＋1)－eq\f(1,23＋1)＋…＋eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋1＋1)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2n＋1＋1)<eq\f(1,3).2.【2020.全国III卷理】设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【解析】（1）猜想由已知可得，，…….因为，所以（2）由（1）得，所以.①从而.②得，所以【核心素养集训】1.已知数列和满足，，，．证明：是等比数列，是等差数列.求和的通项公式．【解析】由题意可知，，，，所以，即，所以数列是首项为、公比为的等比数列，，因为，所以，数列是首项、公差为等差数列，.由可知，，，所以，.2.等差数列{}中，.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.【解析】(Ⅰ)设数列的公差为d，由题意有，解得，所以的通项公式为.（Ⅱ）由(Ⅰ)知，当1,2,3时，；当4,5时，；当6,7,8时，；当9,10时，，所以数列的前10项和为.3.设数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的前n项和.4.设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有．（1）设，求证：数列是等比数列，（2）求数列的前n项和．【解析】（1）当n=1时，得当时，所以所以所以数列是等比数列，（2）设，①2②由①—②得：由可得25.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【解析】（1）当时，由，得：由①②上面两式相减，得：QQ群545423319所以数列是以首项为，公比为的等比数列，得：（2）6.（2021·湖南湘潭期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知正项数列的前项和为，满足___