中学高二（上）期末数学试卷（理科）

中学高二(上)期末数学试卷(理科)

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、选择题(共12题，共60分)

,1/'(p)-f(q)n

1、若函数八"一"十a*十x在(2，”n内任取两个实数p,q,且p/q,不等式p-q,口恒成立，

则a的取值范围是()

A.[-1,0]

B.[-1,+8)

C.[0,3]

D.[3,+8)

【考点】

【答案】D

f(p)-f(q)01

【解析】解：由题意，要使不等式p-q”恒成立,只需f'(x)>o在("D上恒成立.

1

因为f'(x)=2x+a-/,所以2x+a->0在(,1)上恒成立，

即a>-2x,xe(,1)恒成立,

2

令g(x)=-2x,xS(,1),g'(x)=-X3-2<0,

g(x)在(,1)递减，g(x)<g()=3

只需a》3,

故选：D.

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识，掌握函数的单调区间只能是其

定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

2、已知焦点在y轴上的双曲线C的中心是原点0,离心率等于至，以双曲线C的一个焦点为圆心，2为半

径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()

x2y2

A.l6-T=1

BA=1

r2

C?，2-T=1

y2x2

---------=1

D.1641

【考点】

【答案】D

【解析】解：设双曲线的焦点为(0,c),渐近线方程为ax-by=0,由于圆与双曲线的渐近线相切，

be

则口？京=2,

化简得，b=2,

c理♦+.5

因为即：片一彳,所以a=2,

y2x2

所以双曲线的方程为：拓一干=L

故选：D.

3、定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf'(x)V2恒

成立，则使x2f(x)-4f(2)<x2-4成立的实数x的取值范围是()

A.(…，-2)U(2,+8)

B.(-2,0)U(0,2)

C.{x|x手±2}

D.(-2,2)

【考点】

【答案】A

【解析】解：当x>0时，由2f(x)+xfz(x)-2<0可知：两边同乘以x得：2xf(x)-x2f7(x)

-2x<0

设：g(x)=x2f(x)-x2

则g'(x)=2xf(x)+x2fz(x)-2xV0,恒成立：

・・・g(x)在(0,+oo)单调递减，

由x2f(x)-4f(2)<x2-4,

/.x2f(x)-x2<4f(2)-4,

即g(x)<g(2)

即x>2；

当xVO时，函数是偶函数，同理得：x<-2,

综上可知：实数x的取值范围为(-8,-2)U(2,+8),

故选：A.

4、若a>0,b>0,且函数f(x)=6x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，若t=ab,则t的最大值为()

81

A.T

B.6

81

C.T

D.9

【考点】

【答案】A

【解析】解：由题意，导函数f'(x)=18x2-2ax-2b,二•在x=1处有极值，

.'.a+b=9,

*/a>0,b>0,

a+b819

；.abW(丁)2=T,当且仅当a=b=2时取等号，

••.t=ab的最大值等于.

故选：A.

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是：(1)如果

在,附近的左侧/⑴>0,右侧，(力<0,那么/(&)是极大值(2)如果在附近的左侧，右侧F5)>0,

那么是极小值).

5、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4,AA1=2,则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()

A3

逑

5

灰

Bc.5

阿

n5

【考点】

【答案】D

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B(2,2,0),

C1(0,2,1),D(0,0,0),D1(0,0,1),

一T一

(-2,0,1),DB=(2,2,0),DDi=(0,0,1),

—♦

设平面BB1D1D的法向量九=(x,y,z),

则E部,图内，取x=1,得=G,-1,0),

设BC1与平面BB1D1D所成的角为9,

成1:I0「

-ZT2710

则sine,|”|=/.#=5.

J.BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为：.

故选：D.

【考点精析】通过灵活运用空间角的异面直线所成的角，掌握已知a，b为两异面直线，A,C与B,D分

ACBD

cos8=阿阿

别是上的任意两点，所成的角为0,则•即可以解答此题.

1

6、如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数尸G（x>0）图象下方的区域（阴

影部分），从D内随机取一个点M,则点M取自E内的概率为（

ln2

k.~

1-H2

B.~~

l+ln2

C,^~

2-ln2

D,^~

【考点】

【答案】C

jgdxlnx\\£

【解析】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S=2X/=1+2=1-|n2=1+ln2

.•・“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为1+ln2,

矩形的面积为2

1+出2

由集合概率的求解可得p=F-

故选c【考点精析】掌握定积分的概念和几何概型是解答本题的根本，需要知道定积分的值是一个常

数，可正、可负、可为零；用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限；

几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能

性相等.

7、在4ABC中，若b=3,A=120°,三角形的面积则三角形外接圆的半径为（

A转

B.3

0>

D.6

【考点】

【答案】B

1

—x3x「x5'

【解析】解：=bcsinA=22,解得c=3.;由余弦定理可得：a2=b2+c2-

2bccosA=32+32-2X3X3Xcos120°=27,

解得a=34，

3点

.•.2R=stnA=T=6,

解得R=3.

故选：B.

【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定

ab

=2R

理：&idsinj?smC才能正确解答此题.

8、如图是一个算法的流程图.若输入x的值为2,则输出y的值是（）

A.0

B.-1

0.-2

D.-3

【考点】

【答案】C

【解析】解：执行一次循环，y=0,x=0；执行第二次循环，y=-1,x=-2；

执行第三次循环，y=-2,满足条件，退出循环

故选C【考点精析】通过灵活运用程序框图，掌握程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向

线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带

箭头的流程线；程序框外必要文字说明即可以解答此题.

9、某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方体，两条虚线互相垂直，则该几何体的

体积是（

2

A.3

5

B.6

n

C.1-6

【考点】

【答案】B

【解析】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个正方体切去一个正四棱锥所得的组合体，正方体的

棱长为1,故体积为1,

1111

正四棱锥的底面面积为1,高为,，故体积为：3X2X^6,

5

故组合体的体积V=1-=6.

故选：B.

【考点精析】解答此题的关键在于理解由三视图求面积、体积的相关知识，掌握求体积的关键是求出

底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积.

10、已知不共线的两个向量°力满足|。一以=3且a_L（a-2b）,则|b|=（）

A.3

B.4

【考点】

【答案】A

【解析】解：...a-L（a—2b）,

；-（；-2b）=；Z-2^=C.

|。-b12=；ns%.

；0I=3.

故选：A.

11、设命题P：BnSN,n2<2n,则为（）

A.VnGN,n2<2n

B.BnGN,n222n

C.VnGN,n2》2n

D.3nGN,n2>2n

【考点】

【答案】C

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：RGN,n2<2n的否定是VnGN,n2》2n；

故选：C

12、若集合A={xGR|x2-3xW0},B={1,2},则ADB=（）

A.{x|0Wx《3}

B.{112}

C.{0,1,2）

D.{0,1,2,3）

【考点】

【答案】A

【解析】解：•••集合A={xGR|x2-3xW0}={x|0WxW3},B={1,2},

.,.AnB={1,2}.

故选：A.

【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的交集运算的相关知识，掌握交集的性质：（1）AABA,

ACIBB,AAA=A,AD=,AAB=BHA;（2）若ACB二A,则AB,反之也成立.

二、填空题（共4题，共20分）

13、已知数列{an}满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,则a2017的值为.

【考点】

【答案】2

【解析】解：数列{an}满足a1=2,a2=3,an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1,可得an+3=an,

数列的周期为3.

a2017=a672X3+1=a1=2.

所以答案是：2.

【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式（如果数列an的第n项与n之间的关系可以用

一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式).

r+亍=1

14、已知椭圆a2的左、右焦点为F1、F2,点F1关于直线丫=-*的对称点P在椭圆上，则△PF1F2

的周长为.

【考点】

【答案】4+2隹

【解析】解：设椭圆的左焦点为(-c,0),点F1关于直线丫二-x的对称点P(0,c),

由题意方程可得b=c=四，2=也？+/=2,

由题意的定义可得△PF1F2的周长为2a+2c=2+4.

所以答案是：.

15、已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足AF=3FB,求|AB|=.

【考点】

16

【答案】至

【解析】解：设1尸8|=叫由”=3FB,可得：|F川=3m,

由抛物线的定义知AA1=3m,BB1=m,

.".△ABC中，AC=2m,AB=4m,kAB=6,

..•直线AB方程为y=(x-1),

与抛物线方程联立消y得3x2-10x+3=0

所以|AB|=x1+x2+2=,

所以答案是：.

【考点精析】本题主要考查了抛物线的定义的相关知识点，需要掌握平面内与一个定点-1和一条定直

线的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线才能正确解答此

题.

x+y<2

{、灵

16、已知实数x,y满足旷2％,且数列6x,z,2y为等差数列，则实数z的最大值是

【考点】

【答案】4

x+y<2

x

[^2fy=x

【解析】解：画出满足条件yzx的平面区域，如图示：由0+y=2,解得A(1,1),

•.•数列6x,z,2y为等差数列，

；.z=3x+y,得：y=-3x+z,

显然直线过A(1,1)时，z最大，z的最大值是：4,

所以答案是：4.

三、解答题(共6题，共30分)

17、设a为实数，函数f(x)=ex-x+a,xGR.

(1)求f(求在区间［-1,2］上的最值；

r11

(2)求证：当a>-1,且x>0时，°>2X~aX+1.

【考点】

【答案】

(1)解：f'(x)=ex-1,令f'(x)=0,则x=0,

xe(-1,0),f'(x)<0,f(x)为减函数，

xG(0.2),f'(x)>0,f(x)为增函数，

所以，f(x)min=f(0)=1+a；

又因为f(-1)=+1+a/(2)=e2-24-=-3-e2<0

所以/'(x)max=f⑵=e2-2+a

⑵解：证明：令9(")=#+axT，g'(x)=ex—x+a,

由(1)知，g'(x)》g'(0)=1+a>0,

所以g(x)在(0,+oo)单调递增，

所以g(x)>g(0)=0,

Y12

所以，当a>-1,且x>0时，6>2X~aX+1

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可;

（2）令g（Q=eFx2+ax_Lg（x）=eX_x+a,根据函数的单调性求出g（x）>g（o）,证出

结论即可.

【考点精析】本题主要考查了函数的最大（小）值与导数的相关知识点，需要掌握求函数/.人»在区同上

的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在飙协内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值式建）,我63

比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题.

18、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，NDAB=60°,PDJ■平面ABCD,PD=AD=4,点E、F分别

为AB和PD的中点.

（1）求证：直线AF〃平面PEC；

（2）求平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值.

【考点】

【答案】

（1）证明：取PC中点Q,连接EQ,FQ,

:点E、F分别为AB和PD的中点，底面ABCD为菱形,

H

.,.FQ=2AB=AE,.".FQAE,

，四边形AEQF是平行四边形，

，AF〃EQ,

「AFa平面PEC,EQu平面PEC,

A由线面平行的判定定理得直线AF〃平面PECX

(2)解：以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系,

P(0,0,4),E(2叔0,0),C(0,4,0),

PE=(2,0,-4),EC=(-2,4,0),

设平面PEC的法向量九=(x,y,z),

fn-PE=2px-4z=0

JT

则n-EC=-2事x+4y=0,取x=2)得=&,,)

...面PEC的法向量”=(2,也回

—♦

同理得面PAD的法向量"I=(L超，°),

设所求二面角为a,则cosa=1但<蒜>|=手，

.sma=彳tana=—

••■

廓

故平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值为5.

【解析】(1)取PC中点Q,连接EQ,FQ,推导出四边形AEQF是平行四边形，从而AF〃EQ,由此能证明直

线AF〃平面PEC.(2)以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量

法平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值.

【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,

则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题.

19、已知函数f(x)=(x+1)Inx-a(x-1).

(1)当a=3时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)设UlU-x+l,且a>1,讨论函数g(x)的单调性和极值点.

【考点】

【答案】

(1)解：f(x)的定义域为(0,+8).

当a=3时，/⑶=(x+l)/nx-3(x-l)/(x)=Inx+卜2,

f'(1)=-1,f(1)=0.

所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0

X-1

⑵解：=x>0,a>i,

f、r2+2(l-a)x+l

g(“)=陋+炉

令F(x)=x2+2(1-a)x+1,其对称轴为x=a-1>0,A=4a(a-2)

①当△・()，即1Va/2,F(x),0,g'(x)

g(x)在(0,+oo)单调递增，无极值.

②当△>(),即a>2,

令g'(x)>o,则0vxva-1—Ja(a-2)或%>a—1+，a(a—2),

令g'(x)<o,则.一1一da(a_2)<x<a—1+y(i(a-2)

所以，增区间为(°，。_1一/(。一2))和(a-l+"(a-2),+oo)

减区间为(a—1+Ja(a-2))

所以，极大值点是”1一"(。-2),极小值点是aT+也(。-2)

综上：当1<aW2时，f(x)在(0,+°°)单调递增，无极值.

当a>2时，f(x)在上单调递增，

在上单调递减；

极大值点是，极小值点是

【解析】(1)求出函数的导数，计算f(1),它(1)的值，求出切线方程即可；(2)求出函数的导数,

通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点即可.

【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌

握一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间加协内，(1)如果，'(功>。，那么函数

>・人»在这个区间单调递增；(2)如果那么函数〉・/仁)在这个区间单调递减；求函数的极值的

方法是：(1)如果在，附近的左侧右侧/⑸那么#0)是极大值(2)如果在附近的左侧，右侧

Ax)>o,那么汽融是极小值才能正确解答此题.

20、已知数列｛an)的前n项和为Sn,首项为a1且1,an,Sn成等差数列.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

_(―]

(2)数列｛bn｝满足bn=(log2a2n+1)X(log2a2n+3),求数列”的前n项和Tn.

【考点】

【答案】

(1)解：•••1,an,Sn成等差数列，，2an=Sn+1,

.二》1二1时，2al=a1+1,解得a1=1.n22时，2an-2an-1=an,即an=2an-1.

—on—1

数列｛an｝是等比数列，公比为2,首项为1.•••n。”一已

⑵解：bn=(Iog2a2n+1)X(log2a2n+3)=1°92^,1092^-=2n⑵+2)=4n(n+1),

・b4^n7i+”

,,n，

数列G的前n项和Tn=3d)+(沁+…+J击)]

=K]--+1)=4,+4

【解析】(1)1,an,Sn成等差数列，可得2an=Sn+1,n=1时，2a1=a1+1,解得a1.n2？时，利用递

推关系可得an=2an-11【考点】

【答案】

(1)解：:m=(2si,G4+C),一和)，n=(1-2COS2,,COS2B),且

———n

,n=2sinBcosB-V^cos2B=-sin(2B+3)=0,

DZ

又因为锐角三角形，所以“-=3

(2)解：：sinAsinC=sin2B,由正弦定理可得：ac=b2,

由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB,

.'.ac=a2+c2-2accos,化为(a-c)2=0,角星得a-c=0

【解析】(1)由，，且，解