分式恒等变形师

分式恒等变形

方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再

通分。

例1.若a+m2=2004,b+m2=2003,c+m2=2002且abc-24,求

abc1111ttA/<、

-----1------1--------------------的(1/8)

becaababc

2J22

例2.若〃Z?cwO,〃+/?+。=0,求幺+—+J的值。(3)

beacab

1a1-beb1-acc2-ba八

例3.求证：------------+-------------+-------------=0

(〃+/?)(〃+c)(〃+Z?)S+c)(c+/?)(〃+c)

例4.设正数x,y,z满足不等式

r2,2_22,2_2_22_2

-~——+?------土+'y>1,求证x,y,z是某个三角形的三边长

2xy2yz2xz

【分析与证明】原不等式可变形为

z(x"2+y"2-z"2)+x(y^2+z2-x2)+y(x"2+z"2-y"2)-2xyz>0

因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0

所以三个括号内的数全正或者1正2负，因为x,y,z全正，所以不可能1正2负(证明

略)所以三个括号内均为正数，所以x,y,z是某个三角形的三边长

*八41124816

例5.求分式----F-------F-----7+Z-----7+-----r+-----77当4=2时的值.

1—a1+a1+Q1+Q1+a1+。

【解析】先化简再求值.直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-&2=(a+^)(a-&),可

将分式分步通分，每一步只通分左边两项.

…+…24816

(l-«)(l+a)1+61+/1+〃l+d

224816

---------1---------1---------1---------1---------

24

1-a1+/1+6Z1+"1+〃16

_2(1+〃2)+2(1+〃2)4816

++1+〃4+1+〃8+]+〃16

4481616163232

---------1-----------1-----------1=1--------------------------------

1-/1+/1+«81+«16--1-a161+«16~l-a321-232

例6.若实数a,b,c«^-+-+-=---,求证:

abca+b+c

1111

-----1———I——----------------

/〃c7a7+/77+c7-

【证明】：由已知得至(J(Z?c+QC+〃/?)(〃+Z?+c)=QZ?C,有(〃+/?)(/?+c)(〃+c)=0,则a,

b,C中一定有两个数互为相反数。

例7.化简:i+"£+£z£+V-乎-翌一2.

a+bb+cc+a(〃+Z?)(b+c)(c+〃)

【解析】原式=(F+c-a(^-Z?)(/?-c)(c-6Z)

\a+bb+c)c+a(〃+Z?)(Z?+c)(c+〃)

2b(a1)2b(a+c)

--------------rIC-ClI------------------

+伍+c)(4+/?)(0+c)(c+〃)

(a+Z?)9+c)(a+b)(b+c)

=0

x-16x-10

例8.计算:

%2+3x+2JC—x—2f—4

x-1A+8(A+5)x+(2A+8)

【解析】设

+3x+2x+1x+2(x+l)(x+2)

A+B=\A=-2

解之得

2A+B=-1B=3

•%一1—23日而.622

•----•--=-------1-----•问•-------=----------

x+3x+2x+1x+2x—x—2x—2x+1

x-10_32

>X?—4x+2x—2

原式=――J7+二3-----—9+—9......3—+—9=0.用因式分解再通分法比较好

x+1x+2x—2x+1%+2x—2

5x2x-57x-10

补充：化简分式:------------------1------------------------------------------

%2+x—6%2—x—12%2—6%+8

例9.化简---------------+---------------+------------——“丁皿

町」〃3^_a2b+ab2_b3a2_b2a2+b2/一/

【解析】按照分式混合运算法则进行化简：

ab11Q?+3必

-----------------1------------------1-------------------------

a3+c^b+ab2+b3a3-02b+ab1—Z73a1—b2a1+Z?2a4—b，

ab11a2+3b2

---------------1----------------1---------------------------------------------

(a+b)^a2+/?2)(a-b)^a2+/?2)(a+b)(a-b)a2+b2(a+Z?)(Q-祖〃+/)

〃(〃—/?)+/?(〃+〃)+(〃一匕2)一(〃2+302)

(〃+/?)(〃一8)(〃2+/)

/-ab+ab+/+/+-a2+b2-/—3/0

(a+/?)(〃一0)(〃2+〃)

a2—(b—c)2b1-(c—<7)2c2—-Z?)2

例10.化简:

(Q+c)2—b1(a+Z?)2—c2(b+c)2—Q2

(a+b-c)(a-b+c)伍+c-〃)(a+b-c)^a-b+c)(b+c-a)

【解析】原式=

(a+b+c)(〃一b+c)(i+b+c)(a+b-c)(a+Z?+c)0+c-a)

a+b—cb+c—aa—b+c

--------1---------1--------

a+b+ca+b+ca+b+c

=1

11

例11.已知〃+Z?+C=O,求证一5-----%-----y+a2+c2-b2+b2+a2-c2=0

b+c-a

a2b2c2

例12.已知a+b+c=0,求―—+f—+——的值

2a+bc2b+ac2c+ab

a2

------------------；可得

2〃2+be2a1+b(-a-b)(〃一Z?)(a-c)

答案为1;

2a1+be2"+b(-a-b)(a—b)(a—c)

例13,已知xyz=l,x+y+z=2,x2+y2+z2=16,求代数式

111g狂/4、

------------1--------------1------------的值。(----)

xy+2zyz+2xzx+2y13

方法二、约分：分子、分母先因式分解再约分

12

例14.已知分式(1+盯)2—(X+“

(1)在什么条件下此分式有意义？

(2)在什么条件下分式的值为正、为负？(此问要解一元二次不等式，超纲)

(3)分式的值能否为0?

【分析与解答】：(l)x,y的绝对值都不是1

⑵原式=(l+x)(l-x)/(x+l)(X-1)(y+1)(yT)=l/(l-y-2)

所以当y的绝对值小于1且x的绝对值不等于1时，分式为正

当y的绝对值大于1且x的绝对值不等于1时，分式为负。(3)不能

(]_1-gA,，_/_2

例15.化简:

\<?2—a+1a3—1)(a，—])_Ra+q?+])

22

fl+1+a-1_(a+l)(a-2)

【解析】原式=

/+1a3—1J(a?_2)(/+a?+])

3342

_(a+l)(a-1)+(a-l)(a+1)a+a+1

6i2,i

a—1a+1

2(/+])fl4+a2+1

(a2T(/+〃2+])a2+1

=2

例16.化简：4"+

m+4m+16m-8m-4m+4

2)加)))2)2

(m+4(+2(m-2(m-2(m+2m+4m-2m+41

【解析】原式=

苏+4)-4m2m2+4m2—4m+4m+2

(m2+4)(m+2)(m-2)(m-2)(m2+2m+4^^一2机+41

+2加+4)(/一2根+4)加N+4(m-2)2机+2

=1

2

例17.化简:

a?+2ab+Z??Q?—〃+2ab

【解析】原式=-^4+4--二2

(Q+Z?)ab(〃+片一/-Z?2+2ab

a2-b2lab2_a2-/+2ab22

(〃+b)2(〃+b)2a2-b2+laba+If?a2—b2+2ab(〃+Z?)2

补充.化简(1b-a'a4-a2b2-2b4

卜充•m[a2-ab+b2a3-b3)

a6一加)_(/+〃〃+/)•

【解析】按照分式混合运算法则进行化简：

(]_______b-aA,冷―2/

ya2-ab+b2a3-b3)(a，_庐)_(/+//+/)

1a-b'(/-〃)(/+〃2b2+人4)_(q4+〃2。2+人4)

a2-ab+b2(a-Z?)(«2+ab+b2^(a1-2b2^a2+Z?2)

11)(〃4+/〃+根〃2_。2一])

a2-ab+b1a1+ab+b2]-2b2^a2+Z?2)

2(a2+b2)(a4+a2b2+b)(a2-b2-l)

2

(片一面+叫(足+ab+b^—282)(Q2+》2)

2(a2-b2-l)

a2-2b2

三-1।尤3+i2(x?+l)

补充：化简:

x3+2x2+2x+lx3-2x2+2x-lx2-1

【解析】原式+++

(x+l)(x2+X+1J(X-1乂V_%+1)x-1

x-1x+12(x2+1)2(X2+1)-2(X2+1)_

=----1--------Z------------------=0

X+1x—1x—1x—1

tz2(---)+Z?2(---)+c2(---)

例18,化简：——今~----------------J..(a+b+c)

叱-)+丛----)+0(----7)

bccaab

方法三、倒数法

/+4+7

例19.若x+1=3,则一—

x/+。+3

x

,1,1

【解析】解析由x+-=3=>x2+—=1故

XX

25

502

例20.(1)已知。+工=5,则a+,+1=.

aa

■/+19炉+1

⑵若％2+4x+1=0,贝!]

2x3+19x2+2x

若二则总—

⑶=7,

【解析】⑴本小题是一个简单题，也是这类题的一个最基本、最原始的模型!

121cc/+。2+121

a-\——=5=>Q~H—-=23,-------z-----=Q+f+1=24.

aaaa

⑵本题在例题的基础上，对已知条件稍作变形，待求式也稍作变形.

1

%9+4%+l=0n%+—=-4

x

■+17

■Z+N+i33

——=3

2x3+19x2+2x2"卜1911

⑶本题在上个例题的已知条件上稍作变形，实质是一样的!

%_11_1_49

X24949

点评：倒数法是指利用已知条件中隐含的倒数关系，或者对已知条件、待求式作

倒数变形，以便快速、准确地求解问题的一种方法，对于本题而言，已知条件中

存在（或隐含）倒数关系，这类题目比较简单.

2

补充：⑴已知/-3帆+1=0,求分式r---2——的值・

m+m+1

(2)如果/—3a+l=0,那么的值是_________.

a+1

【解析】(1)m2—3m+l=0^>m2+l=3mm+—=3(*/m0)

m

苏]_]_£

(2)由4―3。+1=0=〃+,=3=。2+!=7,

aa

a?_]_1__________J_

什2cy八,ix7+32x4+x

例21.若/—3%+i=o,贝m！——-——

X8+3X4+1

【解析】由％2-31+1=0=1+工=3=%2+4=7,

xx

式+1+32

故原式二----------

/+乙+3

x

例22.设一上一=1,则6；3的值是()

x-nvc+1x-mx+1

D・小

【解析】由一=1可知，—如+]=1^>%+—=m+l^>x2+^-=m2+2m—1・

x—mx+1xxx

原式

1=__________1__________=___________1___________1

232

八：一41+口卜+^—>加(m+l)(m+2m-2)-m3m-2,

112x+3xy-2y

-----=5-------------

例23.己知X,，求x_的值。

补充：己知工-工=4,求a—2"-b的值

ab2a—2b+lab

例24.设。4+/6一4//72+。〃+/=0（4，0力，0）,求2+@的值.

ab

【解】：两边同除以标",因式分解得至|J（@+2+3）（0+2—2）=0；答案为2或一3；

baba

ZX

例25.已知孙=a,"=b,-c9且abcW0,求x的值。

x+yy+zz+x

x

例26.已知/(x)=」一，求下列的值

1+x

，总)+/(+)++/(1)+/(D+/(0)+/(l)+/(2)+/(2011)+/(2012)

J.4J.J.乙

方法四、等比定理、设k法

例27.已知.%+♦+%_+%+&_%+&+4_.+4+%.卜,求上

^^2^^3^^4

rxyz4孙+yz+zXgf

例28.如果m一二上=—,求；'一的值。

234x2+y2+z2

/_i4-abcdnja—b+c—d』口

例7M29.若一=—=—=—,则---------------的值是或.

bcdaa+b-c+d

【解答】：0或一2；

例30.若aOcwO,且£±^=小=£±£,求("+')(：+，)(’+")的值。4或")

cababc

内升％+y-zx-y+z-x+y+z5八(x+y)(y+z)(z+x)_

例31.若一--=---=-----------,且孙zwO,求^一...------的值；

zyxxyz

【分析】等比性质；x=y二z或x+y+z=O；原式=8或T

pnr

例32.已知-------=1--=----，求证px+qy+rz={x+y+z){p+q+r)。

x-yzy-zxz-xy-

v.,crPqrpx-\-qy+rz,,_

补充：已知p+q+r=9,且T—二三一二方------，求2—————的值。(9)

x-yzy-zxz-xyx+y+z

i.x+y-zx-y+z-x+y+z„(x+y)(y+z)(z+x),、

例33.已知一--二一--=-----------,且^~~-=-1,求

zyxxyz

%+y+z.(O)

b1+bx+x2b2-bx+x2求证三2或之2

例34.已知ayw0,且,==

a2+ay+y2a2-ay+y2ayya

,y+z-xz+x-yx+y-z_,、

例35.已知2--------=---------=——-——=p,求〃+〃2+〃3的值。(1)

x+y+zy+z-xz+x-y

方法五、巧变“1”

例36・若abc=1，求证：----------1---------1--------=1.

1+a+ab\+b+be1+c+ca

【解析】解法1:因为abc—1,故awO,bwO,cwO.

1+a+abl+b+be1+c+ca

1+a+abaX+b+beab1+c+ca

l+a+aba+ab+abcab+abc+abca

注意到Me=1,故上式=—-—+———+—i—=1+a+ab=1.

l+a+ab\+a+ab1+a+ab1+a+ab

解法2:因为abc=1,故awO,cwO.

1+a+abl+b+be\+c+ca

bbc

+-------+-------

abc+a+ab\+b+beb1+c+ca

be

l+b+bel+b+beb+bc+abc

1bbe

--------1---------1--------

l+b+be\+b+bc\+b+be

l+b+be

-------=1.

l+b+be

解法3：由"C=1可得4=°,

be

1+a+abl+b+be1+c+ca

1

bebc

-----+-------+-------T~

1,11>\+b+bc<,1

Id---1---b1+c+,c—

bebebe

\+b+bc\+b+bcl+b+be\+b+bc

点评：使用各种各样的代入方法进行化简，题目赋予的信息要充分利用,三种解法

的思想是一样的，但是细微之处需要大家用心揣摩，尤其是“1”在其中的使用，

更是值得细细品味.

当然，我们也可以通分后再代入计算，但是存在一个问题——过于烦琐，有兴趣的

学生可以尝试一下这种思路.

例37.已知一-—+—-—+—-—=1,求证：abc=l.

1+a+abl+b+be1+c+ca

bcyaab+1

【解析】--------1--------=1---------------=-------------

1+Z?+Z?c1+c+ca1+a+ab1+a+ab

-b+ab+ab2c+ac+abc

即-----------+------------=ab7+14,

l+b+bei+c+ca

b+ab+ab1(l+c+ca)+(abc-l)

故-----------+---------------------=ab+l

l+b+be1+c+ca9

.b+ab+ab2abc-1

贝n------------+---------+l=ab+l

l+b+be1+c+ca9

b+ab+ab2abc-1

故---------------+------------=ab.

l+b+be1+c+ca

1

-+l+bc-----

aab

等式两边同时除以他，可得=1,

\+b+bc1+c+ca

(1+Z?+Z?c)+|—jc--

进而----------------Y——2+——Qb_=i,

l+b+be1+c+ca

C--

贝打_Z+_江=1,

\+b+be1+c+ca

l+b+be1+c+cal+b+be1+c+ca

故[L-be](1+c+ca)=

展开并化简，可得c-abd=」--c,

ab

即abc—02bz产=1—abc,从而(a8c-l)2=0.

故abc=1.

点评：本题的证明过程非常复杂，其中有一个步骤很关键，就是拆分部分分式的

时候，我们从左边的式子里面提出两个1,从而让整个式子得到简化.

补充：若abed=1，求证

1+4Z++abc1+b+be+bed1+c+cd+eda1+d+da+dab

例38.若敬c=l,解关于x的方程--—+—-—+—--=2012.

1+a+abl+b+be1+c+ca

例39.B^n«x=Z?y=cz=l,++++j-+-^-vW<e

1+a1+b1+c1+x1+y1+z

答案：1

例40.设a、b、c均为正数，且a+b+c=L求证工+工+工29。(结合均值不等

abc

式)

方法六、换元法

x2+-^--x--+3

11-____xx

例41.化简分式:x-\-------

X1X1x2+^z--2x--+3

XXX

【解析】原式中只出现了x+!和尤的形式，而且/+4=«+工］一2,因此可用换

xxxVX)

元法。

x+—=a,贝”

XH----

X

原式=Q

—〃+1

—2a+1

Ct~-4+1

nmnm

----2---1------2-—+—

例42.计算mnmn

〜匕m、nmA

―3()—2-)—F—2

m~nmnmn

【分析与解答】换元法;(r2+111-2)/(11-2-111八2)

例43.化简

Cy-x)(z-x)(z-y)(x-y)(x-z)(y-z)

(%-2y+z)(%+y-2z)(x+y-2z)(y+z-2x)(y+z-2%)(%-2y+z)

【分析与解答】利用换元，令x-y二a,y-z=b,z-x二c得原式二1

例44.设a,b,c是实数，且

(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2=(b+c-2a)2+{c+a-2b)2+{a+b-2c)2,求分式

(bc+l)(ac+l)("+l)

222

(^+W+l)(c+l)

【解答】：^b-c=x,c-a=y,a-b=z9x+y+z=O,由已知得到

x2++z2=(y-z)2+(z-x)2+(x-yf,化简得到

x2+y2+z2-2xy-2yz-2xz=0；

又由(%+y+z>=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=0；两式相加得到,

x2++z2=0,贝!)a=b,b=c,c=a；得证。

例45.关于x的方程x+2=c+2的两根是%=c,羽=2,求关于x的方程

XCC

X+2=q+3的两个根？

X—1CL—1

例46.若x+y+z=O,-一+」一+—)―=0,求(x+iy+(y+2)2+(z+3)2的值。

x+1y+2z+3

(36)

iyzab7c4-x2y2z2

例47.已知—1--+—=1,A--1--F—=0,求证：-+彳+丁=AL

abcxyzabc

2+与一2也纪+2+与=1-0=1

abcabcxyz

换元：令p=&,q=,r=上,则p+q+「=l,—为，故

abcpar

p2+q'+r=1

例48.设x、y、z都是正数，求证工2+工2+-22—Q--

x+yy+zz+xx+y+z

证明：令。=%+丁,b=y+z,c—z+x,则x+y+z=g(a+Z?+c),则原不等

式变为例40.

方法七、巧解方程组：消元思想；整体相加（减）；整体相乘；两两相加（减）;

倒数

例49.已知三个不全为零的数x、y、z满足4x—3y—6z=0,x+2y—7z=0。求

2x'+3y2+6z2

的值。（1）

x2+5y2+7z2

112

例50.已知a+—=1,b+-=l,求c+—的值。(2)

bca

例51.已知x+^=y+L=z+L,其中x,y,z互不相等，求证：x2y2z2^l.

yzx

2Z£

【证明】：易得到-=，得到zy=2三；得证;

zyzyx-y

例52.已知%=y+,=z+l=%,其中x,y,z互不相等，求t的值。（1或-1）.

yzX

1_y—z

【证明】：易得到,得到与二匕^；得证;

Zyzy%一y

〜14y+'=l,17

例53.已知％+—=4,Z+—=~,求孙2的值。(1)

yzx3

4x2

1+4?二y

4y2

例54.解方程组：二z(x=y=z=O或者x=y=z=l/2)

1+4/

4z2

------7=%

11+4Z2

111

—+———

Xy+z2

111

例55.解方程组:<一+———(x=23/10;y=23/6;z=23/2)

yz+x3

111

—+———

zx+y4

先通分,再取倒数，整体相加，然后用这个和分别减以上三式，然后相除，得出x、y、z

之比，按比例设未知数，带入原方程即可。

g.abcab

例56,已知----+----+----=0,求证:-------------------------------------7二0

b-cc-aa-b(Z?-c)2(c-a)2(a-b)2

ab111

【证明】：（-+----++----+-）-；--

b-cc-aa-3-cc-aa-b

ab

补充：已知求证

-------------2----------------2-----2=0,:

be-aac-bab-c

ab

二0

(be-a2}2(ac-b2)2(ab-c2)2

.―..9y2八rabc9abco“上、一、十

例57.已知/一/。0,且-----片=------b72=M,求证:

b+cc+a

abc=(Q+b)(b+c)(c+a),且M=---------c2.

a+b

【证明】略。

方法八、降次思想

例58.已知三_%_1=0,求12+1+1的值。(1)

X

例59.已知151997=。,求（/）：：；；：厂的值。（2。。5）

例60.已知"1=°'求=七的值。⑸，先倒数，再升次）

方法九、裂项：因式分解再裂相

11111

例61.计算:H----H-+--…-+------1------

1x32x43x517x1918x20

11]

例62.化简------1----+--..-.+

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)

n(n+3)

【分析与解答】拆项法;

4(〃+1)(〃+2)

例63・-------------------1------------1-----------H-----------------

(%+1)(%+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)(x+100)(%+101)

b+c+d

例64.化简:

a[a+b)(a+b)(a+/7+c)[a+b+c\a+b+c+d)

14—111n

例65.求证：---------1-------------1---1--------------------------

a(a+d)(a+d)(a+2d)[a+(n-1)J](a+nd)a(a+nd)

b-cc-aa-b22

例66.化简-----------+-----------+-----------+——

(a-b)(a-c)(b—c)3—a)(c-a)(c-b)b-ac-a

【分析与解答】拆项法；原式=2/(b-c)

例67.化简分式：——+—^—+—

x+3%+2x+5x+6x+7%+12

【解析】三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简.

1]]

原式=

(x+2)(x+1)(%+2)(%+3)(x+3)(x+4)

X+3y1x+3X+4yX+-1--X+4X+5%+4

b—cc—aa—b222

例68.---------------1---------------1---------------------------------

a2—ab—ac+beb2—ab—be+acc2—be—ac+aba—bb—cc—a

【解析】本题涉及因式分解的一些技巧：

b—cb—c

a2-ab-ac+be(Q-b)(Q-c)

我d门发现，a—b—(a—c)=c—b9

,»b—c11

故