安徽省阜阳市2023-2024学年高三下学期第一次教学质量统测数学试题含答案

阜阳市2023-2024学年度高三教学质量统测试卷数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，集合，且，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．2．设复数满足，则（）A．2 B． C． D．13．设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（）A． B．C． D．4．已知数列满足，则“为递增数列”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．降水量是指水平地面上单位面积的降水深度（单位：）．气象学中，把24小时内的降水量叫作日降雨量，等级划分如下：降水量等级小雨中雨大雨曝雨某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为，底面直径为，深度为的圆台形水桶（轴截面如图所示）．若在一次降水过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨所属等级是（）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨6．已知分别是圆与直线上的两个动点，若直线与圆恰有1个公共点，则的最小值是（）A． B． C． D．7．设，则的大小关系为（）A． B． C． D．8．已知函数对满足，且当时，，若存在，使得，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．关于一组样本数据的平均数、中位数、众数，频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（）A．改变其中一个数据，平均数和众数都会发生改变B．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数D．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小10．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（）A．的最小值为4 B．为定值C．存在点，使得 D．11．2023年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图象近似函数的图象，而破碎的涌潮的图象近似（是函数的导函数）的图象．已知破碎的涌潮的“波谷”（最低处值）为，当时，两潮有一个交叉点，则（）A． B．C．是偶函数 D．在区间上单调三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置．12．如图，在四边形中，分别为的中点，，则______．13．抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到抛物线，其准线方程为，则抛物线的焦点坐标为______．14．已知，则______，，．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，角的对边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积．16．（15分）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面分别是棱的中点．（1）证明：平面．（2）求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为．（1）求双曲线的标准方程．（2）当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（17分）已知函数．（1）讨论的单调性．（2）已知是函数的两个零点．（ⅰ）求实数的取值范围．（ⅱ）是的导函数．证明：．19．（17分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药，一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列．（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中．假设．（ⅰ）证明：为等比数列．（ⅱ）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．阜阳市2023-2024学年度高三教学质量统测试卷数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案BCACCADD1．【详解】由题意可知且，解得，故选B．2．【详解】，则，故选C．3．【详解】正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线，越大，曲线的最高点越低且弯曲较平缓，反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭．选A．4．【详解】由为递增数列得，则，得．可得，反之不行，故选C．5．【详解】设上口半径为，下口半径为，桶深为，水面半径为，则，降水量的体积，降水深度为，属于大雨等级，选C．6．【详解】将圆化为标准方程，即，则圆的圆心为，半径，则，直线与圆相切，有，因为点在直线上，所以，则，即的最小值是．故选A．7．【详解】，，，，故选D．8．【详解】任取，且，则，而当时，，于是，又，所以，则函数是增函数，而，于是，令，得，令，得，令，得，令，得，令，得，即有，因此，原问题即在上有解，令，则在时有解，从而，所以的取值范围是．故选D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案BDBCDBC9．【详解】对于A，例如数据1，3，3，将数据改成2，3，3，数据的众数未改变，仍为3，故A错误；对于B，根据频率分布直方图中中位数的求法，可得B正确；对于C，可取特例说明C是错误的．对于D．样本数据方差越小，数据越稳定，离散程度越小，故D正确故选BD．10．【详解】对于A，由于，A错误；对于B，由椭圆的对称性可知，，可得B正确；对于C，由于，则存在点，使得，故C正确；对于D，设，则，则，故D正确．故选BCD．11．【详解】对于A，，则，由题意得，即，故，因为，所以，所以，则选项A错误；对于B，因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则，故选项B正确；对于C，因为，所以，所以为偶函数，则选项C正确；对于D，，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误．故选BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．3/213．14．（两空都填对得5分，填对一空得3分）12．【详解】由于，则．13．【详解】由于抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，抛物线的顶点到其准线的距离与到其焦点的距离相等，且可知，则，则，所以抛物线的焦点坐标为．14．【详解】，两式平方相加可得，则．，，，所以．15．解：（1）因为，所以根据正弦定理得，因为，所以，即，即．因为，所以．因为，所以．（2）．因为，所以①．因为，所以②．联立①②可得，解得（负根舍去），故的面积为．16．（解法一）（1）证明：取的中点，连接，因为为的中点，四边形为正方形，为的中点，可得，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面．（2）解：因为是等边三角形，是的中点，所以．又平面平面，平面平面平面，所以平面，底面是正方形，如图，以为原点建立空间直角坐标系，不妨令，则，所以，．设平面的法向量为，则令，可得．设平面的法向量为，则令，可得．所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．（解法二）（1）证明：因为是等边三角形，是的中点，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，底面是正方形．如图，以为原点建立空间直角坐标系，不妨令，则，所以．设平面的法向量为，则令，可得，所以，即，又平面，所以平面．（2）解：因为，所以，设平面的法向量为，则令，可得，又平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．17．解：（1），故当直线过且与双曲线有且仅有一个公共点时，应与的渐近线平行．设直线，即，则点到直线的距离为，即双曲线的标准方程为．（2）由题可知，直线的斜率不为0，设直线，由得．成立，，．，．故存在实数，使得成立．18．解：（1）．①当时，在上单调递增．②当时，令得，即在上单调递增；同理，令得，即在上单调递减．（2）（ⅰ）由（1）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点．当时，在上单调递增，在上单调递减，若使有两个零点，则，即，解得，且，当时，，则有，所以的取值范围为．（ⅱ）是函数的两个零点，则有①，②，①-②得，即，，因为有两个零点，所以不单调，因为，得，所以．若要证明成立，只需证，即证，令，则，则不等式只需证，即证，令，．令，因为，