静定结构的位移计算课件

静定结构的位移计算§3.1结构位移计算概述静定结构受力分析校核强度静定结构的位移计算验算刚度位移产生的原因：1)载荷作用2)温度作用和材料胀缩3)支座沉降和制造误差结构各点产生位移时的两种情况：a)有位移无应变各杆只发生刚体位移静定多跨梁的支座A有一给定位移CA，杆AC绕B点转动，杆CD绕D点转动。b)有位移有应变简支梁在载荷q作用下，各点产生线位移；同时梁内弯矩M产生的曲率k（曲率半径）和应变e。§3.2虚功原理功：载荷P所作的功：力在其作用点运动方向的投影与该点运动路程的乘积：体系上作用一个常力P上式中P指广义力，D是相应的广义位移。在某一瞬间：单个力：多个力：分析：1）上式只适用于在静力载荷作用下的弹性体系3）外力与位移成比例，所以外力功是外力(或位移)的二次函数，即非线性关系。2）外力总功与外力施加的次序无关2.弹性体的变形位能：变形位能dU=dT外力作功微段上外力是弯矩M，轴力N和剪力Q

取一微段相应的变形：弯曲变形dq，轴向变形dl，剪切变形

gds，略去高阶微量外力作功：对杆轴为直线的弹性结构，上式中，，E为材料弹性模量，A为微段截面面积，I为截面的惯性矩，G为材料的剪切模量，k为截面剪切修正系数。3.虚功原理：所作的功为：C处先加力P1，位移力P1又因有位移作功为：D处先加力P2，C处位移分析：作功过程存在两种情况：

力在其自身引起的位移上作功，称为实功；在别的因素引起的与力本身无关的位移上所作的功，称为虚功，如：如：虚功并非为不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无关的特点。

对于一个具有理想约束的质点系在某一位置处于平衡的必要充分条件是：所有作用在此质点系的主动力在任何虚位移中作功的总和恒等于零。

对于变形体系，不仅考虑外力虚功，还要考虑与内力有关的虚功

变形体系平衡的必要与充分条件是，对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功与内力所作的虚功之和等于零：内力虚功外力虚功§3.3结构位移计算的一般公式另一种：应用刚体体系的虚功原理导出局部变形时的位移公式，然后

应用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。计算变形体体系的位移，有两种途径：一种：根据刚体体系的虚功原理，导出变形体体系的虚功原理，再导出变形体体系的位移公式。这里选择第二种。由前面一节可知：杆系结构虚功方程：（无分布力）单个杆件：杆系：虚功原理中作功力系和位移可以彼此无关，二者之一可以虚设。平面结构虚功方程：（无分布力）它与实功不一样，实功中的位移是由作功的力系本身所引起的，即，一个给定平衡力系，只有一种相应变形状态。虚功原理中，对应于某一给定平衡力系，可以选取多种变形状态，或者对于某一给定的变形状态，可以选取多种的平衡力系。因此，虚功原理的应用范围广泛。分析，见图图a)求结构上任一点C沿指定方向K-K’上的分位移(1)可按常规计算方法，但计算工作麻烦。(2)利用虚功原理，结构有变形又要有力系。求结构变形，须有平衡力系虚功原理中，作功力系与位移可以彼此无关，二者之一可以虚设。见图b)状态II表示虚拟状态，沿K-K’方向作用虚拟力引起的内力为求(1)先设刚架处于II：内力，外力满足平衡条件(2)再设其产生I

的位移：即，将结构的实际位移作为状态II的虚位移根据虚功原理和得：，，上式为：由虚功原理得到的计算结构位移的一般公式(称单位载荷法)它可以计算结构的：线位移、角位移、结构绝对、相对位移。只要虚拟状态中的单位力是与所计算的位移相当应的广义力即可。如图，若求结构上C点的竖向位移，可在该点沿所求位移方向加一单位力2)若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力偶。若求桁架中AB杆的角位移，应加一单位力偶，构成这一力偶的两个集中力的值取1/d。作用于杆端且垂直于杆(d等于杆长)。3)若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。4)若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个截面上加两个方向相反的单位力偶。结构的变形是由结构各个微段变形的总和。相对转角相对轴向位移相对剪切位移§3.4静定结构在载荷作用下的位移计算一、静定平面桁架在载荷作用下的位移计算位移公式：注：桁架中，各杆只有轴力，轴力值沿杆长不变。通常各杆所用材料及杆的截面面积沿杆长不变。例1.计算桁架结点C的竖向位移，设各杆EA都相同。1、分析内力：本问题因为桁架与载荷均对称，所有只需计算一半桁架的内力。ABDE<1>利用体系整体平衡关系，得：支座反力<2>利用结点法，取A点分析由A点的Y方向平衡得：ABDE<3>利用三角形关系A点X方向平衡得：(拉力)ABDE(压力)同理<4>取D点分析D点X方向平衡(压力)显然DC杆的杆力为零。ABDE2、计算位移C点加一单位力P＝1由位移公式：BADE为正值表示，C处的位移与虚拟力的方向相同。ABDE二、静定梁和刚架在载荷作用下的位移计算梁和刚架的位移，主要由弯矩引起，轴力和剪力的影响均较小，可忽略不计。位移公式例2，计算刚架C端的水平位移和角位移已知EI为常数。解：在载荷作用下，刚架的图如图所示，状态IAB柱BC梁<1>求C点的水平位移，可在C点加一单位力得状态II，图BC梁AB柱状态II代入位移公式，得：<2>求C点的角位移，可在C点加一单位弯矩。§3.5温度作用时的位移计算静定结构温度改变并不引起内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。杆件的微段，分别为轴至上、下边缘的距离。上边缘温度上升下边缘温度上升沿杆截面厚度为线性分布，轴线温度上下温差轴线温度：上下边缘的温差：伸长应变：曲率：线膨胀系数d

由位移计算公式：若沿每一杆件的全长为常数，则：以温度升高为正，弯矩和温差引起的弯矩为同一方向时，其乘积取正，反之取负。在式中例：试求右图，a所示刚架C点的水平位移。已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上升10°C，刚架各杆的截面相同且与形心轴对称，线膨胀系数为

。解：在C点沿水平方向加一单位力P＝1。作出相应的、图。并有：轴向上的温度上升值。式中h为截面高度。所得结果为正值，表示C点位移与单位力方向相同。杆件由于温度改变而发生的弯曲变形，该变形与由于所产生的弯曲变形方向相同(如图虚线所示)，§3.6支座下沉的位移计算如图静定结构，支座发生水平位移、竖向沉陷和转角，求由此引起的任一点的位移。如K点的竖向位移。静定结构，支座发生位移并不引起内力，因此材料不发生变形。故此时结构位移属刚体位移。位移计算公式：当与实际支座位移c方向一致时，乘积取正，反之取负。虚拟状态下的支座反力，为反力虚功。注：上式中右端的负号是移项所得，不可丢掉。例.如图所示，三铰刚架水平位移为

(向右)已知l＝12m,h=8m;试求由此引起的A端转角右边的支座位移为

(向下)解：如图虚拟状态，考虑刚架的整体平衡，由可求得，再考虑右半刚架的平衡，由可求得由式有：§3.7图乘法静定梁和刚架的位移计算：需先计算各段、。计算较为复杂。但如果杆轴符合下列条件时，(1)杆轴为直线时；(2)EI＝常数；(3)与两个弯矩图中至少有一个是直线图形。则可用图乘法代替积分运算。(3)为直线变化，故有常数(1)因为是直杆，所以可用dx代替ds。(2)因为EI是常数，所以