广雅中学佛山一中联考高二数学下学期期末试卷 理（含解析）-人教版高二数学试题

-学年广东省实验中学、广雅中学、佛山一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|0≤x≤6}，集合B={x|3x2+2x﹣8≤0}，则A∪B=（）A．[0，] B．[﹣2，] C．[0，6] D．[﹣2，6]2．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知实数x，y满足1＜ax＜ay（0≤a≤1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x2＞y25．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（）A．24 B．96 C．144 D．2106．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+ B．1﹣ C．3+2 D．3﹣27．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．16 B．17 C．14 D．158．已知函数f（x）=sin（x﹣φ）且|φ|＜，又f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x= B．x= C．x= D．x=9．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为（）m3．A．4 B． C．3 D．210．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．311．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图象大致为（）A． B． C． D．12．设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量夹角为45°，且，则=．14．（x﹣y）2（x+y）7的展开式中x3y6的系数为（用数字作答）15．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．在平面内，定点A、B、C、D满足：||=||=||，•==•=﹣2，动点P、M满足：||=1，=，则||的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若b=，c=1，求△ABC的面积．18．正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn．19．为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望．附：K2=P（K2≥k）0.5000.4000.1000.0100.001k0.4550.7082.7066.63510.82820．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．21．已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=alnx﹣x2，a∈R，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设a＞0，若A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=f（x）上的两个不同点，满足0＜x1＜x2，且∃x3∈（x1，x2），使得曲线y=f（x）在x=x3处的切线与直线AB平行，求证：x3＜．

-学年广东省实验中学、广雅中学、佛山一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|0≤x≤6}，集合B={x|3x2+2x﹣8≤0}，则A∪B=（）A．[0，] B．[﹣2，] C．[0，6] D．[﹣2，6]【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合A={x|0≤x≤6}=[0，6]，B={x|3x2+2x﹣8≤0}=（x|﹣2≤x≤}=[﹣2，]，∴A∪B=[﹣2，6]，故选：D．2．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c与点c﹣2关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），∴，∴c=3故选：C．4．已知实数x，y满足1＜ax＜ay（0≤a≤1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x2＞y2【考点】指数函数的图象与性质．【分析】实数x，y满足1＜ax＜ay（0＜a＜1），得到y＜x＜0，对于B．C．D分别举反例即可否定，对于A：由于y=x2在（﹣∞，0）上单调递减，即可判断出正误【解答】解：∵实数x，y满足1＜ax＜ay（0＜a＜1），∴y＜x＜0，A．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，恒成立B．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=﹣1，y=﹣2，满足x＞y时，但x2＞y2，不成立，C．当x=﹣π，y=﹣π时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．D．当x=﹣1，y=﹣2，满足x＞y时，但x2＞y2，不成立，故选：A5．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（）A．24 B．96 C．144 D．210【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×A44=96种．故选：B．6．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+ B．1﹣ C．3+2 D．3﹣2【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．16 B．17 C．14 D．15【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：S=log2，n=2；第二次循环：S=log2+log2，n=3；第三次循环：S=log2+log2+log2，n=4；…第n次循环：S=log2+log2+log2+…+log2=log2，n=n+1；令log2＜﹣3，解得n＞15．∴输出的结果是n+1=16．故选：A．8．已知函数f（x）=sin（x﹣φ）且|φ|＜，又f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x= B．x= C．x= D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】利用f（x）dx=0求出φ值，然后找出使三角函数f（x）取得最值的x即可．【解答】解：函数f（x）=sin（x﹣φ）且|φ|＜，所以f（x）dx=sin（x﹣φ）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）+cosφ=0，所以tanφ=，解得φ=+kπ，k∈Z；又|φ|≤，∴φ=；所以f（x）=sin（x﹣）；所以函数f（x）的图象的对称轴是x﹣=kπ+，k∈Z；即x=kπ+，k∈Z；所以f（x）其中一条对称轴为x=．故选：A．9．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为（）m3．A．4 B． C．3 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该四棱锥的底面是底边为2，高为1的平行四边形，四棱锥的高为3．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该四棱锥的底面是底边为2，高为1的平行四边形，四棱锥的高为3．∴该四棱锥的体积V=×3=2m3．故选：D．10．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】要求离心率，即求系数a，c间的关系，因此只需用系数将题目已知的条件表示出来即可．本题涉及到了焦点弦问题，因此注意结合定义求解．【解答】解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|=2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|=3b，所以，两式相乘得．结合c2=a2+b2得．故e=．故选B11．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】本题利用逐一排除的方法进行判断，结合选项根据最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，以及总面积一直保持增加，没有负的改变量，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断进行判定即可．【解答】解：最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A．故选A．12．设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|xP|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量夹角为45°，且，则=3．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：314．（x﹣y）2（x+y）7的展开式中x3y6的系数为0（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意依次求出（x+y）7中xy6，x2y5，x3y4项的系数，求和即可．【解答】解：多项式（x﹣y）2（x+y）7=（x2﹣2xy+y2）（x+y）7，设（x+y）7的通项公式为Tr+1=C7rx7﹣ryr，令r=6，则T7=C76xy6=7xy6，令r=5，则T6=C75x2y5=21x2y5，令r=4，则T5=C74x3y4=35x3y4．∴（x﹣y）2（x+y）7的展开式中x3y6的系数为：1×7﹣2×21+1×35=0，故答案为：0．15．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4]．【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]16．在平面内，定点A、B、C、D满足：||=||=||，•==•=﹣2，动点P、M满足：||=1，=，则||的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件可知A，B，C三点共圆，M为PC的中点，于是=（）．建立平面直角坐标系得出的坐标，计算得出模长关于α的函数，利用三角函数的恒等变换得出模长的最大值．【解答】解：∵||=||=||，∴A，B，C在以D为圆心的圆D上，∵•==•=﹣2，∴两两夹角相等均为120°，∴|DA|=2，以D为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），则B（﹣1，﹣），C（﹣1，），∴=（0，2）．∵||=1，∴P在以A为圆心，以1为半径的圆A上，∵=，∴M为PC的中点，∴=（）．设P（2+cosα，sinα），则=（3+cosα，sinα+），∴=（cosα+，sinα+），∴=（cosα+）2+（sinα+）2=+sinα+=3sin（α+）+，∴||的最大值为=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若b=，c=1，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用诱导公式、两角和的余弦公式、商的关系化简已知的式子，根据内角的范围和特殊角的三角函数值求出B的值；（2）由条件和余弦定理列出方程求出a的值，由三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵C=π﹣（A+B），cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，∴﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0﹣﹣即sinAsinB﹣sinAcosB=0﹣﹣∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，﹣﹣∵0＜B＜π，∴﹣﹣（2）由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2ac•cosB，把b=，c=1代入得，3=a2+1﹣a，﹣﹣即a2﹣a﹣2=0，解得a=2﹣﹣∴﹣﹣18．正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）因式分解可得（Sn﹣（n2+n））（Sn+1）=0，从而求得Sn=n2+n，从而判断出{an}为等差数列，从而解得；（2）裂项bn==（﹣），从而求其前n项和前证明不等式即可．【解答】解：（1）∵Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0，∴（Sn﹣（n2+n））（Sn+1）=0，∴Sn=n2+n，或Sn=﹣1（舍去），故正项数列{an}为等差数列，其中a1=1+1=2，a2=S2﹣S1=4，故an=2+2（n﹣1）=2n；（2）∵bn==（﹣），∴Tn=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣（+）；故Tn＜．19．为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望．附：K2=P（K2≥k）0.5000.4000.1000.0100.001k0.4550.7082.7066.63510.828【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题意求出K2，由此得到有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．（II）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（I）由题意：K2≈7.822K2≈7.822＞6.635，∴有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．（II）由题意X的可能取值为0，1，2，3，，，，，∴X的分布列为：X0123PE（X）==2．20．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE⊂平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），=（），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），…设平面CEF的法向量，则，取a=1，得=（1，0，﹣），…∴cos＜＞===．即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为．…21．已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程．（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2=．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A（x1，y1），B（x2，y2），根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式，代入•的表达式中，求得•=0，进而推断TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，离心率，，抛物线的焦点为（0，1），所以，椭圆C的方程是x2+=1（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2=．由解得即两圆相切于点（1，0）．因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+）．由即（k2+2）x2+k2x+k2﹣2=0．记点A（x1，y1），B（x2，y2），则又因为=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），•=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+）（x2+）=（k2+1）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+k2+1=（k2+1）+（k2﹣1）++1=0，所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件22．已知函数f（x）=alnx﹣x2，a∈R，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设a＞0，若A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=f（x）上的两个不同点，满足0＜x1＜x2，且∃