2024年广东省中考数学模拟试卷试题及答案详解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东广州市中考适应性练习九年级数学一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知点在第一象限，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．下列运算中，正确的是（

）A． B． C． D．4．下列说法中，正确的是（

）A．为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查B．一组数据，2，5，5，7，7，4的众数是7C．明天的降水概率为，则明天下雨是必然事件D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定5．如图，是的直径，点B、D在上，，，则的长度是（

）

A． B． C．3 D．6．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如下图方式叠放，若，则的度数为（

）A． B． C． D．7．如图，在中，，点D和点E分别是边和上的点，，，，，则的长为（

）

A．4.8 B．4.5 C．4 D．3.28．已知，如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，过点C作⊙O的切线CD，BD⊥CD于点D，若∠DCB=50°，则∠ABC的度数是（

）A．25° B．40° C．45° D．50°9．如图，点A是反比例函数y＝(x＞0)上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB＝2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y＝图象上移动，则k的值为()A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．210．如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为(

)．A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，共18分）11．某芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为．12．分解因式：2x2﹣8=13．已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是．14．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．15．已知，，是方程的两个实数根，则的值是．16．如图，BC＝8cm，点D是线段BC上的一点，分别以BD、CD为边在BC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形CDE，AC、BE相交于点P，则点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C重合）为．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．18．已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD．AC=BE．BC=BD．求证：AB=DE．19．先化简，再求值：，其中.20．某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；(2)若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；(3)甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．21．五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元．(1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？(2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？22．如图：为的直径，点A是弧的中点，交于点E，，．

(1)求证：；(2)求的值．23．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求的面积．24．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题：(1)当时，求t的值；(2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．25．已知抛物线过点，交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点，且对于任意实数，恒有成立．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若，，三点都在抛物线上且总有，请直接写出的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”解答即可．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式被开方数为非负数是解题关键．2．B【分析】根据点在第一象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是正数求解即可．【详解】解：∵点在第一象限，∴解得：．故选：B．【点睛】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．3．A【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，逐项分析计算即可求解．【详解】解：A.，故该选项正确，符合题意；

B.，故该选项不正确，不符合题意；

C.，故该选项不正确，不符合题意；

D.，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握运算运算法则是解题的关键．4．D【分析】利用概率的意义，全面调查与抽样调查，中位数，众数，以及方差的定义判断即可．【详解】解：A、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；B、一组数据，2，5，5，7，7，4中，5和7出现的次数最多，都是2次，故这组数据的众数是5和7，故原说法错误，不符合题意；C、明天的降水概率为，则明天下雨的概率更大些，是随机事件，不符合题意；D、若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．5．C【分析】先根据圆周角定理求得，然后解直角三角形即可．【详解】∵，∴∵，∴，在中，，即，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角定义及其推论，以及解直角三角形，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角为直角，以及解直角三角形的方法和步骤．6．D【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质可知，然后由即可求出答案．【详解】解：如图，由题意可知，是等腰直角三角形，，∴，又∵由题意可知，，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．7．D【分析】先根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积求出的长即可．【详解】解：，，，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握锐角三角函数、勾股定理是解题的关键．8．B【分析】连接OC，根据切线的性质定理确定∠OCD=90°，根据角的和差关系求出∠OCB，最后根据等边对等角即可求解．【详解】解：如下图所示，连接OC．∵CD是的切线，∴OC⊥CD．∴∠OCD=90°．∵∠DCB=50°，∴∠OCB=∠OCD-∠DCB=40°．∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=40°．故选：B．【点睛】本题考查切线的性质定理，角的和差关系，等边对等角，熟练掌握这些知识点是解题关键．9．A【详解】解：∵点A是反比例函数（x＞0）上的一个动点，∴可设A（x，），∴OC=x，AC=，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OB=2OA，∴，∴OD=2AC=，BD=2OC=2x，∴B（﹣，2x），∵点B反比例函数图象上，∴k=﹣•2x=﹣4，故选A．点睛：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用A点坐标表示出B点坐标是解题的关键．10．D【分析】过点作于点，连接，由，推出、、、四点共圆，再证为定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，然后求出与，即可解决问题．【详解】解：过点作于点，连接，如图所示：，、、、四点共圆，，，，，，，点在射线上运动，当时，的值最小，四边形是矩形，，，，，即，，在中，由勾股定理得：，的最小值．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理、四点共圆、圆周角定理，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．11．【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．【详解】解：用科学记数法可表示为：，故答案为：．12．2（x+2）（x﹣2）【分析】先提公因式，再运用平方差公式．【详解】2x2﹣8，=2（x2﹣4），=2（x+2）（x﹣2）．【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．13．5【详解】∵多边形的每个外角都等于72°，∵多边形的外角和为360°，∴360°÷72°=5，∴这个多边形的边数为5.故答案为5.14．【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，，进行解答即可得．【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．15．【分析】将代数式同时加上和减去，根据一元二次方程的解及根与系数的关系直接求解即可得到答案.【详解】解：∵，，是方程的两个实数根，∴，，，故答案为：；【点睛】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握，．16．【分析】作△BCP的外接圆⊙O，过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于G，连接BG，CG，OB，OC，根据等边三角形的性质和角的和差关系可得∠BDE=∠ADC，∠ABD=∠EDC=60°，可得AB//DE，根据平行线的性质可得∠ABE=∠BED，利用SAS可证明△BDE≌△ADC，可得∠BED=∠ACD，进而可证明∠EBD+∠ACD=∠ABD=60°，根据三角形内角和定理可得∠BPC=120°，根据圆周角定理可得点P在△BCP的外接圆上，∠BPC=∠BGC=120°，可得点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C重合）为的长，根据圆周角定理可得∠BOC=120°，根据垂径定理可得BF的长，利用勾股定理即可求出OB的长，利用弧长公式求出的长即可得答案.【详解】作△BCP的外接圆⊙O，过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于G，连接BG，CG，OB，OC，∵△ABD和△CDE是等边三角形，∴∠ABD=∠EDC=60°，∴AB//DE，∠ABD+∠ADE=∠EDC+∠ADE，∴∠ABE=∠BED，∠BDE=∠ADC，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC，∴∠BED=∠ACD，∴∠ACD=∠ABE，∴∠ACD+∠EBC=∠ABE+∠EBC=∠ABD=60°，∴∠BPC=180°-（∠ACD+∠EBC）=120°，∴点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C重合）为的长，∵OG⊥BC，∠BGC=∠BPC=120°，∴BF=BC=×8=4，∠OGB=∠BGC=60°，∵OB=OG，∴△OBG是等边三角形，∴∠BOG=60°，∴∠BOC=2∠BOG=120°，∠OBF=30°，∴OF=OB，∴OB2=OF2+BF2，即OB2=(OB)2+(4)2,解得OB=8，（负值舍去），∴==，故答案为：【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理及垂径定理，根据圆周角定理确定点P的运动轨迹是解题关键.17．，数轴见解析【分析】本题考查了求不等式组的解集；首先解出不等式组中每个不等式的解集，然后找出每个不等式的解集的公共部分，最后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．【详解】解：，解不等式得，解不等式得，∴不等式组的解集为，不等式组的解集在数轴上表示为．18．详见解析【分析】由AC、BD平行，可知∠ACB＝∠DBC，再根据已知条件，即可得到△ABC≌△EDB，即得结论AB＝DE．【详解】证明：∵AC∥BD，∴∠ACB＝∠DBC，∵AC＝BE，BC＝BD，∴△ABC≌△EDB，∴AB＝DE．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，涉及到平行线的性质知识点，比较简单．19．，【分析】先利用分式的运算法则对原式进行化简，再把代入化简结果计算即可．【详解】解：当时，原式【点睛】此题考查了分式的化简求值，还考查二次根式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和二次根式的运算法则是解题的关键．20．(1)调查学生人数200人，补图见解析(2)愿意参加劳动社团的学生人数900人(3)作图见解析，P（同一社团）【分析】（1）用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比，可得总人数，再用总人数乘以科普类所占的百分比，即可求解；（2）用3600乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的百分比，即可求解；（3）根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．再根据概率公式，即可求解．【详解】（1）解：调查学生人数：人，科普类人数：人，补全条形统计图，如图：（2）解：愿意参加劳动社团的学生人数：人；（3）解：根据题意，画出树状图，如下图：共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．∴恰好选中同一社团的概率为．【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．(1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元．(2)采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．【分析】（1）设A种品牌电风扇每台进价x元，B种品牌电风扇每台进价y元，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可．（2）设购进A品牌电风扇a台，B品牌电风扇b台，根据题意可列等式，由a和b都为整数即可求出a和b的值的几种可能，然后分别算出每一种情况的利润进行比较即可．【详解】（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，由题意得：，解得：，∴A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元；（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，由题意得：，其正整数解为：或或当时，利润（元），当时，利润（元），当时，利润（元），∵，∴当时，利润最大，答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键．22．(1)见解析(2)【分析】（1）先根据圆周角定理可得，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）先根据相似三角形的性质可得的长，再根据圆周角定理可得，然后根据正切的定义即可得．【详解】（1）证明：∵点是弧的中点，，，又，．（2）解：，，，，，即，解得或（不符合题意，舍去），经检验，是所列方程的解，为的直径，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、正切，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．23．(1)，(2)8【分析】（1）根据，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB的解析式；再通过比例关系解出点C的坐标，可得反比例函数表达式；（2）过D作轴，垂足为点，联列方程组解出点D的坐标，再根据即可求出的面积．【详解】（1）在中，∵，∴，∵，∴，∵A、B两点在函数上，将、代入得解得，，∴设，过点C作轴，垂足为E，则，∴，又∵，∴，即，，即，∴，∴，∴

∴，∴；（2）解方程组，得，∴，过D作轴，垂足为点∵∴．【点睛】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键．24．(1)(2)(3)存在，【分析】（1）利用得，即，进而求解；（2）分别过点C，P作，垂足分别为M，N，证得，