2024年广东省深圳市光明区实验学校中考三模数学试题（原卷版+解析版）

光明区实验学校2023-2024学年第二学期九年级模拟考试数学试卷（三模）一．选择题（每题3分，共30分）1.﹣3的相反数是（）A. B. C. D.2.下列计算正确是（）A. B. C. D.3.2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（）A B. C. D.4.某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A. B. C. D.5.如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（）A.4 B. C.16 D.326.一元一次不等式组解集为（）A. B.C. D.7.图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A. B. C. D.8.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（）A. B. C. D.9.如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（）A. B. C. D.10.如图，在中，，，，点和点分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位秒，当点到达点时，两点间时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（）

A. B.C. D.二．填空题（每题3分，共15分）11.因式分解：_________.12.若分式有意义，则的取值范围是______．13.如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是_________．14.如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为__．15.如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于__________．

三．解答题（共55分）16.计算：17.为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）：，，，，，随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，．请根据以上信息，完成下列问题：（1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形的圆心角是；（2），并补全图中的频数分布直方图；（3）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是分；（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．18.如图，已知，点M是上的一个定点．（1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；（2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________．19.如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．

（1）求证：平分；（2）若，求的值．20.“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元．（1）求商场购进第一批“小金龙”每件的进价；（2）直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值．21综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．问题延伸】当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．22.（1）观察猜想：如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____．（2）类比探究：如图3，当，时，请求出的值及的度数．（3）拓展应用：如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离．

光明区实验学校2023-2024学年第二学期九年级模拟考试数学试卷（三模）一．选择题（每题3分，共30分）1.﹣3的相反数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，故选D．【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘和合并同类项等方面的计算能力，运用相关运算方法进行逐一计算、辨别．关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．【详解】解：，选项A不符合题意；，选项B不符合题意；，选项C符合题意；，选项D不符合题意，故选：C．3.2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查科学记数法的表示．绝对值大于等于10的数用科学记数法可表示为的形式，其中，为正整数．【详解】解：34.45亿．故选：B．4.某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体．【详解】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当．故选：．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．5.如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（）A.4 B. C.16 D.32【答案】C【解析】【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可．【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，且，∴，且相似比为，∴与的周长比为：，∵的周长为8，∴的周长为16．故选：C．6.一元一次不等式组解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先解每个不等式的解集，再求两个不等式的解集的公共部分即可．【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，∴不等式组的解集为，在数轴上表示为：，故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．7.图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，在中，，，同理可得，，又双翼边缘的端点与之间的距离为，，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．故选：A．【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．8.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设第一次分钱的人数为x人，根据“第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同”，列出方程，即可求解．【详解】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得：．故选：C9.如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过点作，交的延长线于点，证明，得到，推出，设，由可得，进而根据锐角三角函数得到，则，根据三角形的面积公式求出，再根据勾股定理求出，即可求解．【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，，，，四边形是菱形，，，，在和中，，，，，即，设，，，，，，，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用相关知识是解题的关键．10.如图，在中，，，，点和点分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位秒，当点到达点时，两点间时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（）

A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取的中点F,连接根据题意得到和，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当时，得，结合三角形面积公式求解即可；（2）当时，得，，和，结合；（3）当时，点、都在上，结合和求面积即可．【详解】解：如图，取的中点F，连接，

，点、是中点，∴，，∵，∴四边形为矩形，当时，点在上，点在上，，；如图，当时，点在上，点在上，

，，，，；如图，当时，点、都在上，

，综上判断选项A的图象符合题意．故选：A．二．填空题（每题3分，共15分）11.因式分解：_________.【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再按照平方差公式进行分解即可得到答案；【详解】解：，故答案为：；【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，掌握平方差公式是解题的关键；12.若分式有意义，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，要使分式有意义，则，即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：要使分式有意义，则，∴，故答案为：．13.如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是_________．【答案】【解析】【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．【详解】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，∴小石子落在不规则区域的概率为，∵正方形的边长为，∴面积为，设不规则部分面积为，则，解得：，故答案为：．【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．14.如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为__．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，相似三角形点的判定和性质，过点B作轴于点E，设，则点，进而得，由得，证得，则，，可得点，进而得，则，，再根据的面积为1，得，即，由此解出k即可．【详解】解：过点作轴于点，如图所示：设，点在反比例函数的图象上，且轴于点，点的坐标为，，，，轴，轴，，，，，，点在反比例函数的图象上，且轴于点，点的坐标为，，，，的面积为1，，即，解得：．故答案为：．15.如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于__________．

【答案】【解析】【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解．【详解】解：过点A作于点Q，∵四边形为菱形，，∴，，∴，∵由沿折叠所得，∴，∴，∵，，∴，则，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．三．解答题（共55分）16.计算：【答案】【解析】【分析】根据绝对值的性质、零指数幂、负整指数幂的性质及45°角的正切值计算解题即可．【详解】解：．【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、负整指数幂、正切等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17.为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）：，，，，，随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，．请根据以上信息，完成下列问题：（1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形的圆心角是；（2），并补全图中的频数分布直方图；（3）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是分；（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．【答案】（1）（2），补全如图所示（3）（4）乙将获得“环保之星”称号【解析】【分析】（）直接即可；（）根据“”组即可；（）根据中位数的概念即可；（）根据的权重分别计算即可；本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数和加权平均数，解题的关键是准确找出相关数据，利用数形结合的思想解答．【小问1详解】“组”所对应的扇形的圆心角是:，故答案为：；【小问2详解】，并补全频数分布直方图如图，故答案为：；【小问3详解】由（）得：，即抽取名学生，即中位数排在第，位的平均数，为，故答案为：；【小问4详解】甲：，乙：，∵，∴乙将获得“环保之星”称号．18.如图，已知，点M是上的一个定点．（1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；（2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件；（2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用的劣弧与所围成图形的面积进行计算．【小问1详解】解：如图，为所作；；【小问2详解】解：∵和为的切线，∴，，，∴，∴，在中，，∴，∴的劣弧与所围成图形的面积．故答案为：．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．19.如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．

（1）求证：平分；（2）若，求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则根据平行线的判定方法得到，再利用平行线的性质得到，加上，从而得到；（2）根据圆周角定理得，再证明，利用相似三角形的性质得到，则，接着利用正弦的定义得到，然后根据特殊角的三角函数值求解．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．小问1详解】证明：连接，如图，为的切线，，，，，，，，平分；【小问2详解】解：是的直径，，，，，，，在中，，，．20.“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元．（1）求商场购进第一批“小金龙”每件的进价；（2）直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值．【答案】（1）30元（2）；最大值160元【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，正确列出分式方程，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．（1）设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元，根据“第二批所购数量是第一批购进数量3倍”列出分式方程，解方程即可得出答案；（2）由题意得得出与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元，由题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的根，且符合题意，商场购进第一批“小金龙”每件的进价为30元．【小问2详解】解：由题意得：，当时，有最大值160元，答：最大值为160元．21.综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．【问题延伸】当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4）【解析】【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；（2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；（3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：，∴联立得：，解得：，，∴反比例函与直线：的交点坐标为和，当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．故答案为：4；2．（2）不能围出．∵木栏总长为，∴，则，画出直线的图象，如图中所示：∵与函数图象没有交点，∴不能围出面积为的矩形；（3）如图中直线所示，即为图象，将点代入，得：，解得；（4）根据题意可得∶若要围出满足条件的矩形地块，与图象在第一象限内交点的存在问题，即方程有实数根，整理得：，∴，解得：，把代入得：，∴反比例函数图象经过点，把代入得：，解得：，∴反比例函数图象经过点，令，，过点，分别作直线平行线，由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；把代入得：，解得：，∴．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．22.（1）观察猜想：如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接