高三数学二轮培优微专题36讲33.条件概率与全概率公式

条件概率与全概率公式条件概率在新教材的地位当然是大大提升，一方面是其重要的应用价值，终归，现实生活中许多事务都是相互影响的，另一方面则是它为引出全概率公式做了铺垫.所以，在新教材与新高考中，我们务必重视条件概率的探讨与应用，2024新高考卷中均考察了条件概率，本节将对其常见应用做全面的介绍，并进一步引出全概率公式做铺垫.一．基本原理1.条件概率定义一般地，设为两个随机事务，且，我们称为在事务发生的条件下，事务发生的条件概率，简称条件概率．可以看到，的计算，亦可理解为在样本空间中，计算的概率.于是就得到计算条件概率的其次种途，即特殊地，当时，即相互独立，则.2．条件概率的性质设，全样本空间定义为，则（1）；（2）假如与是两个互斥事务，则；（3）设事务和互为对立事务，则．3.全概率公式3.完备事务组：假如样本空间中一组事务组符合下列两个条件：（1）；（2）.则称是的一个完备事务组，也称是的一个分割.4.全概率公式：设是一个完备事务组，则有.二．典例分析第一个例子是条件概率的经典应用，它说明白不放回式抽签的公允性，更重要的是，它蕴含了全概率公式的思想.例1.从有个红球和个蓝球的袋子里，每次随机摸出一个球，摸出后不放回，试证明：第一次摸出红球后，其次次摸出红球的概率与第一次相同.证明：明显，第一次摸出红球的概率为.用表示事务“第次摸到红球”，用表示事务“第次摸到蓝球”，.那么，，且与互斥，故可得：.综上，表明不放回抽签与先后依次无关.点评：上述结论的证明过程不是明显的，通过条件概率，我们很好地给出了证明，再次说明条件概率的应用价值，终归，我们现实情境中许多事务之间是相互影响的.例2.银行储存卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，遗忘了密码的最终1位数字，求：（1）随意按最终1位数字，不超过2次就按对的概率；（2）假如记得密码的最终1位是偶数，不超过2次就按对的概率.解析：（1）设“第次按对密码”（）,那么满意题意的情形有，故：（2）设“最终1位密码是偶数”，则例3.（2024新高考1卷）一医疗团队为探讨某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调査了100人（称为比照组），得到如下数据：不够良好良好病例组60比照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，表示事务“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事务“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．（=1\*romani）证明：；（=2\*romanii）利用该调査数据，给出的估计值，并利用（=1\*romani）的结果给出的估计值．附：，解析：（1）假设患该疾病群体与未患疾病群体的卫生习惯没有差异，则，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；（2）（=1\*romani），得证.（=2\*romanii）由调查数据可知，，则，，所以． 注：此题其次问的证明和计算纯粹考察条件概率公式及其性质，第三问的计算则考察条件概率的计算，找到条件的相应事务的样本空间即可轻松计算.例4.（2024江苏卷）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．分析：假设表示次取球后甲口袋有个黑球，表示次取球后甲口袋有个黑球，表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同时乙取的是黑球，表示一次操作甲取的是黑球同时乙取的是白球）.先分析事务的概率，分如下三种状况：当第次操作后，甲口袋有个黑球，只须要来个白球同时取一个白球就完成，概率公式；当第次操作后，甲口袋有个黑球，只须要来个黑球取个白球就完成，概率公式；当第次操作后，甲口袋有个黑球，不行能取一次球得到两个球，这种状况不满意，类似可以计算事务的概率，这样的话，，类似可得.解：（1），，（2），，因此，从而，即.又的分布列为012故.例5.（2024新高考2卷）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间的概率．（3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区的年龄位于区间的人口占该地区总人口的