中考数学复习教学案-二次函数及其图象

二次函数及其图象

♦【课前热身】

1.向上发射一枚炮弹，经X秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=a^+bx.若此炮弹在第7秒

与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？()

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

2.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2/的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为()

A.y=2x2—2B.y=2x~+2C.y=2(x—2)2D.y=2(x+2)2

3抛.物线y=(x-2尸+3的顶点坐标是()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(—2,—3)

4.二次函数y=(无+iy+2的最小值是().

A.2B.1C.-3D-1

5.抛物线y=-2——4x—5经过平移得到y=-2一,平移方法是()

A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位

B.向左平移1个单位，再向上平移3个单位

C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位

D.向右平移1个单位，再向上平移3个单位

♦【考点聚焦】

21

\y=ax^y=a(x-h)+k

♦之间的单隹关系

.开口方向I

二次函数

y=axbx^c(a^O)HU]—-——[wit]

-(W]

T：.种表示方式I

T二次函数与一元二次方程的关系1

♦【备考兵法】

K考查重点与常见题型』

1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函

数y=（m-2）x2+m2-m-2额图象经过原点，则m的值是

2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图象，习题的特点是在同一直角坐标系内

考查两个函数的图象，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y=kx+b的图象在第一、

二、三象限内，那么函数y=kx2+bx—l的图象大致是（）

3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题

和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过（0,3）,（4,6）两点，对称轴为x=§,求这条

抛物线的解析式.

4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：己

知抛物线y=ax2+bx+c（aWO）与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐

标是一万（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点

坐标.

5.考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题.

抛物线的平移

抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将丫=@/沿着y轴（上“+”，下“一”）平移k（k>0）

个单位得到函数y=ax2±k,将丫=2*2沿着x轴（右“一”，左"+”）平移h（h>0）个单位得到y=a

（x±h）2.在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常

数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）.

♦【考点链接】

1.二次函数,=。。一/?)2+4的图象和性质

a<0

图象

开口

对称轴

顶点坐标

最值当乂=时，y有最值当x=,y有最值

增在对称轴左侧y随x的增大而y随x的增大而

减

在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而

2.二次函数丁=。/+力'+。用配方法可化成^二扉尢一力丫+左的形式，其中

h=,k=.

3.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和y=ax2图象的关系.

4.二次函数y=a/+/^+c中的符号的确定.

♦【典例精析】

例1已知：二次函数为y=x2—x+m,(1)写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；(2)m为

何值时，顶点在x轴上方，(3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB〃x轴交抛物线于另一点B,当S

AM»=4时，求此二次函数的解析式.

例2如图，抛物线y=o?+区一名经过A(—1,O)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点6.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点加+1)在第一象限的抛物线上，求点。关于直线8C对称的点的坐标；

(3)在(2)的条件下，连接3D,点P为抛物线上一点，且NDBP=45°,求点P的坐标.

♦【迎考精练】

一、选择题

1.(2009年上海市)抛物线y=2(x+，〃)2+〃(m,〃是常数)的顶点坐标是()

A.(m,ri)B.(-m,n)C.(m,—n)D.(-m,-n)

2.(2009年陕西省)根据下表中的二次函数)，=4f+"+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次

函数的图像与x轴()

x・••—1012

77

y•••-1-2

44

A.只有一个交点

B.有两个交点，且它们分别在y轴两侧

C.有两个交点，且它们均在y轴同侧

D.无交点

3.（2009年湖北荆门）函数产ax+1与尸df+bx+l（a=0）的图象可能是（）

它图象上的两点，则yi与丫2的大小关系是（）

A.y1<y2B.乃=y2c.D.不能确定

5.（2009年湖北孝感）将函数y=的图象向右平移以〃>0）个单位，得到函数y=/-3x+2

的图象，则a的值为

A.1B.2C.3D.4

6.（2009年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线丁=/+尤-2关于x轴作轴对称变换，再将

所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）

A.y——一工+2B.y—+x-2C.y=4-x+2D.y=+x+2

7.（2009年四川遂宁）把二次函数产」X2_+3用配方法化成y="（xiy+k的形式

4

A・y=—；（x—2/+2B.y=+4

C.y=—；(X+2)2+4

8.（2009年河北）某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y=（*

>0）,若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为（）

A.40m/sB.20m/s

C.10m/sD.5m/s

二、填空题

1.（2009年北京市）若把代数式2x-3化为（x-my+Z的形式，其中〃z,%为常数,

则m+k=.

2.（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（-,，,且图象与x轴的另一交点到原

24

点的距离为1,则该二次函数的解析式为

3.（2009年湖南郴州）抛物线y=-3（x-1）?+5的顶点坐标为

4.（2009年内蒙古包头）已知二次函数y=o?+bx+c的图象与x轴交于点（―2,0）、（加0）,且

1<再<2,与y轴的正半轴的交点在（0,2）的下方.下列结论：①4。-3+。=0；②a<b<0；③

2a+c>0；®2a-h+\>0.其中正确结论的个数是个.

5.（2009年湖北襄樊）抛物线丁=-/+陵+。的图象如图所示,

则此抛物线的解析式为.

6.（2009年湖北荆门）函数y=（x—2）（3-幻取得最大值时，x=

三、解答题

1.（2009年湖南衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1,-2）,求这个二次

函数的关系式.

2.（2009年湖南株洲）已知ZV3C为直角三角形，ZACB^90°,AC=BC,点A、C在x轴上，

点8坐标为（3,机）（/»>0）,线段AB与y轴相交于点。，以尸（1,0）为顶点的抛物线过

点、B、D.

（1）求点A的坐标（用加表示）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点。为抛物线上点P至点8之间的一动点，连结P。并延长交BC于点E,连结B。并延

长交AC于点尸，试证明：FC（AC+EC）为定值.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）判断点"（1,-）是否在直线力。上？

2

（3）过点"（1,-）作一条直线/与二次函数的图象交于区F两点、（不同于力，B,C三点），

2

y

请自己给出£点的坐标，并证明△婀是直角三角形.」f

.C

——2--------------►

-1X

A-2

第3题

4.(2009年陕西省)如图，在平面直角坐标系中，0B10A,且0B=20A,点A的坐标是

(—1,2).

(1)求点B的坐标；

(2)求过点A、0、B的抛物线的表达式；

(3)连接AB,在(2)中的抛物线上求出点P,使得SAABP=S^ABO.

y=-x+Bx+c

5.(2009年福建漳州)如图1,己知：抛物线2与x轴交于4B两点，与了轴交于

1C

y=­x-2

点、C,经过从C两点的直线是2，连结』C.

(1)6、。两点坐标分别为R,)、a,)，抛物线的函数关系式为；

(2)判断△池©的形状，并说明理由；

(3)若△3c内部能否截出面积最大的矩形(顶点以E、F、G在各边上)？若

能，求出在工5边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由.

，bAac-b2\

[抛物线＞'的顶点坐标是I2a4aJ]

图2（备用）.

【参考答案】

选择题

1.B

2.B

3.C

【解析】本题考查函数图象与性质，当”>0时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的,

函数片ax+1与尸a才2+"+1（aWO）的图象必过（0,1）,所以C是正确的，故选C.

4.C

5.B

6.C

7.D

8.C

填空题

1.-3

C2121

2.y=x+x,y=——厂+一

33

3.(1,5)

4.4

【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系筌等知识和数形结合能力.

根据题意画大致图象如图所示，由丁=公2+hx+c与X轴的交点坐标为(-2,0)得

ax(-2)2+^x(-2)+c=0,即4a—2〃+c=0所以①正确；

由图象开口向下知4<0,由〉=以2+陵+。与X轴的另一个交点坐标为(玉,0)且1<玉<2,则该

抛物线的对称轴为x=_2=(_2)+N由a〈0得b>a,所以结论②正确；

2a22

由一元二次方程根与系数的关系知玉.马=£<—2,结合a<o得2a+c>0,所以③结论正确；

a

由皿一力+c=O得2a—£，而0<c<2,,.•.-!<—£<0...-k2a-b<0...Za-b+lX),所以结论

22

④正确.

点拨：4a—a+c=O是否成立，也就是判断当x=—2时，y=or2+法+c的函数值是否为0；

判断了=⑪2+公+。中a符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上a>0,开口向下a〈0;判断a、b

的小关系时，可利用对称轴》=-2的值的情况来判断；判断a、c的关系时，可利用由一元二次方

2a

c

程根与系数的关系=一的值的范围来判断；2a-b+l的值情况可用4a—%+c=0来判断.

a

5.y=—x2+2尤+3

【解析】本题考查二次函数的有关知识，由图象知该抛物线的对称轴是x=l,且过点(3,0),所以

__^___1(h=2

一一三,解得",所以抛物线的解析式为y=-/+2x+3

-9+3"c=0I"?'

故填产-/+28+3

6.5

【解析】本题考查二次函数的最值问题，可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当X为何值时二

次函数取得最大值，下面用配方法，

y=(x—2)(3-x)=—/+5x—6=—卜一目+?,所以当x=g时，函数y=(X—2)(3—X)取得最大值,

故填9

解答题

1.解：设这个二次函数的关系式为丁=”炽一一2得：

0=。(0-1)2-2解得：a=2

这个二次函数的关系式是丁=2(x-1)?_2,即y=2--4x

2.(1)由可知OC=3,BC=m,又△{6c为等腰直角三角形，

AC=BC=m,OA=m—3,所以点4的坐标是(3—m,0).

(2)•?ZODA=ZOAD=45°：.OD=OA=m-3,则点。的坐标是(0,加一3).

又抛物线顶点为尸(1,0),且过点3、D,所以可设抛物线的解析式为：y=a(x-l)2,得：

tz(3-l)2=mfa=l,

《，解得《•••抛物线的解析式为y=Y-2x+l

a(0-l)2=/??-3[m=4

(3)过点。作QMLAC于点M,过点。作QN_LBC于点N,设点。的坐标是(x,V—2x+l),

则QM=CN=(x-Ip,MC=QN=3-x.

OMPM(尤一r-1

•:QM//CE：.APQMs"EC：.^=——即——-=——,得£。=2(九一1)

Ei2

,:QNHFC：.用QNs.FC：.或=如即±±=土虫二121,得/c=三

FCBCFC4x+1

又•••AC=4

444

FC(AC+EC)=——[4+2(x-l)]=——(2x+2)----2(x+1)=8

x+1x+1x+1

即FT(AC+EC)为定值8.

3.(1)设二次函数的解析式为y=a/+6x+c(a00),

59

把A(0>-2),B(—1>0)>C(—，—)代入得

48

0=“-6+c解得k2,b=0,c=—2,

9255,

—=—a+—b+c

8164

y—2x?—2

（2）设直线花的解析式为>=履+双々WO），

把4（0,-2）,。（工,2）代入得

48

b=-2

解得&=9,h=—2，y=—x—2

95

-=-k+b22

184

=1）在直线/C上

当尸1时,y

222

45

（3）设£点坐标为,则直线£犷的解析式为y=—X——

22-36

45

由—化简得d即（吗（2%等=0,

y=2x2-2

.•.厂点的坐标为（Z.12）.

618

过后点作£7/_Lx轴于〃，则〃的坐标为（」,0）.

2

:•EH=g,=8炉=（|）2+（》2=与，

类似地可得3尸=（为2+（与2=侬=空，

186324162

心日,40、2,10、225001250

186324162

BE2+BF2=—+—=工型=EF2，・•・△戚是直角三角形.

4162162

4.解：（1）过点A作AF，x轴，垂足为点F,过点B作BE_Lx轴,垂足为点E,

贝|JAF=2,OF=1.

VOA±OB,

AZAOF+ZBOE=90°.

又VZB0E+Z0BE=90°,

.•・ZAOF=ZOBE.

ARtAAFO^RtAOEB.

•.・-BE=-O-E=-O-B=2汽・

OFAFOA

ABE=2,0E=4.

AB(4,2).

(2)设过点A(—1,2),B(4,2),0(0,0)的抛物线为片a/找"c.

1

”5，

a-b+c=2,乙

二V16〃+46+c=2,解之，得</?=—之，

2

c=0.八

c=0.

.•.所求抛物线的表达式为y=1x2-|x.

(3)由题意,知AB〃x轴.

设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d,

则SABP=-ABd=-AB-AF.

&22

/.d=2.

・••点P的纵坐标只能是0或4.

令y=0,W—x2--%=0,解之，得x=0,或x=3.

22

・•・符合条件的点PMO,0),P2(3,0).

令尸4,M-X2--X=4,解之，得彳=延叵.

222

...符合条件的点P3(上巫，4),p.,(3+^,4).

22

・・・综上，符合题意的点有四个：

P.(0,0),P2(3,0),P：(3-q,4),巳(3+户,4).

22

（评卷时，无PKO,0）不扣分）

5.解：(1)当0MxM4时，线段创的函数关系式为了=一1比；

当4MX&10时,

由于曲线46所在抛物线的顶点为力(4,-40),设其解析式为y=a(x—4)"一40

在丁=一5/+2。5入-1230中，令x=io,得了=320；,Ba。,320)

VB(10,320)在该抛物线上

2

A320=a(10-4)-40

解得。=10

.•.当4VXWIO时，丁=10(工一4)2-40=1加一88+120

(x=1,2,3,4)，。-10x

(x=5,6,7,8,940),y=S10x2-80x4-120

2

(x=10,11,12).综上可知,-5X+205X-1230

(2)当0WxW4时，S=-10

当5KxW10时，S=20x-90

当11MXW12时,^=-10x4-210

(3)10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.

'65k+b=55,

<

6.解：(1)根据题意得〔75无+A=45.解得上=_1,8=120.

所求一次函数的表达式为丁=一工+120.

(2)fT=0；-60X-x+120)

=-X2+180X-7200

=-(X-90)2+900

:抛物线的开口向下，，当X<90时，印随X的增大而增大,

而60<x<87,

二当x=87时，用=—（87-90>+900=891

当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元.

（3）由印=500,^500=-x^+lSOx-7200,

整理得，x2-180x4-7700=0,解得，々=70,刍=110.

由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元,销售单价应在70元到110元之间，而60<x<87,

所以，销售单价x的范围是704x487.

_12_3

7.(1)B(4,0),。。-2).y~2X2X

（2）△力5c是直角三角形.

C—x--x-z=u

证明：令了二°,则22.

再=-1,—4

..A-W).

解法一：..』8=5,AC=&BC=2^5

AC2+BC2=5+2Q=25=AB2.

△/BC是直角三角形.

COAO_1

•：AO=1,CO=2,BO=4,：.—=

解法二：BOOC2

•：&OC=4COB=qO°,

..△工OCS/XCOB

4co=NCBO.

•.•NCBO+NBCO=90°,

AACO+ZBCO=90°,即乙4cB=90°

：△是直角三角形.

(3)能.①当矩形两个顶点在上时，