中学高三年级上册月考（五）理科数学试卷

中学高三上学期月考(五)理科数学试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、选择题(共10题，共50分)

1、定义在£上的偶函数〃x)满足=且当xe[L2]时，/(x)=lnx-x+l)若函数

g(x)=/(x)+皿有7个零点，则实数m的取值范围为()

(in2Tln2-l)式(l-ln2

f1112-1E2明

B.)

fl-ln21-1112>

C.)

fln2-ll-ln2>

D.V~6~r~T~)

【考点】

【答案】A

函数晨x)=/(x)+mx有7个零点，即函数y=/(x)的图象与>=FK有7个交点，当、右上2]时,

/㈤二&一'+5")=「=?<。，此时/(X)单调递减，fi/(l)=a/(2)=ln2-l)由

〃2-x)=/(x)知函数图象关于*=1对称，而〃x)是定义在正上的偶函数，

()故)即，是周期为的函数，

/(^)=/[-2-x)]=/(x-2/(x+2=/(x),(x)2易知用工0,当

一肺<0时，作出函数了=/6)与)=一/的图象，如图所示，则要使函数了=/6)的图象与)=-侬的

「8mV/⑻-%m<ln2-ll-ln2V<1-ln2

图象有7个交点，需有⑹，即加2-1,解得8<m<6,同理，当一附>0

ln2-l：<ln2-l(ln2TIn2-l]]l-ln2l-ln2、

时，可得6<m<8,综上所述，实数m的取值范围是I6‘8JI8'6

故选A.

2、某班上午有五节课,分别安排语文,数学,英语,物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不

相邻,且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是

A.16B.24

C.8D.12

【考点】

【答案】A

【解析】根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序,

有一乙种况；②将这个整体与英语全排列，有种顺序，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有

2个空位可选.在剩下的2个空位中任选1个,安排物理,有2种情况,则数学、物理的安排方法有2X2=4

种，则不同排课法的种数是2X2X4=16种，故选A.

3、某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况,

采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为口力，且直线

"+妙+8=°与以"(L-l)为圆心的圆交于况C两点，且皿C=12(T,则圆C的方程为()

JJ33

A.(X-1)+(>+1)=1B.(X-1)+(?+1)=2

c内+&+广啮

【考点】

【答案】c

【解析】按照分层抽样的特点,高一高二高三抽取的人数分别为钠，3024.所以煤=40»=24,直线方程为

40x+24y+8=0,即5x+3j+l=0,圆心4(L-1)到直线的距离753+32扇由于

Z&4c=120®,所以圆的半径64,故圆的方程为'"17,选c.

4、九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则天

后，蒲、莞长度相等？参考数据：32=0.3010,153=0.4771,结果精确到o」.（注：蒲每天长高前一

天的一半，莞每天长高前一天的2倍.）

A.2.8B.2.6C.2.4D.2.2

【考点】

【答案】B

【解析】设蒲的长度组成等比数列{4},其，=3,公比为5,其前程项和为4,莞的长度组成等比数列

28-1

,其4=L公比为2,其前双项和为鸟,则TT,由题意可得

3广利2--1

1-12-12*+—=7a.”=盛=1+地826,，

2，化为2"，解得2=6,2=1（舍去），lg2lg2估计2.6

天后，蒲、莞长度相等，故选B.

/（x）=cos|JsmZx-y

5、下列选项中为函数I6J4的一个对称中心为（）

A.停。）加

【考点】

【答案】A

【解析】函数

/（x）=cos^2x-^m2x-^=+桂的^2x-^=^.sin2xcm2x+

6-…11-cos4x11kK.x

—sin4x+—•----------------------—sz-x=—+—

42242求得424,可得函数的对称

(kJr+加"z

轴中心为IT当上=1时,函数的对称中心为刎故选A.

_x2+a

6、若"e[L6],则函数x在区间忆+°»内单调递增的概率是（）

432

A.5B.5c.5D.5

【考点】

【答案】B

_x24-a1-1-a-xi~a>Q

【解析】•.,函数x在区间12他）内单调递增，7—X5,在［以他）恒成立，

_x2+a

二n3在［2同恒成立，二"4,,"€上6］,二々€儿4］,二函数）一%在区间［2*°）内单调递

4-1=3

增的概率是故选B.

二+/=1二-力=12

7、已知椭圆。？P的离心率为立，双曲线。？F的离心率为■，抛物线尸=2px的离心率为■,

a=5^,151,c=5",则d瓦c之间的大小关系是（）

A.a>c>bsa>b>cc.ob>a^,b>c>a

【考点】

【答案】D

0<&aQL&=1.•加巴&<010g2.>0,嘀与=0;c=5噫%=5。=1

【解析】依题意，°<气口丐出,一、.」。「%<巩--，又

B=C）如广=53、>5°=La=52<5°=1

:.b>oa,故选D.

［方法点睛】本题主要考查函数的圆锥曲线的离心率、指数函数的性质、对数函数的性质及比较大小

问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区

间（Y\0）,（0J）,（L+8））；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法

综合应用.

8、脑力乂为外表示求。除以b的余数，若输入a=34,b=35,则输出的结果为（）

♦

/输入〃〃/

a-b.b-m

A.0B.17C.21D.34

【考点】

【答案】B

【解析】模拟执行程序框图，可得°=34力=85,不满足条件

m

a>btc=34,0=85,i=34,~"8(85,34)=17,4=34,8=17,不满足条件

相=0产=〃8(34,17)=0,以=17油=0,满足条件加=0,退出循环，输出。的值为17,故选B.

9、若g>°,命题甲：“a6为实数，且k-4<2q”；命题乙：“a力为实数，满足卜-2|<九且

82|<外，，则甲是乙的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件

【考点】

【答案】B

【解析】若为实数，且卜一同<20,则取a=8,b=6国=2时，不满足|a-2|<q且！6-2|<q,若

为实数，满足且82|<4,则|。-同=|(。-2)-("2)|胡-2|+|6-2|<#4=",所以

甲是乙的必要而不充分条件,故选B.

10、若集合/=卜£用卜-4归2),非空集合3={工6及|%4*4«+3},若BUd,则实数。的取值范

围是()

A.(3")B[-E)c(L3)D[L3]

【考点】

【答案】D

【解析】•••集合“=”£限一半2}=26],由集合3不为空集可得2。%+3,即a43,由3匚4

{2a^2

得以+3M6,解得々e[L3]故选口

二、填空题（共4题，共20分）

11、已知向量出b夹角为5，同=2,对任意xwX,有"皿归口一可，则防必，",£）的最

小值是.

【考点】

后

【答案】2

向量瓦苫夹角为T叶2,对任意xw此有B+M罔。-同，两边平方整理可得

xJ224-25x:i（a2-2aK）aO贝科=4年可+4东便一而引£0即有同一小不丫40即

石.（方一讣一0±5-7生」司=2不'=/•，=同•同・cos生月一1

6尸々，由向量公力夹角为3口，由11113,即有网-1,

则卜一同=、反+京-2〃，=用画出而=5，AB=b,建立平面直角坐标系，如图所示，则

&LO),3(O,闾…方=(-LO)5=(-L后尸忸/+正4=J(IT，+(阿

2|Ai¥|=2H-J1+乌+今=乌

和的2倍，当MHN共线时，取得最小值2|孙，即有门48，【48）2,故

出

答案为2.

12、如图所示，在棱长为6的正方体4E8-44G4中，点E,尸分别是棱G4,4G的中点，过/,

E,尸三点作该正方体的截面，则截面的周长为.

【考点】

［答案］6、而+3、历

如图，延长即，4片相交于M,连接交巡于H,延长庭44相交于N,连接和交皿

于G,可得截面五边形国因7,；融⑵-44*是边长为6的正方体，且居尸分别是棱G4,与G

的中点，,即=3屈/G=4H=q6'+42=2&J,在6=£+=、4］区=\/官,：.截面的周长为

6而+3依，故答案为6而+3及.

皿（2*勺=

13、若（8®P+xy的展示式中好的系数为4,则

【考点】

I

【答案】二

.2=2

【解析】由二项式定理得，x$的系数为C；cos2p=4,…c0s‘一二，故

（%]11

sm2p"—=1"COS2^1-2COS2C?=--

l=5,故答案为5.

【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是

高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开

式的通项公式＜+i=C：aA，’；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项

的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

14、若二次函数，（x）=62+Ax+c有两个零点三、巧则/卜）=〃6-玉＞（、一三），类比此，若三次

函数晨x）=2+或+c+d有三个零点玉、巧、弓，则g（x）=.

【考点】

【答案】如—旧弓乂%"）

【解析】若二次函数，（、）=62+灰+。有两个零点玉,巧，则/（X）=Mx-r＞（X-Xj）,类比此，若三

次函数g（x）=°?+加'+c+d有三个零点玉，巧则*（力=46_5）（'_^）（、_\）,故答案为

三、解答题（共6题，共30分）

15、选修4-5：不等式选讲

（I）已知函数/㈤=k-2卜k+1|.解不等式/（x）Nf-2x；

j一二与卓

（U）已知三J，z均为正数.求证：yzZKxyXyz_

【考点】

【答案】（I）[-"].（||）见解析；

【解析】试题分析：（I）对x分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（II）先

2L+2L+2L+2L+

yzzxxyxyz,再利用分析法证明：yzzx}tyxyz即证

/+/+/之乃+=+»,再证(x_yy+(x_zy+(j_z)?N0,从而可得结论.

3(x47)

{-2x+L(-l<x<2>

试题解析：(I)函数/(*)=卜-2卜k+1|=-3(x>2),

当x«—l时，不等式为3—2xK3,.•.一l«xW3,即x=-l；

当_1<%<2时，不等式为X2-2XW_2X+1,解得一IWXWI,即一IvxWl；

当x22时，不等式为x2_2xf_3,.•.xeO.

综合上述，不等式的解集为：卜L1].

(II)证明：因为％J/都为正数，

2L+2L=L(y.+^\>l

所以A。z〔xyjz①

2L+三之2

同理可得*丹X②

二+冬

砂*J③

当且仅当x=J=z时，以上三式等号都成立.

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2,

三+七+二/+卓

得：*。呼XJZ

或直接用柯西不等式证明:

三+J三」+。工

即*ZX砂xyz.

二/+卓、

或要证*zuxyxyz即证x2+/+/之¥+*+孙,

再证（x-，y+（x-4+（7-z）,0

16、选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中曲线G的方程是夕'|（1+%3坳=叱点>是G上的动点,点M满足而=20面（0

为极点），点M的轨迹为曲线G,以极点0为原点，极轴为％轴的非负半轴建立平面直角坐标系刀力，

d=3+f

已知直线’的参数方程是y=2t,3为参数）.

（।）求曲线G直角坐标方程与直线/的普通方程；

（II）求点M到直线/的距离的最大值.

【考点】

=+2=1d—屈+6方

【答案】（1）4"—,2x-y-6=Q_（N）—5

【解析】试题分析：（I）直接利用"'=x2+y2,Gine=y可得到曲线Ca直角坐标方程，利用代入法消

去参数即可得到直线/的普通方程；（II）在直角坐标系中设“（2cos虱11"）,点M到直线J的距离

d_|4casa-siiia-6|_|\''17cos（a+^）-6|

"后<'5,利用三角函数的有界性可得点M到直线/的距离的最大值.

试题解析：（I）设在极坐标系中M（P廊,据而=2而有尸（2“），

代入G的方程，（1+遍伊）=16整理得:■（1+汕网=4

。+y=1

再化为直角坐标方程是：4即为所求.

{X=3+f

直线’的参数方程y=2t,u为参数）化为普通方程是21-7-6=°.

x2

（II）由分了+»一1知，在直角坐标系中设“（2c0sa而0）,“X,

d_|4cosa-siiia-6|_|\'17cos（a4-^）—6|

点M到直线/的距离方有,

a,=47—+——6=-岳---+-6--有-

B君5

17、已知函数〃、）="'+、-疝、晨x）=J-x2（,为自然对数的底数）.

（I）当x，[Q+®）时,求g（x）的最小值；

（II）若函数/（X）恰有两个不同极值点七，巧.

①求a的取值范围；

②求证：不吃'’.

【考点】

0＜a＜J_

【答案】（I）见解析；（II）^，②见解析.

【解析】试题分析：（I）求出了‘㈤，令/«）＞°求得％的范围，可得函数〃x）增区间，尸田＜。求

得》的范围，可得函数/（X）的减区间，根据单调性可得K（x）的最小值；（II）①,（X）恰有两个极值点,

等价于Mx）=2ax-lnx在（0收）上恰有两个不同零点，当维。时，*（x）＜0在（0,+w）恒成立，方（x）

在（0'"8）上单调递减，不合要求；当时，研究函数的单调性结合零点存在定理可得。的取值范围，

严=啊心1n五＞2f=五

②不妨设°＜玉＜~,则有：%，可得玉-\马，令巧，原不等式等价于

,2（/-1）人,、,2（/-1）

In/-———-＜o----

f+1,即刃，验证函数f+1的最大值小于零即可得结论.

试题解析：（I）g'（x）=J-%（g1（x））*=^-2xe[Q,-Ko）

所以g'G）在31n2）上单调递减，在但以枚）上单调递增，

g'（x）吐=^'（ln2）=2（l-ln2）＞0

即xe[Q,+co）时恒有g'（x）=J-2x＞°

故晨x）在[0,2）上单调递增晨xL=*）=l

（II）①C（x）=2«Llnx,要〃x）恰有两个极值点，

等价于，（x）=2ox-lnx在（。,+8）上恰有两个不同零点.

A'（x）=2a--=^^

XX

当a《0时，月3＜0在（。,问恒成立，为㈤在（。，对上单调递减，不合要求;

、化，他）

当a＞。时，方（x）在上单调递减，在，上单调递增,

r1、点）=l+ln（2a）<0=0<a<：

h—=l+ln（2a）h

而l如,由

「_L1±1

h卡=2aa^--=2a>0

此时MD=2a>0L2^

在喝退⑹

故当°＜“＜如时，晨x）=2«x-lnx

上各恰有一个零点,

即当。时函数/（X）有两个极值点.

2淮

另法：考查x

加（不巧）=2a（x1+Xj）

产=3｛加攵=训既-动

②不妨设。＜玉＜々，则有：=2%，两式相加与相减得：工!

01n（书）=^^噎而看玉＞/01!18力2,

O^^ln、A2/=^€（0,1）

不一\/，令'

O空ln/>2Q（f+l）ln/-2（f-l）<0e（0,1）e>W-2^"^-<0旌（01）

£1,f+I,99

＜、2（/-1），力=~^~＞0

考查函数£'一f+l,«£+1『恒成立于（°」），

g（x）在（0」）上单调递增，则恒有屋。＜g0）=°.

,2（f-l）A

即/+1,，6（0，1）成立，

故命题得证.

18、已知直角梯形/HCD中，AB//CD,AB1AD,AB=AD=2CD=2,E、尸分别是边3、BC

上的点，且如〃四，沿即将班CD折起并连接成如图的多面体CD-折后越，血＞.

(I)求证：AE1FC.

（II）若折后直线/C与平面4即后所成角。的正弦值是3，求证：平面4BCD_L平面尸CB.

【考点】

【答案】（I）见解析；（II）见解析.

【解析】试题分析：（I）由即即可得E_L平面曲㈤，从而DE14E,结合郎1丝,

根据线面垂直的判定定理可得；/£_1■平面班CD,所以4£_LCF；（II）作CH,即于H,连期,

由（।）知CHJL45EE,即为AC与平面且小阳所成角，设DE=CH=卜,

7也

AH2=l+（2-h）=h3-4h+5而直线/C与平面dffl化所成角的正弦值是3,即

5h.,.

~42肥一4力+5，以丛班，即为轴建立坐标系，取AD的中点M,先证明平面4HCD的

法向量是前，再利用向量垂直数量积为零可得平面尸C3的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结

果.

试题解析：(I)-.EF//AB,AB1AD,

:.EFLAD,EFLDE,

又BE-LDE,EFcBE—E,

DE■!■平面XfiEE,DELAE,

又班J.AE,DEr>£F=E,

.•./E_L平面班CD,AELCF.

（il）由（I）知，可如图建立空间直角坐标系，

作CH,EF于H,连加，由（I）知CH_L4BEE,

即为4C与平面皿E所成角，设DE=CH=h,AH2=1+（2^=h2-4h+5

且,=/J=>h=l

而直线/C与平面由理所成角的正弦值是3,即3J2廿一4力+5

（或：平面由的法向量是（°川），。（。》）/（2-3。），而=（"ZL幼

sin"

1-^A-2）2+1+AJ

则

易知平面Z3CD1平面心因于㈤，取XD的中点M,则EM_L平面/"CD,

丽=俱,*]

而即=皿=1,则平面4RCD的法向量是【22）,

（或另法求出平面融CD的法向量是a=（LdD）,

再求出平面FCS的法向量%=（-L2J）,

1coe一」叫用」T+O+U_0

设二面角」田T是a,J/佣一卡

平面4BCD_L平面尸C3.

19、已知锐角的三个内角4、3、C满足由1甄111©=（曲1：13+皿'0-8£11”）仙4.

（I）求角4的大小；

（II）若“8C的外接圆的圆心是0,半径是1,求“（疑+'C）的取值范围.

【考点】

A--—2一疽一（］

【答案】（I）6.（Il）L2人

【解析】试题分析：（I）由根据正弦定理可得

A2+e2-a2sinA1..1

-----------------------------=-SUL4=一

2bccosA2,再根据余弦定理可得2,从而可求角4的大小；（II）根据向量减法的

三角形法则及平面向量的数量积公式可得

,根据M5C是锐角三角形，可得

变<“<生

666再由三角函数的有界性可得结果.

b3+e2-a2sinA1..1

-----------------------------=-SLUX=—

试题解析：（I）由已知有：2bccosA2,即2,

A—-

又d是锐角，・••6.

（II）QA（AB+AC）=0A（dB+0C-2dA）

=OAOB+OA0C-2OA1

=CMZAOB+eosZAOC-2

=cos2c+coe2B-2

=CO3^J^-2B\+COS2B-2

=—cos25--^-sin25-2

22

=\^5cosf25+^J-2

B<-

2

',,力一落„n5%nIts

B+A>———<2B+—<—

是锐角三角形，・・・232,则666,

故应(.%)的取值范围是卜母总

另法：设M是边股的中点，咐如画=2刀而

又应=文+方?=亦=歹+万？+2a而，

=>2OA~4^=0^-AM3-I,

而1=■

据正弦定理得3c=2siiiA=l,贝网12,

।----1J13

••.A斯是锐角三角形，当3或C取临界值5时."1最小值是2,

当W起时瓯最大值是1+孚.

=>2OX-7W=---7S?e-2-x5,-^j

4L2j.

20、某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API